§1 生活中的变量关系
核心知识目标 核心素养目标
1.能够认识和发现生活中变量间的依赖关系. 2.能利用初中所学函数知识对依赖关系是不是函数关系进行判断. 通过生活中的变量关系的学习,培养数学建模素养.
变量间的依赖关系
[问题1] 某人坐摩天轮一圈用时8 min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗 当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分钟
提示:该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2分钟或6分钟.
知识点1:依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
[例1] 判断下列两个变量之间是否存在依赖关系.
(1)价格不变的情况下,商品销售额和销售量之间的关系;
(2)用电量愈多,其电费也有增长的趋势;
(3)圆面积和它的半径之间的关系.
解:(1)(2)(3)中两个变量间都存在依赖关系.
变式训练1-1:判断下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系.
(1)正方体的体积和它的棱长;
(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
(3)某人的体重与其饮食情况;
(4)正三角形的面积和它的边长.
解:(1)正方体的体积V与它的棱长a存在V=a3的关系.
(2)在速度不变的情况下,汽车行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.
(3)某人的体重与其饮食情况间存在依赖关系,但具有不确定性.
(4)正三角形的面积S与其边长a之间存在S=a2的关系.
综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系.
判断两变量之间是否存在依赖关系的关键是看对于其中一个变量发生了变化,另一个变量是否也随之发生变化.
变量间的函数关系
[问题2] 某人坐摩天轮一圈用时8 min.若摩天轮匀速转动,把摩天轮的转动时间t作为自变量,他的海拔高度h作为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应
提示:每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.
知识点2:函数关系
两个变量具有依赖关系,如果对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么就称这两个变量具有函数关系.
[例2] 小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降得快.故选C.
变式训练2-1:如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.故选A.
读图、识图要注意因变量是随自变量的增加而增加(图象上升)还是减少(图象下降),变化幅度大还是小,因变量是正(图象在x轴上方)还是负(图象在x轴下方)等.
[例1] 如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.
(1)上午8时的气温约是多少 全天的最高、最低气温大约分别是多少
(2)大约在什么时刻,气温为0 ℃
(3)大约在什么时刻,气温在0 ℃以上 两个变量有什么特点 它们具有怎样的对应关系
解:(1)上午8时气温约是0 ℃,全天最高气温大约是 9 ℃,全天最低气温大约是-2 ℃.
(2)大约在0时、8时和22时,气温为0 ℃.
(3)大约在8时到22时之间,气温在0 ℃以上;变量0≤t≤24,变量-2≤T≤9,由于图象是连续的,可知随着时间的增加,气温具有先降再升再降的变化趋势,所以T与t具有依赖关系,也具有函数关系.
[例2] 声音在空气中传播的速度简称音速,实验测得音速与气温的一些数据如下表:
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y/(米/秒) 331 334 337 340 343
(1)根据表内数据作图;
(2)用x表示y;
(3)气温为22 ℃时,某人看到烟花燃放5秒后才听到声响,那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米.
解:(1)如图:
(2)由表中数据可知,气温每升高5 ℃,音速加快3米/秒,又过点(0,331),
故所求函数关系式为y=x+331.
(3)由(2)可知气温为22 ℃时,
音速y=×22+331,
故此人与燃放的烟花所在地约相距5×(×22+331)=66+1 655=1 721(米).
基础巩固
知识点一:变量关系的判断
1.明明从广州给远在上海的爷爷打电话,电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是( B )
(A)明明 (B)电话费 (C)时间 (D)爷爷
解析:电话费随着时间的变化而变化,故电话费是因变量.故选B.
2.谚语“瑞雪兆丰年”说明( A )
(A)下雪与来年的丰收具有依赖关系
(B)下雪与来年的丰收具有函数关系
(C)下雪是丰收的函数
(D)丰收是下雪的函数
解析:积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪可以防止土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入,具有增墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是函数关系.故选A.
知识点二:函数关系的判断
3.已知变量x,y满足y=x2,下列说法错误的是( C )
(A)x,y之间有依赖关系
(B)x,y之间有函数关系
(C)x是y的函数
(D)y是x的函数
解析:因为当y取一个正值时,有两个x的值与它对应,所以x不是y的函数.故选C.
4.下列关系不是函数关系的是 (填序号).
①乘坐出租车时,所付车费与乘车距离的关系;
②某同学学习时间与其学习成绩的关系;
③人的睡眠质量与身体状况的关系.
解析:对于①,所付车费与乘车距离是一种函数关系;而对于②,③中的两个变量是非确定性关系,不是函数关系.
答案:②③
知识点三:两变量关系的图象反映
5.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C )
(A)这天15时的温度最高
(B)这天3时的温度最低
(C)这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
(D)这天21时的温度是30 ℃
解析:这天的最高温度与最低温度相差36-22=14(℃).故选C.
6.假定甲、乙两人在一次百米赛跑中,路程与时间的关系如图所示,那么可以知道:
(1)甲、乙两人中先到达终点的是 ;
(2)乙在这次赛跑中的速度为 m/s.
解析:设甲、乙的速度分别为v1,v2,
则v1==(m/s),v2==8(m/s),
v1>v2,所以甲先到达终点.
答案:(1)甲 (2)8
能力提升
7.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:
①0时到3时只进水不出水;
②3时到4时不进水只出水;
③4时到6时不进水不出水.
则正确论断的个数是( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:由甲、乙图可知单位时间的进水量为1,出水量为2,所以当两个进水口都打开,出水口关闭时,单位时间的进水量为2.当只打开一个进水口和出水口时出水量为1,当两个进水口和出水口都打开时进出水量持平,水池中的蓄水量不变.结合丙图可知只有①正确.故选B.
8.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表:
运送距离 x/km 0
邮资y/元 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地,那么他应付的邮资是( C )
(A)5.00元 (B)6.00元
(C)7.00元 (D)无法确定
解析:因为800 g<1 000 g,所以适用表格给出的邮资标准.
因为1 000<1 200<1 500,所以应付邮资7.00元.故选C.
9.星期天,小明从家出发,出去散步,下图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系,根据图象,下面的描述符合小明散步情况的是( B )
(A)从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了
(B)从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了
(C)从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了
(D)从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,18 min后才回家
解析:由图象知选项B符合图象的描述.故选B.
10.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图①所示,那么水瓶的形状是图②中的( B )
解析:由图①知注水量随高度的增大开始增加,速度先快后慢,即容器下口径大,上口径小.故选B.
11.现有含盐7%的食盐水200 g,生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水x g,则x的取值范围是 .
解析:由题设得0.05<<0.06,解得100答案:(100,400)
12.向平静的湖面投一块石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆.
(1)在这个变化过程中,有哪些变量
(2)若圆的面积用S表示,半径用R表示,则S和R的关系是什么
(3)若圆的周长用C表示,半径用R表示,则C与R的解析式是什么
解:(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量.
(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系,对于半径R的每一个取值,都有唯一的面积S与之对应,所以圆的面积S是半径R的函数.
(3)C=2πR.
13.如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(km)与时间t(时)的关系.骑车者9时离开家,15时回家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
(2)何时开始第一次休息 休息多长时间
(3)第一次休息时,离家多远
(4)11:00到12:00他骑了多少千米
(5)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐
解:(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时,离家30 km.
(2)10:30开始第一次休息,休息了半小时.
(3)第一次休息时,离家17 km.
(4)11:00至12:00,他骑了13 km.
(5)从12时到13时停止前进,并休息用午餐.
应用创新
14.如图是我国去年某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份(单位:月),纵轴为降雨量(单位:cm).
由图中曲线判断该地去年的降雨量与月份是否具有函数关系
解:因为对于去年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,故可得该地去年的降雨量与月份具有函数关系,且自变量是月份,因变量是降雨量.
15.如图是某地某天气温随时间变化的图象,根据图象,回答在这一
天中:
(1)什么时间气温最低 什么时间气温最高 最高气温和最低气温各是多少
(2)20时的气温是多少
(3)什么时间的气温为6 ℃
(4)哪段时间内气温不断下降
(5)哪段时间内气温持续不变
解:(1)凌晨4时的气温最低,气温是-4 ℃;
16时的气温最高,气温是10 ℃.
(2)20时的气温是8 ℃.
(3)10时和22时的气温都是6 ℃.
(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降.
(5)12时到14时这段时间内气温保持8 ℃不变.§2 函 数
2.1 函数概念
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数在集合观点下的定义,会求简单函数的定义域和值域,会用集合、区间或不等式表示它们. 2.理解函数符号的意义,并会求某些自变量及函数值. 1.通过学习函数的概念,培养数学抽象素养. 2.借助函数的定义域与值域的求解,培养数学运算素养.
函数的概念
[问题1] 事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化.
早晨,太阳从东方冉冉升起;
气温随时间在悄悄地改变;
小树随着时间的变化不断长高;
……
在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化.
(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系
(2)这样的模型具有怎样的特征
知识点1:函数的概念
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
[思考1-1] (1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系
提示:(1)这种看法不对.
符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
[思考1-2] 如果两个函数的定义域和值域都相同,那么这两个函数是同一个函数吗
提示:不是,两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
[例1] (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象:
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2)判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.
①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
②A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
③A=Z,B=Z,f:x→y=.
(1)解析:①中,因为在集合M中当1(2)解:①A中的元素0在B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.
③集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
变式训练1-1:如图,可表示函数y=f(x)的图象的是( )
解析:根据函数的定义,对于定义域内的任意的一个自变量x,有唯一的函数值与之对应,故任作一条垂直于x轴的直线,与函数的图象最多有一个交点.故选D.
变式训练1-2:判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数.
(1)A=R,B=R,对应法则f:y=;
(2)A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;
(3)A={1,2,3},B={4,5,6},对应法则如图所示.
解:(1)A=R,B=R,对于集合A中的元素x=0,在对应法则f:y=的作用下,在集合B中没有元素与之对应,故所给对应f不是定义在集合A上的函数.
(2)由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下,在集合B中都有唯一的元素与之对应,故所给对应f是定义在集合A上的函数.
(3)集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应f不是定义在集合A上的函数.
(1)判断对应关系是否为函数的两个条件
①A,B必须是非空实数集;
②A中任意一个元素在B中有且仅有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.
(2)判断函数相等的方法
①先看定义域,若定义域不同,则不相等;
②若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同,若对应关系也相同,则是同一个函数.
函数的定义域
[问题2-1] 在函数的概念中非空集合A一定是函数的定义域吗 集合A中的元素能有不与集合B中的元素对应的吗
提示:函数概念中的非空集合A一定是函数的定义域.集合A中的所有元素必须都要与集合B中的元素对应,即集合A中不能有剩余.
[问题2-2] 已知函数的解析式,求其定义域时,能否对其先化简再求定义域
提示:不可以.如f(x)=,倘若先化简,则f(x)=,从而定义域与原函数不等价.
[例2] (1)求下列函数的定义域:
①y=;
②y=;
③y=+-.
(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.
解:(1)①4-x≥0,
即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}.
②分母|x|-x≠0,即|x|≠x,
所以x<0.
故函数的定义域为{x|x<0}.
③解不等式组
得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5,且x≠3}.
(2)矩形一边长为x,则另一边长为(a-2x),
所以y=x·(a-2x)=-x2+ax,定义域为(0,).
变式训练2-1:求下列函数的定义域:
(1)y=x+;
(2)y=+;
(3)y=(x-2 021)0+.
解:(1)当且仅当x-2≠0,
即x≠2时,函数y=x+有意义,
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
(2)函数有意义,当且仅当
解得0≤x≤1,
所以这个函数的定义域为{x|0≤x≤1}.
(3)函数有意义,当且仅当
解得x≥3且x≠2 021,
所以这个函数的定义域为{x|x≥3,且x≠2 021}.
求函数的定义域
(1)要明确使各函数解析式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:分式的分母不为0;偶次根式的被开方数非负;y=x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
(4)实际问题中的定义域,不但受解析式限制,还受实际问题约束.
求函数值或值域
[典例] 求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=+1;
(3)y=;
(4)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2).
试题情境:课程学习情境.
必备知识:函数的概念,值域的求法.
关键能力:运算求解能力.
学科素养:数学抽象,数学运算.
解:(1)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1,计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(2)因为≥0,所以+1≥1,
故所求函数的值域为[1,+∞).
(3)y===2+,
显然≠0,所以y≠2.
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
因为-5≤x≤-2,所以-4≤x+1≤-1.
所以1≤(x+1)2≤16.
所以-12≤4-(x+1)2≤3.
所以所求函数的值域为[-12,3].
[素养演练1] 设函数f(x)=,则当f(x)=2时,x的取值为( )
(A)-4 (B)4 (C)-10 (D)10
解析:令=2,得x=-10.故选C.
[素养演练2] 求下列函数的值域.
(1)y=-1(x≥4);
(2)y=x+;
(3)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]).
解:(1)因为x≥4,所以≥2,
所以-1≥1,所以y∈[1,+∞),故该函数的值域为[1,+∞).
(2)设u=,则u≥0,且x=,
于是,y=+u=(u+1)2≥,
所以y=x+的值域为[,+∞).
(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2],
结合其图象可得值域为[-4,0].
求函数值域的方法主要有以下几种:
(1)观察法:对于函数解析式结构较简单的函数可以通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的函数的值域求出原函数的值域.
(2)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,利用该函数的值域求原函数的值域.用换元法求函数值域时,要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围.例如,求形如y=ax+b±(a,b,c,d均为常数,ac≠0)的函数的值域,常用t=换元后转化为求二次函数值域.
(3)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方后结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间二次函数最值的求法.
(4)数形结合法:有些函数的图象比较容易画出,可以通过函数的图象得出函数的值域.
(5)分离常数法:对于形如y=(a≠0)的函数,经常采用分离常数法,将变形为=+,再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
[例1] 下列各组函数是同一个函数的是( )
①f(x)=与g(x)=x;
②f(x)=x与g(x)=;
③f(x)=x0与g(x)=;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
(A)①② (B)①③ (C)③④ (D)①④
解析:①的对应法则不同,故不是同一个函数.
