§1 指数幂的拓展
§2 指数幂的运算性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算. 2.理解分数指数幂的含义;掌握根式与分数指数幂的互化. 3.掌握实数指数幂的运算性质. 1.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理素养. 2.通过分数指数幂与根式的互化及指数幂的运算,培养数学运算素养.
分数指数幂、根式
[问题1] 某个细胞经过一分钟第一次分裂,1个分裂成2个;经过两分钟第二次分裂,2个分裂成4个;以此类推,问经过8分钟、10分钟、20分钟、x分钟分裂后共有多少个细胞 若每三分钟分裂一次,x分钟分裂后共有多少个细胞
提示:1→2→4→8…→y=2x;若每三分钟分裂一次,则x分钟分裂后共有y=个.
知识点1:分数指数幂与根式
(1)正分数指数幂
给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂.
(2)正数的正分数指数幂可表示为
①=(a>0);
②=(a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素).
注意:把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分.
(3)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,同样可定义为==(a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素).
(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
[例1] (1)化简下列各式:
①+()5;②+()6;
(2)若-3
解:(1)①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
解:(2)-=-=|x-1|-|x+3|,
当-3-2x-2.
当1综上,原式=
变式训练1-1:化简:(1)(x<π,n∈N+);
(2).
解:(1)因为x<π,所以x-π<0.
当n为偶数时,=|x-π|=π-x;
当n为奇数时,=x-π.
综上可知,=
解:(2)=|x+2|=
(1)()n与的理解.()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制,
=
(2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当地变形,达到化繁为简的目的.
(3)在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值符号表示,然后利用已知条件去掉绝对值符号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.
指数幂的运算性质
[问题2] (1)设a>0,,,分别等于什么
(2)初中学过的整数指数幂的运算性质能推广到实数指数幂吗
提示:(1)==a2=(a>0);
==a4=(a>0);
==a3=(a>0).
(2)能.
知识点2:对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
[例2] 计算下列各式:
(1)(2)0+2-2×(2)-0.010.5;
(2)0.06-()0+[(-2)3+16-0.75;
(3)()·(a>0,b>0).
解:(1)原式=1+×()-()=1+-=.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=-1++=.
(3)原式=····=a0b0=.
变式训练2-1:(1)用分数指数幂的形式表示下列各式:
①(a>0);
②((b>0);
③(x>0,y>0).
(2)计算:
①0.02-(6)+25+(2-3-1+π0;
②(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
③2÷4·3.
解:(1)①====.
②原式=[(==.
③法一 从外向里化为分数指数幂.
=()
=[()]
=([()])
=()·()()
=··==.
法二 从里向外化为分数指数幂.
====(