②g(x)==|x|与f(x)=x的对应法则不同,故不是同一个函数.
③f(x)=x0与g(x)=都可化为y=1且定义域是{x|x≠0},故是同一个函数.
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应法则也相同,故是同一个函数.
综上可知是同一个函数的是③④.
故选C.
[例2] 求下列函数的值域:
(1)y=,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
(3)y=2x-.
解:(1)因为x∈{1,2,3,4,5},所以可得函数的值域为{1,,,,}.
(2)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①),可得函数的值域为[2,6).
(3)设t=,
则t≥0且x=t2+1,
所以y=2(t2+1)-t=
2(t-)2+,由t≥0,再结合函数的图象(如图②),
可得函数的值域为[,+∞).
[例3] 已知f(x)=(x∈R,x≠2),g(x)=x+4(x∈R).求:
(1)f(1),g(1)的值;
(2)f(g(1)),g(f(1))的值;
(3)f(g(x)),g(f(x))的解析式.
解:(1)f(1)==1,g(1)=1+4=5.
(2)f(g(1))=f(5)==-,
g(f(1))=g(1)=5.
(3)f(g(x))=f(x+4)==,
g(f(x))=g()=+4.
基础巩固
知识点一:函数的概念
1.如图可作为函数y=f(x)的图象的是( D )
解析:选项A,B,C均不符合函数定义,只有选项D可作为函数y=f(x)的图象.故选D.
2.下面各组函数中表示同一个函数的是( C )
(A)f(x)=x,g(x)=()2
(B)f(x)=,g(x)=
(C)f(x)=|x|,g(x)=
(D)f(x)=,g(x)=
解析:对于A,定义域不同,故不为同一个函数;
对于B,对应法则不同,故不为同一个函数;
对于C,为同一个函数;
对于D,f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)定义域为R,故不为同一个函数.故选C.
知识点二:函数的定义域
3.函数f(x)=+的定义域为( D )
(A)(-1,+∞) (B)[-1,+∞)
(C)(-1,2)∪(2,+∞) (D)[-1,2)∪(2,+∞)
解析:由题意得则x≥-1且x≠2.故选D.
4.设函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数y=f(2x-1)的定义域是 .
解析:因为函数f(x)的定义域为(-1,1),
所以y=f(2x-1)中,令-1<2x-1<1,解得0即函数y=f(2x-1)的定义域是(0,1).
答案:(0,1)
知识点三:函数的(值)值域
5.设f(x)=,则等于( B )
(A)1 (B)-1 (C) (D)-
解析:因为f(2)==,f()==-,所以=-1.故选B.
6.已知函数f(x)=x2,x∈{x∈N|-2≤x≤3},则函数f(x)的值域为 .
解析:由于函数f(x)=x2的函数值只能取f(±2)=4,f(±1)=1,f(3)=9,
f(0)=0,
所以函数f(x)的值域为{0,1,4,9},
答案:{0,1,4,9}
能力提升
7.若集合M={x|-4≤x≤4},N={y|-2≤y≤2},下列式子不表示定义在集合M到集合N上的函数的是( B )
(A)y=x (B)y=(x-1)
(C)y=x2-2 (D)y=x2
解析:在选项B中,当x=-4时,×(-4-1)=- N.故选项B中函数不是定义在集合M到集合N上的函数.A,C,D都符合定义在集合M到集合N的函数.故选B.
8.已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为( B )
(A)(,) (B)[,]
(C)(-∞,) (D)(-∞,]
解析:由f(x2-1)的定义域为[1,3],
得x2-1∈[0,8],f(x)的定义域为[0,8].
令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈[,],
所以f(2x-1)的定义域为[,].故选B.
9.函数y=的值域是( D )
(A)[-1,1] (B)(-1,1)
(C)[-1,+∞] (D)[-1,1)
解析:因为y==1-,
因为x2≥0,所以x2+1≥1,
即0<≤1,-2≤-<0,
所以-1≤1-<1,故函数的值域为[-1,1).故选D.
10.(多选题)若函数y=的值域为[0,+∞),则a的可能取值为( ABC )
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解析:当a=0时,y=≥0,即值域为[0,+∞),满足题意;当a≠0时,设f(x)=ax2+4x+1,要使原函数的值域为[0,+∞),
则解得0综上,0≤a≤4,因此A,B,C都有可能取到,D不能取到.故选ABC.
11.若函数y=的定义域为R,则实数k的值为 .
解析:由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+1=0无解.
当k=0时,函数y==1,函数的定义域为R,因此k=0符合题意;
当k≠0时,设f(x)=k2x2+3kx+1,则Δ=9k2-4k2=5k2>0,不等式Δ<0不
成立.
所以实数k的值为0.
答案:0
12.函数f(x),g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 .
解析:因为g(1)=3,f(3)=1,所以f(g(1))=1.
当x=1时,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,f(g(x))当x=2时,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,
f(g(x))>g(f(x)),符合题意;
当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,f(g(x))答案:1 2
13.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,2],求函数y=f(x+1)的定义域;
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[0,2],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],求函数y=f(x-2)的定
义域.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为[0,2],
由0≤x+1≤2,得-1≤x≤1,
即函数y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[0,2],
则0≤x≤2,则1≤x+1≤3,
即函数y=f(x)的定义域为[1,3].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],
则-1≤x≤1,则-2≤2x≤2,-3≤2x-1≤1.
由-3≤x-2≤1,得-1≤x≤3,
即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3].
14.求下列函数的值域:
(1)y=2-;
(2)y=3x2-5,x∈[-2,3];
(3)y=;
(4)y=|x+1|+|x-3|;
(5)y=.
解:(1)因为x2+1≥1,
所以≥1,-≤-1,
所以y=2-≤1,函数y=2-的值域为(-∞,1].
(2)因为-2≤x≤3,所以0≤x2≤9,0≤3x2≤27,-5≤3x2-5≤22,
所以函数y=3x2-5,x∈[-2,3]的值域是[-5,22].
(3)y==1-,因为x2+1≥1,
所以-4≤-<0,-3≤1-<1,
所以函数y=的值域是[-3,1).
(4)y=|x+1|+|x-3|,
当x≤-1时,y=-2x+2≥4.
当-13时,y=2x-2>4,
所以函数y=|x+1|+|x-3|的值域是[4,+∞).
(5)函数y=的定义域为{x|x≠-1且x≠2},
又y==,
所以-(x-)2+<0或0<-(x-)2+≤,所以y<0或y≥,所以函数y=的值域是(-∞,0)∪[,+∞).
应用创新
15.已知函数f(x)=的定义域与值域相同,则常数a=
( A )
(A)3 (B)-3 (C) (D)-
解析:函数y==3-的值域为{y∈R|y≠3},所以a=3.故选A.
16.若f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0), x1∈[-1,2], x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .
解析:因为f(x)=x2-2x,x∈[-1,2],
所以函数f(x)的值域为[-1,3].
因为a>0,所以g(x)的值域为[2-a,2+2a],
所以解得a≤,所以0答案:(0,]2.2 函数的表示法
核心知识目标 核心素养目标
1.了解函数的一些基本表示法,会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.通过图象法表示函数的学习,培养直观想象素养. 2.通过求函数解析式,培养数学运算素养.
函数的表示方法
[问题1] (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km,设计速度目标值为380 km/h,若京沪高速铁路时速按300 km/h计算,火车行驶x小时后,路程为y km,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫作该函数的解析式.
(2)如图是我国人口1950～1990年出生率变化曲线:
(3)下面是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表.
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
根据初中所学知识,请判断问题(1),(2),(3)分别是用什么法表示函数的
提示:解析法、图象法和列表法.
知识点1:函数的表示方法
函数的表示方法通常有三种,它们是列表法、图象法和解析法.
(1)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.
(2)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.
(3)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法.
[思考] 函数的三种表示方法各有什么优缺点
提示:函数的三种表示法的优缺点
优点 缺点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少个值的对应关系
图象法 能形象、直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
[例1] 某商场经营一批进价是30元/台的商品,在市场试销中发现,此商品销售单价x(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:
x 35 40 45 50 …
y 57 42 27 12 …
在所给的平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,并确定你认为比较适合x与y的一个一次函数解析式y=f(x).
解:作出点(35,57),(40,42),(45,27),(50,12),并用直线将其连接起来,如图,则可知其为一次函数,
不妨设y=kx+b(k≠0),将点(35,57),(40,42)代入其中,得解得
故y=162-3x,
因为日销售量为非负数,因此162-3x≥0,
即x≤54,且由于进价为30元/台,从而函数的定义域为[30,54],
于是y=162-3x,x∈[30,54].
变式训练1-1:已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域、值域分别是( )
(A)(-3,3),(-2,2)
(B)[-3,3],[-2,2]
(C)[-2,2],[-3,3]
(D)(-2,2),(-3,3)
解析:由题图易知x∈[-3,3],y∈[-2,2].故选B.
变式训练1-2:某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
解:(1)该函数关系用列表法表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)该函数关系用图象法表示,如图所示.
(3)该函数关系用解析法表示为y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
理解函数的表示法三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
分段函数
[问题2] 已知函数M(x)的解析式为M(x)=
(1)函数M(x)的解析式的个数是多少
(2)函数M(x)有什么特点
提示:(1)函数M(x)只有1个解析式.
(2)当x≤-1,-10时,函数M(x)的表达式不相同.
知识点2:分段函数
有些函数在其定义域中,对于自变量x的取值范围不同,对应关系也不同,这样的函数通常称为分段函数.
[例2] 已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(-),f(f(-))的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(1)由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),
-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
f(-)=(-)2+2×(-)=3-2,
f(-)=-+1=-,而-2<-<2,
所以f(f(-))=f(-)=(-)2+2×(-)=-3=-.
(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不符合题意,舍去.
当-2所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3 (-2,2),所以a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,
即2m-1>3m-5,
解得m<4,
又m≥2,
所以实数m的取值范围为[2,4).
变式训练2-1:已知函数f(x)=
(1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小;
(2)画出函数的图象;
(3)若f(x)=1,求x的值.
解:(1)因为-3<1,
所以f(-3)=-2×(-3)+1=7.
因为7>1,所以f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35.
因为3>1,所以f(3)=32-2×3=3,
所以f(f(3))=f(3)=3.
所以f(f(-3))>f(f(3)).
(2)函数图象如图实线部分所示.
(3)由f(x)=1和函数图象综合判断可知,
当x在(-∞,1)上时,得f(x)=-2x+1=1,解得x=0;
当x在[1,+∞)上时,得f(x)=x2-2x=1,解得x=1+或x=1-(舍去).
综上可知x的值为0或1+.
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
求函数的解析式
[问题3] 已知f(x-1)=x2,那么函数f(x)的解析式是f(x)=x2吗 为什么
提示:函数f(x)的解析式不是f(x)=x2.这是因为f(x-1)运算法则施加的对象是x-1,而f(x-1)=x2中等号后面是对自变量x表达的运算,不是x-1,等号前后表达不统一.
[例3] (1)已知f(+1)=x-2,则f(x)= ;
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)= ;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)= .
解析:(1)法一(换元法) 令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
法二(配凑法) f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3,因为+1≥1,
所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又f(f(x))=4x+8,
所以a2x+ab+b=4x+8,即
解得或
所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
(3)由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,
以-x代x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得
消去f(-x)可得f(x)=x-1.
答案:(1)x2-4x+3(x≥1) (2)2x+或-2x-8
(3)x-1
变式训练3-1:把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x”,求函数f(x)的解析式.
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1
得c=1.
又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1,
所以f(x+1)-f(x)=2ax+a+b.
由2ax+a+b=2x,得
解得a=1,b=-1.
所以f(x)=x2-x+1.
变式训练3-2:把本例(3)的题干改为“2f()+f(x)=x(x≠0)”,求函数f(x)的解析式.
解:f(x)+2f()=x,令x=,
得f()+2f(x)=.
于是得关于f(x)与f()的方程组
解得f(x)=-(x≠0).
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.
(3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
提醒:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性.
函数的图象及应用
[典例] 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3};
(2)y=,x∈[2,+∞).
试题情境:课程学习情境.
必备知识:函数图象的画法:描点作图.
关键能力:直观想象能力,运算求解能力.
学科素养:直观想象,数学运算.
解:(1)列表
x 0 1 -2 3
y 0 -1 2 -3
函数图象只是四个点(0,0),(1,-1),(-2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].
[素养演练]已知函数f(x)=1+(-2(1)用分段函数的形式表示f(x);
(2)画出f(x)的图象;
(3)若f(a)=2,求实数a的值.
解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1,
当-2f(x)=1+=1-x,
所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)因为f(a)=2,由函数图象可知a∈(-2,0),
所以1-a=2,即a=-1.
(1)描点法作函数图象的基本步骤是:
(2)作函数图象时应注意:
①在定义域内作图;
②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
[例1] 定义min{a,b}=若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},且f(x)在区间[m,n]上的值域为[,],则区间[m,n]长度的最大值为( )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:如图实线部分为函数f(x)的图象,
其中A(1,1),B(3,3),D(,),
由3-|x-3|=,得|x-3|=,
即xC=,xG=,即C(,),G(,).
若f(x)=,当1由图象知若f(x)在区间[m,n]上的值域为[,],则区间[m,n]长度的最大值为xE-xC=-=.故选B.
[例2] 已知函数f(x)=若存在x1解析:由函数解析式得f(x)大致图象如图所示.
当x∈[0,时,f(x)∈[,1).
当x∈[,1]时,f(x)∈[,3].
由题意得≤x1+<1,即≤x1<,
f(x2)=f(x1)=x1+,
所以x1·f(x2)=x1(x1+)=+x1∈[,).
答案:[,)
基础巩固
知识点一:函数的表示方法
1.德国数学家狄利克雷在1837年提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值x,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f(1 949f
(2 020))的值为( D )
x x< 1 921 1 921≤x <1 949 1 949≤x <2 021 2 021≤x <2 049 x≥ 2 049
f(x) 1 2 3 4 5
(A)2 (B)3
(C)4 (D)5
解析:由题意知f(2 020)=3,f(1 949×3)=5.故选D.
2.某学校高中部举行秋季田径运动会,甲、乙、丙、丁4名同学代表高一(1)班参加男子组4×100 m接力跑比赛,甲同学负责跑第二棒.在比赛中,从甲接到接力棒到甲送出接力棒,甲同学的跑步速率v(单位:m/s)关于跑步时间t(单位:s)的函数图象最可能是( C )
解析:甲接棒后经过加速,速率越来越快,匀速,速率不变,送出的过程减速,选项C符合.故选C.
知识点二:分段函数
3.函数f(x)=则f()的值为( C )
(A) (B)- (C) (D)
解析:由题意得f(3)=32-3-3=3,所以f()=f()=1-()2=.故选C.
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 .
解析:当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,
则
所以即f(x)=x+1.
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,则k=-1,即f(x)=-x.
综上,f(x)=
答案:f(x)=
知识点三:求函数解析式
5.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( B )
(A) (B)
(C) (D)-1
解析:令=t,则x=,代入f()=,则有f(t)==,所以f(x)=
(x≠0且x≠1).故选B.
6.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(3)= .
解析:由2x+1=3得x=1,
所以f(3)=1-2=-1.
答案:-1
能力提升
7.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( D )
(A)y=20-2x
(B)y=20-2x(0(C)y=20-2x(5≤x≤10)
(D)y=20-2x(5解析:由题意得y+2x=20,所以y=20-2x.
又2x>y,即2x>20-2x,即x>5.
由y>0即20-2x>0,得x<10,
所以58.(多选题)下列函数中,对 x∈R,满足f(2x)=2f(x)的是( AC )
(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x2
(C)f(x)=x-|x| (D)f(x)=x+
解析:对于A选项,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),符合题意;
对于B选项,f(2x)=(2x)2=4x2=4f(x),不符合题意;
对于C选项,f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2f(x),符合题意;
对于D选项,f(x)=x+,该函数的定义域为{x|x≠0},不符合题意.故选AC.
9.已知函数f(x)=x1,x2∈R,f(x1)=f(x2)=m,且x1+x2=0,则m=( B )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:因为x1+x2=0,所以x1,x2互为相反数,不妨设x1<0由f(x1)=f(x2)可得-x1=2-,而x2=-x1,所以x2=2- x2=1,
故m=f(1)=1.故选B.
10.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为 .
解析:在同一平面直角坐标系内,作出直线y=2a与函数y=|x-a|-1的大致图象,如图所示.
由题意,可知2a=-1,则a=-.
答案:-
11.已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3).
若f(g(1))=5,则a= ;
若g(f(x))=x2-x+1,则a= .
解析:因为g(1)=(1+3)=1,
所以f(g(1))=f(1)=2+a=5,所以a=3.
又因为g(x)=(x2+3),
所以g(f(x))=[(2x+a)2+3]=
(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1,解得a=-1.
答案:3 -1
12.(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x-)=x2++1,求函数f(x)的解析式.
解:(1)设f(x)=ax+b(a≠0),
则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=
ax+8a+b=2x+21,
所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5.
(2)因为f(x-)=(x-)2+2+1=(x-)2+3.所以f(x)=x2+3.
13.已知函数f(x)的解析式为f(x)=
(1)求f(f());
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)作出函数f(x)的图象,并求出函数f(x)的值域.
解:(1)因为0<<1,所以f()=>1,
则f(f())=f()=-2×+8=-3.
(2)当a≤0时,f(a)=3a+5=2,解得a=-1;
当0当a>1时,-2a+8=2,解得a=3.
综上所述,a=-1或3.
(3)作出函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)的值域为(-∞,6].
应用创新
14.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-∞,4) (B)(-∞,2)
(C)(2,+∞) (D)R
解析:①当<1,即a<2时,由二次函数图象的对称性知,必存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2);
②当≥1,即a≥2时,若存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则函数图象需满足如图所示.
即-1+a>2a-5,解得a<4,所以2≤a<4.
综上所述a<4.故选A.
15.设集合A=[0,),B=[,1],函数f(x)=若x0∈A,
且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是 .
解析:因为x0∈A,所以0≤x0<,且f(x0)=x0+.
又≤x0+<1,所以x0+∈B,
所以f(f(x0))=2(1-x0-)=2(-x0).
又f(f(x0))∈A,所以0≤2(-x0)<,
解得所以答案:(,)§3 函数的单调性和最值
3.1 函数的单调性
核心知识目标 核心素养目标
1.从图象直观、定性描述和定量分析三个方面,认识函数的单调性,理解函数单调性的定义. 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间. 1.通过单调区间、单调性等概念的学习,培养抽象概括素养. 2.通过用定义证明函数的单调性,培养逻辑推理素养.
增函数与减函数
[问题1] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后
记忆 量y (百分 比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
(1)当时间间隔t逐渐增大,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势 通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释
提示:(1)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小,这个试验告诉我们,在学习中,我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
知识点1:增函数与减函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是D:
如果对于任意的x1,x2∈D,当x1如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递减.
[思考1] 若函数f(x)对应定义域内的区间D上任意的x1,x2,x1≠x2,都满足>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,那么函数f(x)具有什么性质 若都满足<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0呢
提示:若对于任意的x1,x2,x1≠x2,函数f(x)都满足>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上单调递增;若都满足<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在区间D上单调递减.
[例1] 求下列函数的定义域,并指出该函数在其定义域(或其定义域上的不同区间)上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)=-;(2)f(x)=
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
解:(1)函数f(x)=-的定义域为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增.
(2)当x≥1时,f(x)单调递增,
当x<1时,f(x)单调递减,
所以f(x)的定义域为(-∞,1),[1,+∞).
并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示.
由图象可知,函数f(x)的定义域为(-∞,-1],
(-1,0),[0,1),[1,+∞).
函数f(x)在(-∞,-1],[0,1)上单调递增,
在(-1,0),[1,+∞)上单调递减.
变式训练1-1:讨论函数f(x)=-(x-3)|x|的单调性.
解:f(x)=-(x-3)|x|=
作出该函数的图象,如图所示.观察图象知函数f(x)在区间[0,]上单调递增,在区间(-∞,0),(,+∞)上单调递减.
判断函数单调性的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调性要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象.
函数的单调性
[问题2] 函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,能否说它在整个定义域上是减函数
提示:不能.函数的单调性是相对某个区间而言的.在整个定义域上不满足减函数的定义,我们只能说(-∞,0)与(0,+∞)分别是函数y=的单调递减区间.
知识点2:函数的单调性
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
[思考2] 已知函数f(x)与g(x)在公共区间上具有单调性,
(1)若函数f(x)与g(x)均为增函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何
(2)若函数f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何
(3)若函数f(x)为减函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何
(4)若函数f(x)为减函数,g(x)为增函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何
提示:(1)F(x)=f(x)+g(x)单调递增;
(2)F(x)=f(x)-g(x)单调递增;
(3)F(x)=f(x)+g(x)单调递减;
(4)F(x)=f(x)-g(x)单调递减.
[例2] 已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
解:(1)由x2-1≠0得x≠±1,
故函数f(x)=的定义域为{x|x≠±1}.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-==.
因为-1>0,-1>0,x2+x1>0,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.
变式训练2-1:已知函数f(x)=的图象过点(1,2).
(1)求f(-2),f()的值;
(2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)由函数f(x)=的图象过点(1,2),得
f(1)==2,
解得a=5,所以f(x)=,
则f(-2)==11,f()==1.
(2)函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下:
在(-1,+∞)上任取x1,x2且x1有f(x1)-f(x2)=-
=
=
=<0,
所以f(x1)故函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤
(1)在区间D上任取两个自变量的值x1,x2,并规定 x1(2)计算f(x1)-f(x2),将f(x1)-f(x2)分解为若干个可以直接确定符号的式子;
(3)确定f(x1)-f(x2)的符号.若f(x1)-f(x2)<0,则函数f(x)在区间D上单调递增;若f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在区间D上单调递减.
证明单调性的步骤中,作差f(x1)-f(x2)变形时,应注意若函数解析式是多项式,常将差式变形后提取公因式.若f(x)解析式含分式,需将分式通分后变形.若f(x)的解析式含根式,常将“差式”进行有理化变形.
单调性的应用
[问题3] (1)若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系 如果函数f(x)是减函数呢
(2)决定一元二次函数f(x)=ax2+bx+c单调性的因素有哪些
提示:(1)若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a(2)开口方向和对称轴的位置,即字母a的符号及-的大小.
[例3] (1)若函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
(A)(,1] (B)(,+∞)
(C)[1,2] (D)[1,+∞)
(2)已知二次函数f(x)=x2-6ax+1.
①若函数f(x)的一个单调区间是(-∞,6],则a的取值集合是 ;
②若函数f(x)在(-∞,6]上是减函数,则a的取值集合是 .
解析:(1)因为函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
所以f(x)在(-∞,1]与(1,+∞)上均为增函数,
即
解得1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1,2].故选C.
(2)①因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又由题意知f(x)的一个单调区间是(-∞,6],
所以3a=6,所以a=2.
所以满足条件的a的取值集合是{2}.
②因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又f(x)在(-∞,6]上是减函数,
所以3a≥6,所以a≥2.
所以a的取值集合是{a|a≥2}.
答案:(1)C (2)①{2} ②{a|a≥2}
变式训练3-1:(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,-1]
(B)[-1,3]
(C)[3,+∞)
(D)[3,+∞)∪(-∞,-1]
(2)已知函数f(x)=是R上的减函数,那么a的取值范围是( )
(A)(0,3) (B)(0,3]
(C)(0,2) (D)(0,2]
解析:(1)因为函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1的图象开口向上,对称轴方程为x=1-a,
又因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间
[-2,2]上是单调函数,
所以1-a≥2或1-a≤-2,
解得a≥3或a≤-1.故选D.
(2)因为f(x)为R上的减函数,
所以当x≤1时,f(x)单调递减,
则a-3<0.①
当x>1时,f(x)单调递减,
则a>0.②
又由题意可知(a-3)×1+5≥,③
由①②③式可得0函数单调性的应用
(1)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.注意函数在某个区间I上单调与函数的单调区间是I的区别.前者是函数相应单调区间的子集,而后者就是函数的单调区间.
(2)对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则左边函数值小于或等于右边函数值(若函数是减函数,则右边函数值小于或等于左边函数值),这样才能满足R上的单调递增(减),否则求出的参数范围会出现错误.
复合函数的单调性
复合函数y=f(g(x)),若u=g(x)在给定的区间(a,b)上是单调函数且y=f(u)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a)) 上也是单调函数,则复合函数y=f(g(x))在(a,b)上是单调函数.
①若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函数;
②若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为减函数.
列表如下:
内层函数 u=g(x) 外层函数 y=f(u) 复合函数 y=f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外层函数的单调性相同时,复合函数单调递增,相异时单调递减.
[典例探究] 函数y=的单调递增区间是( )
(A)(-∞,-3) (B)(-∞,-1)
(C)(-1,+∞) (D)(1,+∞)
解析:由x2+2x-3≥0可得x≤-3或x≥1.
y=可看作由y=和u=x2+2x-3复合而成的.
又u=x2+2x-3=(x+1)2-4在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
y=单调递增,
所以f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故y=的单调递增区间是(1,+∞).故选D.
[应用探究] (1)函数f(x)=的单调递增区间为( )
(A)(-∞,3] (B)[3,4]
(C)[2,3] (D)[3,+∞)
(2)函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数f(|x-2|)的单调递减区间是( )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,-2]
(C)[2,+∞) (D)R
解析:(1)因为f(x)=,
所以-x2+6x-8≥0,
即x2-6x+8≤0,
所以(x-2)(x-4)≤0,解得2≤x≤4.
所以f(x)=的定义域为{x|2≤x≤4}.
设t=-x2+6x-8,则其图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为x=3,
其单调递增区间为(-∞,3).
则由得x∈[2,3],
所以函数f(x)=的单调递增区间为[2,3].故选C.
(2)函数f(|x-2|)可以写成内外层函数y=f(t),t=|x-2|,
内层函数在(-∞,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
外层函数是增函数,可知函数f(|x-2|)在区间(-∞,2]上单调递减.故选A.
[例1] 若函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递减,则a的取值范围是( )
(A)(1,+∞)
(B)[1,+∞)
(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(D)(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析:由题意得f(x)=a2+,
因为函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递减,
所以故a>1.故选A.
[例2] 已知函数f(x)=对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
(A)[3,+∞) (B)[0,3]
(C)[3,4] (D)[2,4]
解析:由题意知,函数f(x)在R上为增函数,
当x≥a时,f(x)=|x2-2x-3|的图象如图所示.
因为f(x)在R上为增函数,所以a≥3.
当x0,
且在x=a处a2-2a-3≥a2-11,解得a≤4,
综上,3≤a≤4.故选C.
[例3] 设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f()的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出你的证明;
(3)解不等式f(x2)>f(8x-6)-1.
解:(1)由题意,令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
令x=2,y=,可得f(1)=f(2)+f(),
即1+f()=0,解得f()=-1.
(2)函数f(x)为增函数.证明如下:
设x1,x2∈(0,+∞)且x1令x=x1,y=,根据题意,可得f(x1)+f()=
f(x2),即f(x2)-f(x1)=f().
又x>1时,f(x)>0,
因为>1,所以f()>0,
即f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)由题意和(1)可得f(8x-6)-1=f(8x-6)+f()=f[(8x-6)]=f(4x-3),
又由不等式f(x2)>f(8x-6)-1,
即f(x2)>f(4x-3),
可得解得3,
即不等式f(x2)>f(8x-6)-1的解集为
{x|3}.
基础巩固
知识点一:函数的单调性
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增
(B)函数在区间[1,4]上单调递增
(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性
解析:由题图可知,函数f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用“∪”连接.故选C.
2.函数f(x)=|x-1|与g(x)=x(x-2)的单调递增区间分别为( A )
(A)[1,+∞),[1,+∞)
(B)(-∞,1],[1,+∞)
(C)(1,+∞),(-∞,1]
(D)(-∞,+∞),[1,+∞)
解析:因为f(x)=|x-1|=
所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增.
因为g(x)=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1,
所以函数g(x)在[1,+∞)上单调递增.故选A.
知识点二:单调性的判断与证明
3.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A )
(A)y=|x| (B)y=3-x
(C)y= (D)y=-x2+4
解析:函数y=-x+3在R上是减函数,反比例函数y=在(0,+∞)上是减函数,二次函数y=-x2+4在(0,+∞)上是减函数,函数y=|x|在(0,+∞)上是增函数.故选A.
4.已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内下列函数为增函数的是 .
①y=a+f(x)(a为常数);
②y=a-f(x)(a为常数);
③y=;④y=[f(x)]2.
解析:f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0时,-f(x),均为增函数.
答案:②③
知识点三:单调性的应用
5.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(||)(A)(-1,1)
(B)(0,1)
(C)(-1,0)∪(0,1)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由已知条件得||>1,不等式等价于解得-1x≠0.故选C.
6.函数y=x2+2mx+1在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是( A )
(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)
(C)(-∞,2) (D)(-∞,2]
解析:函数y=x2+2mx+1在[2,+∞)上单调递增,则-m≤2,解得m≥-2.故选A.
能力提升
7.函数y=的单调递减区间为( D )
(A)(-∞,-] (B)[-,+∞)
(C)[0,+∞) (D)(-∞,-3]
解析:由题意,x2+3x≥0,可得x≤-3或x≥0,
则函数y=的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞),
令t=x2+3x,函数t=x2+3x在(-∞,-3]上单调递减,在[0,+∞)上单调
递增,
所以函数y=的单调递减区间为(-∞,-3].故选D.
8.已知函数f(x)=x2-2(k-1)x-8在[5,20]上不单调,则实数k的取值范围是( D )
(A)(-∞,6] (B)[21,+∞)
(C)(-∞,6]∪[21,+∞) (D)(6,21)
解析:因为二次函数f(x)=x2-2(k-1)x-8的图象的对称轴方程
为x=k-1,
所以59.若函数f(x)=对于任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数b的取值范围为( C )
(A)(,4] (B)[4,+∞)
(C)[1,4] (D)(,+∞)
解析:依题意知,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,
所以解得1≤b≤4.
因此,实数b的取值范围是[1,4].故选C.
10.(多选题)函数f(x)=在区间(b,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是( AC )
(A)a>-2 (B)b>-1
(C)b≥-1 (D)a<-2
解析:f(x)==2-,
因为函数f(x)在区间(b,+∞)上单调递增,
所以a+2>0,所以a>-2.
又x≠-1.
所以当b≥-1时都符合题意.故选AC.
11.若函数y=|2x+a|在区间[3,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
解析:函数y=|2x+a|在(-,+∞)上是增函数,则-≤3 a≥-6.
答案:[-6,+∞)
12.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)-f(y),则f(1)的值为 ;若f(6)=1,则不等式f(x+3)-f()<2的解集为 .
解析:令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),所以f(1)=0.
因为f(6)=1,所以f(x+3)-f()<2=f(6)+f(6),
所以f(3x+9)-f(6)因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,
所以解得-3答案:0 (-3,9)
13.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x-2)=6x-9(x∈R),且f(0)=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-2tx在区间[0,5]上是单调函数,求实数t的取值范围.
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(0)=c=2,所以f(x)=ax2+bx+2,
a(x+1)2+b(x+1)+2-a(x-2)2-b(x-2)-2=6x-9,
整理得6ax+3b-3a=6x-9,
所以解得
所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)得g(x)=x2-(2+2t)x+2,函数g(x)图象的对称轴方程
为x=1+t,
若函数g(x)在区间[0,5]上单调递增,则1+t≤0,解得t≤-1,
若函数g(x)在区间[0,5]上单调递减,则1+t≥5,解得t≥4,
所以实数t的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
应用创新
14.定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f()=f(m)-f(n);
(2)讨论函数f(x)的单调性,并说明理由;
(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(3x)>3.
(1)证明:由题可得f(m)=f(·n)=f()+f(n),
即f()=f(m)-f(n).
(2)解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则>1.
由(1)得f(x2)-f(x1)=f()>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)解:因为f(2)=1,
所以2=f(2)+f(2)=f(4),3=f(4)+f(2)=f(8),
f(x+3)-f(3x)>3,
f(x+3)>f(3x)+f(8),
f(x+3)>f(24x).
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以
解得03的解集为{x|0核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数最大值、最小值的概念及其几何意义. 2.会求函数的最大值、最小值. 1.借助函数最值的求法,培养直观想象和数学运算素养. 2.利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.
函数的最大值、最小值
[问题1] 如图是某天气温随时间变化的曲线.
(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少
(2)设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化
(3)从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得
提示:(1)该天的最高气温为25 ℃,最低气温为-5 ℃.
(2)该天某时刻的气温变化范围是[-5 ℃,25 ℃].
(3)气温的最大值在t=17时取得,气温的最小值在t=6时取得.
知识点:函数的最大值、最小值
(1)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的最大值.
(2)若存在实数m,对所有的x∈D,都有f(x)≥m,且存在x0∈D,使得f(x0)=m,则称m为函数y=f(x)的最小值.
[思考] 若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
[例1] 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值.
解:当x-2≥0,即x≥2时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;
当x-2<0,即x<2时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+.
所以y=
画出该分段函数的图象,如图.
由图象可知,函数y=|x-2|(x+1)在(-∞,],[2,+∞)上单调递增;
在[,2]上单调递减.
观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值.
变式训练1-1:若函数f(x)在(a,2]上既有最小值又有最大值,则a的取值范围是 .
解析:结合图象及所给区间(a,2]可知,函数不可能在a处取最值,可以在x=2处取最值,因此要使函数既有最大值又有最小值,-1≤a<,故a∈[-1,).
答案:[-1,)
变式训练1-2:已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
解:作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
利用单调性求函数的最值
[问题2] (1)如果非常函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值吗
(2)如果非常函数f(x)是开区间(a,b)上的连续函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值吗
(3)如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续且单调函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值在哪里取得
提示:(1)函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值.
(2)不一定.可能既有最大值又有最小值,也可能既没有最大值也没有最小值.
(3)如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续且单调函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值在区间端点处取得.
[例2] 已知函数f(x)=.
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下:
任取-1则f(x1)-f(x2)=-=,
因为-10,x2+1>0,
x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,
所以函数f(x)的最小值为f(2)==,
最大值为f(4)==.
变式训练2-1:设f(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1,若函数f(x)在区间[3,6]上的图象恒位于x轴的上方,则实数a的取值范围是( )
(A)(,+∞) (B)(,1)
(C)(1,+∞) (D)(,+∞)
解析:由题意,(a-1)x2+(2-a)x+1>0对任意x∈[3,6]恒成立,
因为x∈[3,6],所以x2-x>0,得a>对任意x∈[3,6]恒成立,
即a>1-对任意x∈[3,6]恒成立.
令t=x+1,则x=t-1且t∈[4,7],
则a>1- a>1-,
所以a>1-对任意t∈[4,7]恒成立.
因为函数g(t)=t+在[,+∞)上是增函数,
所以当t=7时,1-取得最大值,
因此实数a的取值范围是(,+∞).故选D.
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b);
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的;
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
函数最值的应用——恒成立问题
[典例] 设函数f(x)=x+,
(1)利用函数单调性的定义证明:函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;
(2)若不等式f(x)-a≥0对任意的2≤x≤3恒成立,求实数a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:函数单调性,函数的最值.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
(1)证明:由f(x)=x+=x+-1,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(x1+-1)-(x2+-1)=(x1-x2)+=(x1-x2)().
又因为x1,x2∈(1,+∞),x1所以x1x2>1,x1-x2<0.
所以x1x2-1>0,
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·()<0.
所以f(x1)(2)解:由f(x)-a≥0,则f(x)≥a.
要使f(x)≥a对任意的2≤x≤3恒成立,只需f(x)min≥a即可,
因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在[2,3]上单调递增,
所以f(x)min=f(2)=,故a≤,
所以实数a的取值范围为(-∞,].
[素养演练1] 本例(2)若改为a-f(x)≥0对x∈[2,3]恒成立,求a的取值范围.
解:因为a≥f(x)恒成立,
所以a大于等于f(x)在x∈[2,3]上的最大值,由本例(1)知函数f(x)在[2,3]上的最大值为f(3)=3+-1=.故a≥.
所以a的取值范围为[,+∞).
[素养演练2] 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
解:法一 令y=x2-x+a,
要使x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
只需ymin=>0,解得a>.
所以实数a的取值范围是(,+∞).
法二 x2-x+a>0可化为a>-x2+x.
要使a>-x2+x对任意x∈(0,+∞)恒成立,
只需a>(-x2+x)max,
又(-x2+x)max=,所以a>.
所以实数a的取值范围是(,+∞).
[素养演练3] 已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
解:因为x>0,所以ax2+x≤1可化为a≤-.要使a≤-对任意x∈(0,1]恒成立,
只需a≤(-)min.
设t=,因为x∈(0,1],所以t≥1.
-=t2-t=(t-)2-.
当t=1时,(t2-t)min=0,
即x=1时,(-)min=0,
所以a≤0.所以实数a的取值范围是(-∞,0].
(1)不等式恒成立问题中,若a≥f(x)恒成立,则a大于等于f(x)的最大值;若a≤f(x)恒成立,则a小于等于f(x)的最小值.
(2)若函数的定义域为I,且存在x∈I,使a≥f(x)成立,则a大于等于f(x)的最小值;若a≤f(x)成立,则a小于等于f(x)的最大值.
[例1] 已知函数f(x)=x2+-3,g(x)=kx+2,若对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1,],使得g(x1)>f(x2),则实数k的取值范围是( ).
(A)(,1) (B)(-,)
(C)(-,1) (D)以上都不对
解析:由题意知g(x1)min>f(x2)min.
f(x)=x2+-3≥2-3=1,当且仅当x=时等号成立,所以f(x2)min=1.
当k>0时,g(x)∈[-k+2,2k+2],所以只需满足-k+2>1,解得0当k=0时,g(x)=2,满足题意.
当k<0时,g(x)∈[2k+2,-k+2],所以只需满足2k+2>1,解得-所以实数k的取值范围为(-,1).故选C.
[例2] 函数g(x)=2x-的值域为 .
解析:设=t(t≥0),则x+1=t2,
即x=t2-1,所以y=2t2-t-2=2(t-)2-,t≥0,
所以当t=时,y最小值=-,
所以函数g(x)的值域为[-,+∞).
答案:[-,+∞)
[例3] 已知函数f(x)=mx2-4x-2(m∈R).
(1)若f(x)在区间[1,2]上是减函数,求m的取值范围;
(2)若方程f(x)=0在区间[-2,-1]上有解,求m的取值范围;
解:(1)当m=0时,f(x)=-4x-2在区间[1,2]上是减函数,符合题意;
当m>0时,函数图象的对称轴方程为x=≥2,即0当m<0时,≤1恒成立.
综上,m的取值范围是(-∞,1].
(2)由题有mx2-4x-2=0在[-2,-1]上有解,
即m==+=2(+1)2-2在[-2,-1]上有解.
当x∈[-2,-1]时,∈[-1,-],
+1∈[0,],
所以2(+1)2-2∈[-2,-],
所以m的取值范围是[-2,-].
基础巩固
知识点一:函数的最大值、最小值
1.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( A )
(A)10,6 (B)10,8
(C)8,6 (D)以上都不对
解析:当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当-1≤x<1时,6≤x+7<8,所以f(x)的最大值为10,最小值为6.故选A.
2.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)( D )
(A)只有最大值
(B)只有最小值
(C)既有最大值,又有最小值
(D)既无最大值,又无最小值
解析:f(x)=作出f(x)的图象(图略),可知f(x)既无最大值又无最小值.故选D.
3.(多选题)下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( AD )
(A)当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
(B)当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
(C)当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
(D)当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
解析:当a<0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1.当a>0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.故选AD.
知识点二:利用单调性求最值
4.函数y=在[2,3]上的最小值为( B )
(A)2 (B) (C) (D)-
解析:由函数y=的单调性知,当x=3时,ymin==.故选B.
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( C )
(A)90万元 (B)60万元
(C)120万元 (D)120.25万元
解析:设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获得利润为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-)2+30+,
所以当x=9或10时,所获利润最大为120万元.故选C.
知识点三:最值的应用
6.已知函数f(x)=ax2-2x+1,若对一切x∈[,2],f(x)>0都成立,则实数a的取值范围为( C )
(A)[,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,+∞) (D)(-∞,1)
解析:依题意,a>-+在[,2]上恒成立,
令t=-+=-(-1)2+1∈[0,1],所以a>1.故选C.
能力提升
7.已知函数f(x)=,其定义域是[-4,-2),则( D )
(A)f(x)有最大值-,最小值-
(B)f(x)有最大值-,无最小值
(C)f(x)有最大值-,最小值-
(D)f(x)有最小值-,无最大值
解析:函数f(x)==-3+,
因为x∈[-4,-2),f(x)为增函数,所以f(x)∈[-,-),所以f(x)有最小值-,无最大值.故选D.
8.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( D )
(A)[1,+∞) (B)[0,2]
(C)(-∞,2] (D)[1,2]
解析:f(x)=(x-1)2+2,因为f(x)最小值=2,f(x)最大值=3,且f(1)=2,
f(0)=f(2)=3,
所以1≤m≤2.故选D.
9.函数y=的最小值为( B )
(A)2 (B)
(C)1 (D)不存在
解析:y===+,
令=t(t≥2),
因为函数y=t+在(1,+∞)上是增函数,
所以y=t+在[2,+∞)上也是增函数.
所以当t=2,即=2,x=0时,ymin=.故选B.
10.函数f(x)=2+3x在区间[-1,1]上的最大值为( B )
(A)2 (B)3+2
(C)-13+4 (D)-4
解析:令=t,
所以t∈[,2],x=,
所以g(t)=2t+5-t2=-t2+2t+5(t∈[,2]).
因为g(t)在[,2]上单调递减,
所以g(t)max=g()=-2+2+5=3+2,
所以函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为3+2.故选B.
11.已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值为 ,
最小值为 .
解析:作出函数f(x)的图象如图.由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;
当x=时,f(x)取最小值为-.
所以函数f(x)的最大值为2,最小值为-.
答案:2 -
12.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}
(x≥0),则f(x)的最大值为 .
解析:由函数y=x+2和y=10-x的图象可知f(x)的图象应为图中的实线部分.
解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).
所以函数f(x)=
其最大值为交点的纵坐标,所以f(x)的最大值为6.
答案:6
13.作出函数f(x)=的图象,并写出函数的单调区间、最小值.
解:函数的图象如图所示.由图象可知函数f(x)的单调递增区间为
(-∞,0)和[0,+∞),无单调递减区间.函数的最小值为f(0)=-1.
14.设f(x)=x2+(5-6a)x+a-2.
(1)若f(x)在(1,2)内是单调函数,求a的取值范围;
(2)若已知f(x)在x∈[1,5]的最大值为f(1),求a的取值范围.
解:(1)函数f(x)=x2+(5-6a)x+a-2图象的对称轴方程为x=,开口向上,
因为f(x)在(1,2)内是单调函数,所以当f(x)在(1,2)内单调递增时,≤1,解得a≤;
当f(x)在(1,2)内单调递减时,≥2,解得a≥.综上,a≤或a≥.
故a的取值范围为(-∞,]∪[,+∞).
(2)当f(x)在[1,5]内单调递增时,f(x)的最大值为f(5),不符合题意,舍去.
当f(x)在[1,5]内单调递减时,f(x)的最大值为f(1),符合题意,
所以≥5,解得a≥;
当f(x)在[1,]上单调递减,在[,5]上单调递增时,要使f(x)的最大值为f(1),
只需5>≥3,解得>a≥.
综上a≥.故a的取值范围为[,+∞).
应用创新
15.函数f(x)=x++(x>0)的最小值为( C )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:由f(x)=x++,令t=x+,所以t=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立.
又y=x++=t+,
令g(t)=t+,其中t≥4,
任取t1,t2∈[4,+∞)且t1>t2,即t1>t2≥4,
则g(t1)-g(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)+=.
因为t1>t2≥4,所以t1-t2>0,t1t2>1,
所以g(t1)-g(t2)>0,即g(t1)>g(t2),
所以,函数g(t)在[4,+∞)上为增函数,
因此,f(x)min=g(4)=4+=.故选C.§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
4.1.1 函数奇偶性的定义及判断
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 1.借助函数奇偶性的特征的学习,培养直观想象素养. 2.通过函数奇偶性的判断和证明,培养逻辑推理素养.
函数的奇偶性
[问题1] 在我们日常生活中,可以观察到许多对称现象:美丽的蝴蝶,盛开的花朵,水中的倒影……再观察一下函数f(x)=x2和f(x)=的图象,我们发现,函数f(x)=x2的图象关于y轴对称,而函数f(x)=的图象关于原点对称.
如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢
提示:若函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)的图象关于y轴对称;
若函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则f(x)的图象关于原点对称.
知识点:函数的奇偶性
偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对任意的x∈A,有-x∈A
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x) 是奇函数
图象性质 关于y轴对称 关于原点对称
[思考] 奇(偶)函数的定义域具有什么特征 它是函数具有奇偶性的什么条件
提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.
[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=|x+3|+|x-3|.
解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.
(2)由得x2=1,即x=±1.
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
变式训练1-1:本例(2)中将函数f(x)的解析式变为f(x)=+,判断函数的奇偶性.
解:由于
则x=1,
因此函数定义域为{1},不关于原点对称,
故函数f(x)不具有奇偶性.
变式训练1-2:将本例(3)中函数变为f(x)=则函数的奇偶性如何
解:当x≠-1且x≠1时,f(x)==2x,
f(-x)=-f(x).
f(1)=2,f(-1)=-2,
此时f(-1)=-f(1).
即对于x∈R,有f(-x)=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.
根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤
(1)求出函数的定义域.
(2)判断定义域是否关于原点对称,若否,则函数不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步.
(3) x∈I(I为定义域),计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式;
(2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数.
函数奇偶性的图象特征
[问题2] 如何作出函数y=f(|x|)的图象
提示:因为函数y=f(|x|)是偶函数,所以我们只需先作出y轴右侧的部分,然后把右侧的图象对称到y轴的左侧即可.
[例2] 如图是函数f(x)=在区间[0,+∞)上的图象,请据此在坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,并说明你的作图依据.
解:因为f(x)=,
所以f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R,都有
f(-x)===f(x),
所以f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,其在定义域内的图象如图所示.
变式训练2-1:已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称,由y=f(x)在区间[0,5]上的图象,可知它在区间[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题.
利用函数的奇偶性求解析式中的参数
[问题3] (1)对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性 若f(-x)-f(x)=0呢
(2)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)的值可求吗 若f(x)为偶函数呢
提示:(1)由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,无法求出f(0)的值.
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[2b-5,2b-3]上的奇函数,则f()的值为( )
(A) (B)
(C)1 (D)无法确定
(2)设函数f(x)=为奇函数,则实数a等于( )
(A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2
解析:(1)由题意可知2b-5+2b-3=0,即b=2.
又f(x)是奇函数,故f(-x)+f(x)=0,
所以2ax2+2c=0对任意x∈[-1,1]都成立,
即a=c=0,
所以f(x)=x3+2x.
所以f()=+2×=+1=.故选B.
(2)法一 根据题意,函数f(x)=为奇函数,
则有x≠0,且f(x)+f(-x)=0,
即+=0,
变形可得2(a+1)=0,
则有a=-1.故选A.
法二 因为f(x)=是奇函数,
又y=x是奇函数,则y=x2+(a+1)x+a是偶函数,则a+1=0.
故a=-1.故选A.
变式训练3-1:若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+b= .
解析:因为f(x)是偶函数,
所以函数的图象关于y轴对称,
即-=0,
得a+5=0,a=-5,
由函数定义域关于原点对称可知a+2b=0,
因此b=.
故a+b=(-5)+=-.
答案:-
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数;
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解;
(3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;
(4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0.
[例1]设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
(A)f(x)g(x)是偶函数
(B)|f(x)|g(x)是奇函数
(C)f(x)|g(x)|是奇函数
(D)|f(x)g(x)|是奇函数
解析:对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,是偶函数,故D错误.故选C.
[例2] 已知函数f(x)=,定义域为(-2,2).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)用定义法证明:函数f(x)在区间(-2,2)上是减函数;
(3)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
(1)解:函数的定义域是(-2,2),
且f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(2)证明:在定义域(-2,2)内任取x1,x2,
并且x1f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为-2所以x2-x1>0,x1x2+4>0,-4<0,-4<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在区间(-2,2)上是减函数.
(3)解:因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以f(x-1)+f(x)<0 f(x-1)所以解得所以不等式的解集是{x|基础巩固
知识点一:函数的奇偶性
1.(多选题)下列关于函数奇偶性说法正确的是( BC )
(A)如果一个函数的定义域关于原点对称,则这个函数为奇函数
(B)如果一个函数为奇函数,则它的定义域关于坐标原点对称
(C)如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数
(D)如果一个函数是奇函数,则它的图象一定经过原点
解析:A中只满足定义域,但不一定满足解析式特征,如y=x+1,因此不对;D中若f(x)=,虽然是奇函数,但在原点处无定义,则D不正确.故选BC.
2.(多选题)下列函数为偶函数的是( AD )
(A)y=-|x| (B)y=2-x
(C)y= (D)y=-x2+8
解析:A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.故选AD.
知识点二:奇偶函数的图象特征
3.函数f(x)=2x-的图象关于( D )
(A)y轴对称 (B)直线y=-x对称
(C)直线y=x对称 (D)坐标原点对称
解析:f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于坐标原点对称.故选D.
4.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 .
解析:由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另外两个在x轴的正半轴上,所以四个实根之和为0.
答案:0
知识点三:利用奇偶性求参数
5.若函数f(x)=为奇函数,则a等于( A )
(A) (B) (C) (D)1
解析:法一 因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
即=-
=-,
所以(3x-2)(x+a)=(3x+2)(x-a),
即3x2+(3a-2)x-2a=3x2-(3a-2)x-2a,
所以3a-2=0,
解得a=,
故选A.
法二 因为y=x是奇函数,又y=是奇函数,
故y=(3x+2)(x-a)是偶函数,
则由y=3x2+(2-3a)x-2a为偶函数知a=.
故选A.
6.已知f(x)=是R上的奇函数,则a=( A )
(A)4 (B)0 (C)-4 (D)2
解析:由题f(-1)=-(a+1)=-f(1)=-5,得a=4.故选A.
能力提升
7.函数f(x)=的图象关于( B )
(A)x轴对称 (B)y轴对称
(C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称
解析:函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称.故选B.
8.(多选题)如图是偶函数y=f(x)的一部分图象,根据图象所给信息,下列结论中正确的是( BCD )
(A)f(-1)-f(2)<0
(B)f(-2)-f(3)>0
(C)f(-1)-f(2)>0
(D)f(-1)+f(2)>0
解析:由图象可知函数y=f(x)在[1,3]上是减函数,因此f(1)>f(2),故f(-1)-f(2)>0,因此A错误,C正确;f(2)>f(3),故f(-2)-f(3)>0,因此B正确;由图象可知f(1)>0,f(2)>0,又函数为偶函数,
因此f(-1)>0,f(2)>0,故D正确.故选BCD.
9.已知函数f(x)=为奇函数,则f(m)与f(n)的大小关系为( A )
(A)f(m)>f(n) (B)f(m)(C)f(m)=f(n) (D)无法确定
解析:由f(x)为奇函数得f(-1)=m-n=-f(1)=1,
f(-2)=4m-2n=-f(2)=0,得m=-1,n=-2.
所以f(x)=
f(m)=f(-1)=1,f(n)=f(-2)=0.
所以f(m)>f(n).故选A.
10.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( AB )
(A)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]
(B)f(x)的图象关于坐标原点对称
(C)f(x)在定义域上是减函数
(D)f(x)的值域为[-1,1]
解析:由题意得
解得-1≤x<0或0由f(-x)==-f(x),为奇函数,故B正确;
又f(-1)=f(1)=0,所以f(x)=在定义域上不是减函数,故C错误;
f(x)==
当x∈(0,1]时,f(x)=∈[0,1),
当x∈[-1,0)时,f(x)=-∈(-1,0],所以函数的值域为(-1,1),故D错误.故选AB.
11.若关于x的函数f(x)=t+的最大值为M,最小值为N,且M+N=8,则实数t的值为 .
解析:设g(x)=,则g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0.
因为M+N=t+g(x)max+t+g(x)min=8,所以2t=8,即t=4.
答案:4
12.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x·f(x)≥0的解集是 .
解析:根据函数为奇函数,可作出函数的简图,如图所示.
不等式x·f(x)≥0 或或x=0,
由图可得0答案:[-3,3]
13.判断下列函数的奇偶性.
(1)y=+;
(2)f(x)=
解:(1)因为函数的定义域为{},则函数为非奇非偶函数.
(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称,
当x>0时,-x<0,
f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);
当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).
故该函数为奇函数.
14.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足:
①f(0)=1;②任意的x,y∈R,f(x-y)=f(x)·f(y)-g(x)g(y).
(1)求f2(x)-g2(x)的值;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性.
解:(1)依题意,f2(x)-g2(x)=f(x)f(x)-g(x)g(x)=f(x-x)=f(0)=1.
(2)函数f(x)为偶函数.证明如下:
由(1)知f2(0)-g2(0)=1,
所以g2(0)=f2(0)-1=0,即g(0)=0,
所以f(-x)=f(0-x)=f(0)f(x)-g(0)g(x)=f(x).
又因为f(x)的定义域为R,
所以函数f(x)为偶函数.
应用创新
15.已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5,求a,b,c的值.
解:由题意知f(-x)=-f(x),
故=-,
即=-,
所以-bx+c=-(bx+c),即c=-c,解得c=0.
所以f(x)=.
而f(1)===3,
所以a+1=3b.①
由f(2)=5,即==5.②
解①②组成的方程组,得
故a=,b=,c=0.4.1.2 函数奇偶性的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.会根据函数的奇偶性求函数值或解析式. 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.利用奇偶性求函数的解析式,培养逻辑推理素养. 2.借助奇偶性与单调性的应用,提升逻辑推理、数学运算素养.
利用奇偶性求函数值
[例1] 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )
(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=20+2×0+b=0,
解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.
又因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.
故选D.
变式训练1-1:定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x2-2x+a,
则a= ,f(-3)= .
解析:由奇函数的性质可知,
f(0)=a=0.
所以当x≥0时,
f(x)=x2-2x,
所以f(-3)=-f(3)=-3.
答案:0 -3
根据函数的奇偶性及函数在定义域某区间上的解析式求值时,应结合奇偶函数性质将待求值转化为定义域已知的区间上求解或根据函数解析式特征变形求解.
本例中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.
利用奇偶性求函数的解析式
[例2] (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;
(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.
解:(1)设x<0,f(x)=-f(-x)=-(x+1)=-x-1.
又x=0时,f(0)=0,
所以f(x)=
(2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
由f(x)+g(x)=,①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,
所以f(x)-g(x)=,②
(①+②)÷2,得f(x)=;
(①-②)÷2,得g(x)=.
变式训练2-1:已知f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,f(x)=( )
(A)x2-2x (B)-x2+2x
(C)x2+2x (D)-x2-2x
解析:设x<0,-x>0,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x.故选B.
变式训练2-2:已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为 .
解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1.
因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.
综上所述,f(x)=
答案:f(x)=
已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;
(2)将已知区间上对应的解析式代入;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记x=0时,f(0)=0的特殊情况.
函数奇偶性与单调性的综合
[例3] (1)已知奇函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)+f(a-1)<0,则实数a的取值范围是( )
(A)(0,+∞) (B)(0,2)
(C)(,1) (D)(,+∞)
(2)设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,满足>0,且f(2)=4,则不等式f(x)->0的解集为( )
(A)(-2,0)∪(2,+∞)
(B)(-2,0)∪(0,2)
(C)(-∞,-4)∪(0,4)
(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:(1)由题意知f(2a-1)<-f(a-1)=f(1-a),
又函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
所以1>2a-1>1-a>-1,
解得(2)由题意得y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数,
令F(x)=xf(x),则F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,
所以F(x)在(-∞,0)上是减函数,且F(2)=2f(2)=8,
所以f(x)-==>0,
当x>0时,F(x)-F(2)>0,即|x|>2,解得x>2;
当x<0时,F(x)-F(2)<0,即|x|<2,解得-2综上所述,f(x)->0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选A.
变式训练3-1:若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(x)+f(x-2)≥0的解集为( )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,1]
(C)[1,+∞) (D)[2,+∞)
解析:因为f(x)是奇函数,在(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在R上单调递减.
又由f(x)是奇函数,则不等式f(x)+f(x-2)≥0可化为f(x-2)≥f(-x),所以x-2≤-x,即x≤1.故选B.
变式训练3-2:定义在[-2,2]上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,2],x1≠x2,有[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,若f(a)(A)(1,+∞)
(B)(-∞,)∪(1,+∞)
(C)(,1)
(D)[-,)∪(1,]
解析:因为对任意的x1,x2∈[0,2],x1≠x2,
有[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,
所以f(x)在x∈[0,2]上单调递增.
又因为f(x)为定义在[-2,2]上的偶函数,
所以f(|a|)所以即
解得-≤a<或1(1)根据奇偶函数的性质求一端是0的不等式的解集,常根据函数的奇偶性质作出函数图象,结合图象直观求解.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(3)根据奇函数的函数值大小求解与自变量有关的参数问题,可利用奇函数的性质将自变量转化到函数的同一个单调区间上,再利用函数的单调性,去掉 “f”转化为自变量的大小.
(4)根据偶函数的性质将函数值的大小转化为自变量的大小,可以利用偶函数的性质f(x)=f(-x)=f(|x|),转化为函数在(0,+∞)上的单调性去掉“f”求解.
函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的图象与性质
结论:函数f(x)=ax+(a>0,b>0)具有如下基本性质:
(1)f(x)为奇函数.
(2)f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上有最小值2;f(x)在 [-,0)上单调递减,在(-∞,-]上单调递增,在(-∞,0)上有最大值-2.
(3)在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线y=ax无限接近;在第三象限内,函数图象向下与y轴无限接近,向左与直线y=ax无限接近.该函数的图象如图所示.
该函数的单调性可以使用单调性的定义加以证明(此处略),在(0,+∞)上的最小值可以由基本不等式得出,在(-∞,0)上有最大值可由函数是奇函数得出.
[典例探究] 已知函数f(x)=|x+-m|+m.
(1)当m=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=0时,f(x)=|x+|=|x|+||≥2=4,当且仅当|x|=||,即x=±2时等号成立,所以f(x)min=4.
(2)由题意得|x+-m|+m≤5在x∈[1,4]上恒成立,
即|x+-m|≤5-m在x∈[1,4]上恒成立,
所以m-5≤x+-m≤5-m在x∈[1,4]上恒成立,即2m-5≤x+≤5在x∈[1,4]上恒成立.
设g(x)=x+,x∈[1,4],
则g(x)在[1,2]上单调递减,
在[2,4]上单调递增,
所以g(x)min=g(2)=4,
又g(1)=5,g(4)=5,
所以2m-5≤4,
解得m≤,
所以实数m的取值范围是(-∞,].
[应用探究] 已知函数f(x)=ax2++5(常数a,b∈R)满足f(1)+f(-1)=14.
(1)求a的值,并对常数b的不同取值讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)若方程f(x)=2x2++6在[2,4]上有解,求b的取值范围.
解:(1)由题意知,a+b+5+a-b+5=14,解得a=2.
当b=0时,函数为偶函数,
当b≠0时,函数为非奇非偶函数.
(2)方程f(x)=2x2++6在[2,4]上有解,
即=+1在[2,4]上有解,
即b=+x在[2,4]上有解.
设g(x)=x+,x∈[2,4],
则g(x)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增.
所以当x=3时,+x取得最小值为6,
当x=2时,+x取得最大值,
故b∈[6,].
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,对任意两个不等的正数x1,x2,都有>0,则xf(x)>0的解集是( )
(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(B)(-1,0)∪(0,1)
(C)(-1,0)
(D)(0,1)
解析:由题意知,>0,
令g(x)=,
则函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增.
又f(x)为奇函数,g(x)=为偶函数,
所以函数g(x)=在(-∞,0)上单调递减.
因为f(1)=0,所以g(1)==0.
xf(x)>0等价于>0,即g(x)>0 g(x)>g(1) g(|x|)>g(1),
所以|x|>1,解得x<-1或x>1,
所以xf(x)>0的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选A.
[例2] 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=-1,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,(a+b)[f(a)+f(b)]>0成立,若f(x)(A)(-∞,-2)∪{0}∪(2,+∞)
(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(C)(-2,2)
(D)(-2,0)∪(0,2)
解析:因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,(a+b)[f(a)+f(b)]>0成立,所以将b换为-b,可得(a-b)·[f(a)-f(b)]>0,
所以函数f(x)在[-1,1]上是增函数,
所以f(x)max=f(1)=-f(-1)=1,
所以f(x)1,
即2tm-m2<0对任意的t∈[-1,1]恒成立.
令g(t)=2tm-m2,则
即
解得m<-2或m>2.故选B.
[例3] 定义在R上的函数f(x)具有性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(3x-3)+4x>2的解集为 .
解析:因为f(x+y)=f(x)+f(y),
所以令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(x)为R上的奇函数.
令x=x-y(x>y>0),得f(x)=f(x-y)+f(y) f(x-y)=f(x)-f(y).
因为当x>0时,f(x)单调递增,
所以f(x-y)=f(x)-f(y)>0,
即当x>0时,f(x)>0.
因为f(x)为R上的奇函数,
所以当x=0时,f(x)=0;当x<0时,f(x)<0.
f(x+1)+f(3x-3)+4x>2等价于f(4x-2)+4x-2>0,
当4x-2>0,即x>时,f(4x-2)>0,4x-2>0,
所以f(4x-2)+4x-2>0,符合题意;
当4x-2=0,即x=时,f(4x-2)=0,4x-2=0,所以f(4x-2)+4x-2=0,不符合题意;
当4x-2<0,即x<时,f(4x-2)<0,4x-2<0,所以f(4x-2)+4x-2<0,不符合题意.
综上,不等式的解集为(,+∞).
答案:(,+∞)
基础巩固
知识点一:利用单调性求值
1.已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x-2,则f(-)的值为( C )
(A)- (B)-
(C) (D)
解析:由题意得f(-)=-f()=-(-2)=.故选C.
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-
g(x)=x3-2x2,则f(2)+g(2)=( D )
(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16
解析:由题意知f(2)+g(2)=f(-2)-g(-2)=(-2)3-2×(-2)2=-16.
故选D.
知识点二:利用单调性求解析式
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x2-3x-1,则当x>0时,f(x)=( B )
(A)-x2-3x+1 (B)x2+3x-1
(C)-x2+3x+1 (D)x2-3x-1
解析:因为f(x)是偶函数,所以当x>0时,f(x)=f(-x)=x2+3x-1.
故选B.
知识点三:单调性与奇偶性的综合
4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )
(A)y=x2 (B)y=x5+1
(C)y= (D)y=x3
解析:A选项,y=x2是偶函数;
B选项,y=x5+1是非奇非偶函数;
C选项,y=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;
D选项,y=x3既是奇函数又是增函数.故选D.
5.已知偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,若a=f(1),b=f(2),c=f(-),则a,b,c的大小关系为( C )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)c>a>b
解析:因为f(x)是偶函数,
所以a=f(1)=f(-1),b=f(2)=f(-2).
又f(x)在(-∞,0)上单调递减,-2<-1<-,
所以f(-2)>f(-1)>f(-),即b>a>c.故选C.
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(4)=1,则满足f(3a-5)>1的a的取值范围是 .
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,
故f(3a-5)=f(|3a-5|),
所以要使f(3a-5)>1成立,即f(|3a-5|)>f(4).
因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,故|3a-5|<4,
则-4<3a-5<4,解得答案:(,3)
能力提升
7.已知函数f(x)=-2,若f(a)=-,则f(-a)=( D )
(A) (B)-
(C)- (D)-
解析:由f(a)=-2,f(-a)=-2,则f(a)+f(-a)=-4,
所以f(-a)=-4-f(a)=-4+=-.故选D.
8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-
g(x)=x3+x2+a,则g(2)=( C )
(A)-4 (B)4 (C)-8 (D)8
解析:因为f(x)-g(x)=x3+x2+a, ①
所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a.
因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
所以f(x)+g(x)=-x3+x2+a, ②
②-①得2g(x)=-2x3,所以g(x)=-x3,
所以g(2)=-23=-8.故选C.
9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)(x-2)<0成立的x的取值范围是( C )
(A)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(B)(2,+∞)
(C)(-∞,-2)
(D)(-2,2)
解析:由题意作出f(x)的大致图象(图略),由函数f(x)的图象知,
当x<-2或x>2时,f(x)>0,
当-2又f(x)(x-2)<0,所以x<-2.故选C.
10.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=-x2-3x-2,则以下说法错误的有( ABD )
(A)当x>0时,f(x)=x2-3x-2
(B)函数f(x)的单调递减区间是[-,]
(C)f(x-1)>0的解集为(-1,0)∪(1,2)∪(3,+∞)
(D)f(x)=0有4个解
解析:因为当x<0时,f(x)=-x2-3x-2,
若x>0,则f(x)=-f(-x)=x2-3x+2,故A错误.
因为f(-1)=-1+3-2=0,f(1)=1-3+2=0,即f(-1)=f(1),所以B错误.
当x-1<0,即x<1时,由f(x-1)>0得-(x-1)2-3(x-1)-2>0,解得-1当x-1>0,即x>1时,由f(x-1)>0得(x-1)2-3(x-1)+2>0,解得x<2或x>3,
所以13;
当x-1=0时,由函数是定义在R上的奇函数,
可得f(0)=0不满足f(x-1)>0.
综上,f(x-1)>0的解集为(-1,0)∪(1,2)∪(3,+∞),故C正确.
当x<0时,由f(x)=-x2-3x-2=0,
解得x=-1或x=-2;
当x>0时,由f(x)=x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.
又f(0)=0,所以f(x)=0有5个解,故D错误.故选ABD.
11.如果函数F(x)=是奇函数,则F(-1)= ,
f(x)= .
解析:因为F(x)为奇函数,
所以F(-1)=-F(1)=-(2×1-3)=1.
当x<0时,F(x)=-F(-x)=-(-2x-3)=2x+3,即f(x)=2x+3.
答案:1 2x+3
12.设函数f(x)=(a∈R)的最大值为M,最小值为m,
则M+m= .
解析:函数f(x)===1+,
令函数g(x)=,则g(-x)==-g(x),
所以函数g(x)为奇函数,则g(x)max+g(x)min=0.
又f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,
所以M+m=2.
答案:2
13.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数.
(1)确定f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间(-1,1)上是减函数,解不等式f(t-1)+f(t)<0.
解:(1)由题意得f(0)==0,解得b=0.
即f(x)=为奇函数.
因此,f(x)=.
(2)因为函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
由f(t-1)+f(t)<0得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
又f(x)在区间(-1,1)上是减函数,
所以解得因此,不等式f(t-1)+f(t)<0的解集为(,1).
14.已知函数f(x)是定义在R上的减函数,对于任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数;
(2)若f(-1)=2,解关于x的不等式f(x)-f(3-x)<4.
解:(1)令x1=x2=0,则有f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x).
所以f(x)为R上的奇函数.
(2)令x1=x2=-1,则有f(-2)=2f(-1)=2×2=4,
所以不等式f(x)-f(3-x)<4可化为f(x)-f(3-x)由于f(x)为R上的奇函数,
所以-f(3-x)=f(x-3),
所以f(x)-f(3-x)=f(x)+f(x-3)=f(2x-3),
因此不等式可进一步化为f(2x-3)已知函数f(x)是定义在R上的减函数,
所以有2x-3>-2,解得x>.
因此不等式的解集为(,+∞).
应用创新
15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(0)=1,则f(1)+f(4)=( A )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
解析:由题意知f(x+1)=-f(-x+1),
f(x-1)=f(-x-1).
令x=3,
由f(x+1)=-f(-x+1),得f(4)=f(3+1)=-f(-3+1)=-f(-2).
令x=-1,
由f(x-1)=f(-x-1),得f(-2)=f(-1-1)=f(-(-1)-1)=f(0)=1.
所以f(4)=-f(-2)=-1.
令x=0,由f(x+1)=-f(-x+1),
得f(1)=-f(1),即2f(1)=0,解得f(1)=0,
所以f(1)+f(4)=0-1=-1.故选A.
16.设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,记g(x)=f(x)-x2,且函数y=g(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则不等式f(x+2)-f(2)>x2+4x的解集为 .
解析:根据题意,g(x)=f(x)-x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,
则g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),则函数g(x)为偶函数,
f(x+2)-f(2)>x2+4x f(x+2)-(x+2)2>f(2)-4 g(x+2)>g(2).
又由g(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上是减函数,则|x+2|<2,
解得-4答案:(-4,0)4.2 简单幂函数的图象和性质
核心知识目标 核心素养目标
通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 1.借助幂函数的图象的学习,培养直观想象素养. 2.通过幂函数的性质的学习,培养逻辑推理素养.
幂函数
[问题1] 给出下列五个问题:
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数.
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m,那么他骑车的平均速度v=t-1 (m/s),这里v是t的函数.
(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么
(2)观察这些函数的解析式,它们有什么共同的结构特征
提示:(1)①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=x-1.
(2)它们均可表示为y=xα的形式.
知识点1:幂函数的概念
一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
[思考] y=1(x≠0)是幂函数吗
提示:是.因为它可写成y=x0(x≠0)的形式.
[例1] 已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是幂函数
解:若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1±.
变式训练1-1:已知点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a等于( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
解析:因为点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,所以f()=(t-2)()a=27,且t-2=1,解得t=3,a=-3,所以t+a=3-3=0.故选B.
变式训练1-2:已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值.
解:因为y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,
所以解得
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1;
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数;
(3)项数只有一项.
幂函数的图象与性质
[问题2] 你能作出函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象吗 观察这些函数在第一象限有什么共同特征
提示:作出函数图象如图.
这些函数都过点(1,1),且当指数大于0时函数在第一象限单调递增,当指数小于0时函数在第一象限单调递减.
知识点2:幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数
单调性 在 (-∞, +∞)上单调递增 在 (-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在 (-∞, +∞)上单调递增 在 (-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0, +∞)上单调递增
定点 (1,1)
[例2] 幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
(A)-2或0 (B)-1
(C)0 (D)-2
解析:由幂函数的图象在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3变式训练2-1:如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α分别取-1,,1,2四个值,则相应图象依次为 .
解析:幂函数y=x-1的图象在第一象限是“下降”的,而其他三个都是“上升”的,并且当x>1时,幂指数越大,函数值也就越大.故C1为y=x-1的图象,C2为y=x2的图象,C3为y=x的图象,C4为y=的图象.则相应图象依次为C1,C4,C3,C2.
答案:C1,C4,C3,C2
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性;
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图);
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数.
幂函数性质的应用
[典例] (1)比较下列各数的大小:
1.,0.,;
(2)已知幂函数f(x)=(m∈N+)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:幂函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)0.=(),=1..
因为1.2>>1.1,且函数y=在[0,+∞)上单调递增,
所以1.>()>1.,
即1.>0.>.
(2)因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以m2-2m-3<0,解得-1因为m∈N+,所以m=1,2.又函数的图象关于y轴对称,所以m2-2m-3是偶数,
又22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,所以m=1.
所以(a+1<(3-2a,
又f(x)=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是减函数,
且当x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0,
所以0>a+1>3-2a或a+1>3-2a>0或a+1<0<3-2a,
解得a<-1或故a的取值范围为(-∞,-1)∪(,).
[素养演练1]比较下列各数的大小:
4.,3.,(-1.9.
解:4.>=1;0<3.<=1;
(-1.9<0,
所以(-1.9<3.<4..
[素养演练2]已知幂函数f(x)=(m∈N+).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若函数图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
解:(1)因为m∈N+,所以m2+m=m(m+1)为偶数.
令m2+m=2k,k∈N+,则f(x)=,
所以函数f(x)的定义域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上为增函数.
(2)因为==,所以m2+m=2,
解得m=1或m=-2(舍去),所以f(x)=.
由(1)知函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,
解得1≤a<.
故实数a的取值范围为[1,).
[例1] 已知函数y=(p,q是互质的整数)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是增函数,则( )
(A)p为奇数,q为偶数,且pq>0
(B)p为奇数,q为偶数,且pq<0
(C)p为偶数,q为奇数,且pq<0
(D)p为偶数,q为奇数,且pq>0
解析:由函数y=的图象关于y轴对称,知函数y=为偶函数,故q为偶数,p为奇数.
又因为y=在(0,+∞)上是增函数,所以pq>0.故选A.
[例2] 已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x)的值域为集合A,若集合B=[2-k,4-k],且A∪B=A,求实数k的取值范围.
解:(1)因为f(x)为幂函数,所以(m-1)2=1,
所以m=0或2.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,舍去.
所以m=0.
(2)由(1)知f(x)=x2.
因为f(x)在[1,2]上单调递增,所以A=[1,4].
因为B=[2-k,4-k],A∪B=A,所以B A,
所以解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0,1].
基础巩固
知识点一:幂函数
1.给出下列函数:①y=;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=;⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x,其中是幂函数的有( B )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:由①y==x-3和④y==是幂函数.②③⑤⑥不符合幂函数的定义.故选B.
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(2)的值为 .
解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα(α∈R),
可得4α=2,解得α=,即f(x)=,
所以f(2)=.
答案:
知识点二:幂函数的图象
3.函数f(x)=的图象大致是( A )
解析:因为-<0,所以函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,排除B,C.
又f(x)为奇函数,可知A正确.故选A.
4.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是( B )
解析:因为当a>0时同时为增函数,a<0时在相同定义域上分别为减函数.故选B.
知识点三:幂函数的性质
5.已知a=(),b=(),c=(),则( C )
(A)a>b>c (B)c>a>b
(C)c>b>a (D)b>c>a
解析:由y=与y=图象知,当x=时,()<(),即a由于y=在[0,+∞)上是增函数,所以bb>a.故选C.
6.幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f()= .
解析:因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
所以m2-5m+4<0 1因为m∈Z m=2或3.
当m=2或3时,都有m2-5m+4=-2,
所以f(x)=x-2,所以f()=4.
答案:2或3 4
能力提升
7.如图是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则( B )
(A)-1(C)-11 (D)n<-1,m>1
解析:由题图知,y=xm在[0,+∞)上是增函数,y=xn在(0,+∞)上为减函数,所以m>0,n<0.又当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以m<1,n<-1,从而08.幂函数的图象经过点(,2),若0(A)f(a)(B)f()(C)f(a)(D)f()解析:设f(x)=xα,则f()=()α=2,α=-1,
即f(x)=x-1=,
函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
因为0所以f(a)>f(b)>f()>f().故选B.
9.已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值( A )
(A)恒大于0 (B)恒小于0
(C)等于0 (D)无法判断
解析:因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以
解得m=-2(舍去)或m=3.
所以f(x)=x3.又a,b∈R,且a+b>0,
则a>-b,由于函数f(x)=x3为增函数且为奇函数,
所以f(a)>f(-b)=-f(b),
所以f(a)+f(b)>0.故选A.
10.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有( BCD )
(A)f(x)为偶函数
(B)f(x)为增函数
(C)若x>1,则f(x)>1
(D)若x1>x2>0,则f()>
解析:由题意得3=9α,则α=,
所以f(x)=,
f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以B正确.
f(x)的定义域为[0,+∞),
所以f(x)不具有奇偶性,所以A不正确.
当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确.
若x1>x2>0,
则()2-f2()=()2-()2=
-=
=-<0.
即11.若幂函数y=(m,n∈N+且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 .(填序号)
①m,n是奇数,且<1;②m是偶数,n是奇数,且>1;③m是偶数,n是奇数,且<1;④m,n是偶数,且>1.
解析:由题图知,函数y=为偶函数,所以m为偶数,n为奇数,又函数图象在第一象限在直线y=x的下方,所以<1.
答案:③
12.已知函数f(x)=xα+2x(α≠0),且f(4)=10,则α= ,
若f(m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是 .
解析:f(4)=4α+2×4=10,即4α=2,所以α=,
所以f(x)=+2x=+2x,定义域为[0,+∞),
且函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.
由f(m)>f(-m+1),可得
解得答案: (,1]
13.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且f(2)(1)求m的值及函数f(x)的解析式;
(2)若f(a+2)解:(1)由题意,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以4m-m2>0,
解得0由m∈Z,得m=1,2,3.
又f(x)为偶函数,所以m=2,
所以f(x)=x4.
(2)因为函数f(x)=x4的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以不等式f(a+2)解得a>3或a<-,
所以实数a的取值范围是(-∞,-)∪(3,+∞).
应用创新
14.已知幂函数f(x)=(p∈N)在(0,+∞)上是增函数,且在定义域上是偶函数.
(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)
f(x)+1,问:是否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数 若存在,请求出q的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,由幂函数的图象和性质
知-p2+p+>0,
解得-1因为p∈N,所以p=2,1,0.
当p=0或2时,f(x)=,不是偶函数;
当p=1时,f(x)=x2,是偶函数,故p=1,
f(x)=x2.
(2)由(1)得g(x)=-qx4+(2q-1)x2+1,
令t=x2,
则h(t)=-qt2+(2q-1)t+1(t≥0).
因为t=x2在(-∞,0)上是减函数,
所以当x∈(-∞,-4]时,t∈[16,+∞);
当x∈(-4,0)时,t∈(0,16).
当h(t)在[16,+∞)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,
g(x)在(-∞,-4]上是减函数,在(-4,0)上是增函数,
此时二次函数h(t)图象的对称轴方程是t=16,
即t==1-=16,
所以q=-.
故存在实数q=-,使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数.章末总结
题型一 函数的表示法
[例1]已知函数f(x)对任意x满足3f(x)-f(2-x)=4x,一元二次函数g(x)满足g(x+2)-g(x)=4x且g(1)=-4.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,求n-m的最大值.
解:(1)由3f(x)-f(2-x)=4x,①
得3f(2-x)-f(x)=8-4x,②
联立①②,可得f(x)=x+1.
设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-ax2-bx-c=4x,
即4ax+4a+2b=4x,
所以解得a=1,b=-2.
又g(1)=-4,得c=-3,
所以g(x)=x2-2x-3.
(2)令f(x)≥g(x),
即x+1≥x2-2x-3,
x2-3x-4≤0,
解得-1≤x≤4,
所以当x∈[-1,4]时,f(x)≥g(x).
若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,
可得n-m≤4-(-1)=5,即n-m的最大值是5.
跟踪训练1-1:已知函数f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N+)满足①f(1)=5;②6(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对任意的实数x∈[,],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(1)=a+2+c=5,所以c=3-a.①
又因为6将①式代入②式得-(2)由(1)得f(x)=x2+2x+2,
设g(x)=f(x)-2mx=x2+2(1-m)x+2.
①当-≤1,即m≤2时,g(x)max=g()=-3m,故只需-3m≤1,
解得m≥,与m≤2矛盾,舍去.
②当->1,即m>2时,g(x)max=g()=-m,故只需-m≤1,
解得m≥,又m>2,故m≥.
综上,实数m的取值范围为[,+∞).
求函数解析式的常见方法
(1)配凑法;
(2)待定系数法:适用于已知函数类型;
(3)换元法;
(4)联立方程组法:适用于自变量位置互为倒数或互为相反数或相加等于一常数类型.
注意:求出解析式后应根据题目条件写出函数的定义域.
题型二 函数的性质及应用
[例2] (1)已知奇函数f(x)在区间[2,3]上单调递增,则f(x)在区间[-3,-2]上( )
(A)单调递增,且最大值为f(-2)
(B)单调递增,且最大值为f(-3)
(C)单调递减,且最大值为f(-2)
(D)单调递减,且最大值为f(-3)
(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-1),f(π),f(-3)的大小关系是( )
(A)f(π)>f(-1)>f(-3)
(B)f(π)>f(-3)>f(-1)
(C)f(π)(D)f(π)(3)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,若f(1-a)(A)(-1,3)
(B)(-∞,-1)∪(3,+∞)
(C)(-3,1)
(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)
解析:(1)由奇函数在对称区间上的单调性一致知,f(x)在[-3,-2]上单调递增,最大值为f(-2).故选A.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>1,所以f(π)>f(3)>f(1),所以f(π)>f(-3)>f(-1).故选B.
(3)由题意知|1-a|<2,解得-1跟踪训练2-1:(1)偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )
(A)f(-1)>f()>f(-π)
(B)f()>f(-1)>f(-π)
(C)f(-π)>f(-1)>f()
(D)f(-1)>f(-π)>f()
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-6,则f(4)= .
解析:(1)由题意知f(-1)=f(1),f(-π)=f(π).
因为y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,且1<<π,
所以f(1)>f()>f(π),即f(-1)>f()>f(-π).
故选A.
(2)由题意得f(4)=-f(-4)=-[(-4)2-6]=-10.
答案:(1)A (2)-10
解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,重点是利用好奇偶函数的概念及对称性、函数的单调性及最值.
题型三 函数的图象及应用
[例3] 已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x.求x∈[-3,5]时,f(x)=的所有解的和.
解:当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以f(-x)=-x.
又因为f(x)为奇函数,所以x∈[-1,0]时,f(x)=-f(-x)=x.即x∈[-1,1]时,f(x)=x.
又由f(x)=f(2-x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称.
由此可得f(x)在[-3,5]上的图象如图所示.
在同一坐标系内作出y=的图象,
由图可知两图象在[-3,5]上共有四个交点,
所以f(x)=在[-3,5]上共有四个解,从左到右记为x1,x2,x3,x4,则x1与x4,x2与x3关于直线x=1对称,
所以=1,=1.
所以x1+x2+x3+x4=4.
跟踪训练3-1:已知x2>,求x的取值范围.
解:如图所示,由y=x2与y=的图象可得x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
跟踪训练3-2:已知函数f(x)=|x2-mx+3|,且f(1)=0.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(3)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
解:(1)由f(1)=0,得|4-m|=0,解得m=4.
(2)由(1)得f(x)=
作出函数图象如图所示.
所以函数f(x)的单调递增区间为[1,2]和[3,+∞),单调递减区间为(-∞,1)和(2,3).
故函数f(x)在[1,2]和[3,+∞)上为增函数,在(-∞,1)和(2,3)上为减函数.
(3)由图象可知,y=f(x)与y =m的图象有四个不同的交点,则0所以集合M={m|0作函数图象是表示函数的一种方法,一旦有了函数图象,可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果.这体现了数形结合思想.
题型一 函数的定义域
1.若f(x)=ax2+2a是定义在[a2-8,a+2]上的偶函数,令函数g(x)=f(x-1)+f(2+x),则函数g(x)的定义域为 .
解析:由题意知(a2-8)+(a+2)=0,解得a=-3或2,
又a2-8<0即函数f(x)的定义域为[-4,4].
由g(x)=f(x-1)+f(2+x),
所以解得-3≤x≤2,
即函数g(x)=f(x-1)+f(2+x)的定义域为[-3,2].
答案:[-3,2]
2.已知函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为 .
解析:由于函数f(x)=的定义域为R,
所以不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.
当a=0时,1≥0恒成立,即a=0符合题意;
当a≠0时,则得
解得0综上,a的取值范围是[0,1].
答案:[0,1]
题型二 函数的表示法
3.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3恒成立,则f(3)=( D )
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
解析:设f(x)=ax+b,a≠0,
则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b,
因为f(f(x)-2x)=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,
所以f(x)=2x+1,则f(3)=7.故选D.
4.已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则( C )
(A)a=±1 (B)a=-1
(C)a≤0 (D)a<0
解析:当a<0时,f(a)=1,得f(f(a))=f(1)=2,成立;
当a=0时,f(0)=1,f(f(a))=f(1)=2,成立;
当a>0时,f(a)=a+1,得f(f(a))=f(a+1)=a+1+1=2,得a=0,不成立,
所以a≤0.故选C.
5.已知函数f(x)=ax2+bx+c,能说明f(x)既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的一组整数a,b,c的值依次是a= ,b= ,c= .
解析:由f(-x)=f(x),所以ax2-bx+c=ax2+bx+c,
所以2bx=0对任意的x∈R恒成立,可得b=0.
由于函数f(x)=ax2+c在(0,+∞)上单调递减,
则a<0.
因此,符合题意的一组整数a,b,c的值可以依次是
a=-1,b=0,c=1.
答案:-1(答案不唯一) 0 1(答案不唯一)
题型三 函数的性质及其应用
6.(2019·全国Ⅱ卷T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( D )
(A)e-x-1 (B)e-x+1
(C)-e-x-1 (D)-e-x+1
解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),得f(x)=-e-x+1.故选D.
7.(2020·新高考Ⅰ卷T8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
(A)[-1,1]∪[3,+∞)
(B)[-3,-1]∪[0,1]
(C)[-1,0]∪[1,+∞)
(D)[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=-f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],故选D.
8.(2020·全国Ⅱ卷T10)设函数f(x)=x3-,则f(x)( A )
(A)是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
(B)是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
(C)是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
(D)是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-(x3-)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=-在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=x3-在(0,+∞)上为增函数,排除B.故选A.
题型四 函数的图象及应用
9.(2019·全国Ⅱ卷T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是( B )
(A)(-∞,] (B)(-∞,]
(C)(-∞,[ (D)(-∞,]
解析:由x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),且x∈R时,f(x+1)=2f(x),
作出函数f(x)的部分图象如图所示:当2所以(3x-7)(3x-8)=0,
所以x1=,x2=,结合图象知,m≤时,符合题意.
所以x∈(-∞,m]时,都有f(x)≥-成立,即m≤,
所以m∈(-∞,],故选B.
10.(多选题)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法正确的有( ABC )
(A)函数f(x)为偶函数
(B)当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)
(C)当x∈R时,f(f(x))≤f(x)
(D)当x∈[-4,4]时,|f(x-2)|≥f(x)
解析:作出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知A正确.
对于B,把y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得y=f(x-2)的图象.由图象知y=f(x-2)图象上点在y=f(x)图象下或者点重合,故B正确.
对于C,从图象上看,当x∈[0,+∞)时,有f(x)≤x成立,令t=f(x),则t≥0,故f(f(x))≤f(x),故C正确.
对于D,取x=,则f(-)=f()=,f()=,|f(x-2)|11.已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,f(x)=x2,则方程f(x)+=0在[-2,6]内的所有根之和为( A )
(A)12 (B)6
(C)4 (D)2
解析:因为定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),函数y=f(x)的周期为4.
又当-1≤x<0时,f(x)=x2,作出函数在[-2,6]上的图象如图所示,
方程f(x)+=0在[-2,6]内的所有根之和即为函数y=f(x)与函数y=-的图象在[-2,6]上所有交点的横坐标之和,
如图所示,两函数图象在[-2,6]上有四个交点,令横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
且=1 x1+x2=2,
=5 x3+x4=10,
所以函数y=f(x)与函数y=-的图象在[-2,6]上所有交点的横坐标之和为12.故选A.
第二章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=的定义域为( A )
(A)[-1,2)∪(2,+∞) (B)(-1,+∞)
(C)[-1,2) (D)[-1,+∞)
解析:由解得x≥-1,且x≠2.故选A.
2.已知f(x)=则f(3)=( D )
(A)7 (B)2 (C)10 (D)12
解析:f(3)=32+3=12.故选D.
3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A )
(A)f(x)=x,g(x)=lg10x
(B)f(x)=,g(x)=x-1
(C)f(x)=,g(x)=
(D)f(x)=1,g(x)=x0
解析:A.两个函数的定义域相同,g(x)=lg10x=x,对应关系也相同,为相等函数;B,C,D定义域不相同,所以都不是相等函数.故选A.
4.已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是( A )
(A)f(x)有最大值,无最小值
(B)f(x)有最大值,最小值
(C)f(x)有最大值,无最小值
(D)f(x)有最大值2,最小值
解析:函数f(x)==2+,即函数f(x)在[-8,-4)上单调递减,则函数f(x)在x=-8处取得最大值,无最小值.故选A.
5.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(m)的值为( A )
(A)-8 (B)8 (C)-24 (D)24
解析:由题意得,m-5=-(1-2m),解得m=-4,
所以f(m)=f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.
6.函数y=3x+(x≥2)的值域是( B )
(A)[,+∞] (B)[6+,+∞)
(C)[6,+∞) (D)[,+∞)
解析:因为y=3x+在[2,+∞)上是增函数,
所以y最小值=3×2+=6+.
所以y=3x+(x≥2)的值域为[6+,+∞).故选B.
7.若函数f(x)=|m-1|xm+1是幂函数,则m=( C )
(A)0 (B)1
(C)0或2 (D)1或2
解析:由题意得|m-1|=1,解得m=0或m=2.故选C.
8.已知f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是( A )
(A)[,) (B)(,]
(C)(0,) (D)(-∞,]
解析:由题意得解得≤a<.
故选A.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( AB )
(A)y=x (B)y=x3
(C)y=- (D)y=x4
解析:A,B为定义域上的增函数且为奇函数.y=-是奇函数,但在定义域内不是增函数.故选AB.
10.已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( BC )
(A)f(x)的定义域为R
(B)f(x)的值域为(-∞,4]
(C)若f(x)=2,则x的值是-
(D)f(x)<1的解集为(-1,1)
解析:函数f(x)的定义域为[-2,+∞],故A错误.
当-2≤x<1时,f(x)∈[0,4];
当x≥1时,f(x)∈(-∞,1],即函数f(x)的值域为(-∞,4],故B正确.
当-2≤x<1时,由x2=2得x=-;当x≥1时,由-x+2=2得x=0(不符合),故C正确.
当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1);当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是( ABD )
(A)f(0)=0
(B)若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
(C)若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
(D)若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x
解析:A正确;由对称性知B正确;奇函数在对称区间上单调性一致,C不正确;对于D,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,即D正确.故选ABD.
12.已知函数f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x,
y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则( AC )
(A)f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)
(B)f(x)在定义域上为奇函数
(C)若当x>1时,有f(x)>0,则当-1(D)若当00的解集为(1,+∞)
解析:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=
f(-1)+f(-1),则f(-1)=0,所以f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故A正确;
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故B错误;
令y=-,则f(-1)=f(x)+f(-)=0,
则f(-)=-f(x),当x>1时,-∈(-1,0),又f(x)>0,则f(-)<0,
即当-1令y=,则f(1)=f(x)+f()=0,则f()=-f(x),当00,即当x>1时,f(x)>0,因为f(x)是偶函数,所以x<-1时,f(x)>0,所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故D错误.故选AC.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象如图所示,那么实数m的值是 .
解析:由题意知
解得m=-2或m=1(舍去),
又由函数的图象可得该函数为偶函数,所以m=-2.
答案:-2
14.已知f(x)=x2 005+ax3--8,f(-2)=10,则f(2)= .
解析:由题意知-22 005-a·23+-8=10,
可得22 005+a·23-=-18,
所以f(2)=22 005+a·23--8=-26.
答案:-26
15.奇函数f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是 .
解析:因为f(x)为奇函数,
所以f(2a+1)>f(3-4a),
又f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,
所以解得≤a<,
实数a的取值范围为[,).
答案:[,)
16.已知函数f(x-1)=x2+(2a-2)x+3-2a.
(1)若函数f(x)在区间[-5,5]上为单调函数,则实数a的取值范围为 ;
(2)若f(x)在区间[-5,5]上的最小值为-1,则a的值为 .
解析:令x-1=t,则x=t+1,
f(t)=(t+1)2+(2a-2)·(t+1)+3-2a=t2+2at+2,
所以f(x)=x2+2ax+2.
(1)因为函数f(x)图象的对称轴方程为x=-a,
由题意知-a≤-5或-a≥5,
解得a≤-5或a≥5.
故实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).
(2)当a>5时,f(x)最小值=f(-5)=27-10a=-1,解得a=(舍去);
当-5≤a≤5时,f(x)最小值=f(-a)=-a2+2=-1,解得a=±;
当a<-5时,f(x)最小值=f(5)=27+10a=-1,解得a=-(舍去).
综上,a=±.
答案:(1)(-∞,-5]∪[5,+∞) (2)±
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,求f(x).
解:2f(x)-f(-x)=3x+1, ①
将①中的x换为-x,得2f(-x)-f(x)=-3x+1, ②
①②联立,得
把f(x)与f(-x)看成未知数,
解得f(x)=x+1.
18.(12分)已知幂函数f(x)=xa的图象过点(9,3).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数g(x)=在给定的平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象;
(3)利用图象写出函数g(x)的值域和单调递增区间(不需证明).
解:(1)由题意知9a=3,解得a=,
所以f(x)=.
(2)由(1)可知函数g(x)=作出函数图象如图所示.
(3)由(2)中图象可知,函数g(x)的值域为(-∞,-1]∪[0,+∞),单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
19.(12分)在①k=-1,②k=1这两个条件中任选一个,补充在下面问
题中.
已知函数f(x)=-kx,且 .
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义给予证明.(若两个条件都选,按第一个计分)
解:选择①k=-1,因为f(x)=-kx,
所以f(x)=x-.
(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,所以函数f(x)的定义域为
(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.
证明如下: x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+)
=.
因为0x1x2>0,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.
选择②k=1,因为f(x)=-kx,
所以f(x)=-x.
(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(-x)=-(-x)=-(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.
证明如下: x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-x1-(-x2)
=+(x2-x1)
=(x2-x1)(1+)
=.
因为00,x1x2>0,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.
20.(12分)已知函数f(x)=2x2-3x+1.
(1)函数h(x)是奇函数,当x>0时,h(x)=f(x),求函数h(x)在x∈R上的解析式;
(2)若g(x)=-f(x)+mx+1,当x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,求m
的值.
解:(1)设x<0,则-x>0,因为函数h(x)是奇函数,
所以h(x)=-h(-x)=-2x2-3x-1.
所以h(x)=
(2)g(x)=-f(x)+mx+1,
所以g(x)=-2x2+(3+m)x.
一元二次函数g(x)的图象开口向下,
对称轴方程为x=,
在x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,
①当≤1,即m≤1时,g(x)max=g(1)=-2+3+m=2,解得m=1;
②当1<<2,即1解得m=1(舍去)或m=-7(舍去);
③当≥2,即m≥5时,g(x)max=g(2)=-8+2m+6=2,解得m=2(舍去).
综上所述,m的值为1.
21.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
解:(1)由题意知,当30f(x)=2x+-90>40,
即x2-65x+900>0,
解得x<20或x>45,
所以,x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30g(x)=(2x+-90)·x%+40(1-x%)=-x+58.
所以,g(x)=
当0说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的.所以当自驾人数为S的32.5%时,人均通勤时间最少.
22.(12分)已知函数f(x)在[m,n](m(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质 说明理由.
(2)若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
解:(1)具有“DK”性质.理由如下:
因为f(x)=x2-2x+2,x∈[1,2],
图象的对称轴方程为x=1,开口向上,
当x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1,
所以f(x)min=f(1)=1≤1,
所以函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性质.
(2)g(x)=x2-ax+2,x∈[a,a+1],其图象的对称轴方程为x=,开口向上.
①当≤a,即a≥0时,g(x)min=g(a)=a2-a2+2=2.
若函数g(x)具有“DK”性质,则有2≤a总成立,
即a≥2.
②当a<若函数g(x)具有“DK”性质,则有-+2≤a总成立,a无解.
③当≥a+1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a+3,
若函数g(x)具有“DK”性质,则有a+3≤a,a无解.
综上所述,若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,则a≥2.
即a的取值范围为[2,+∞).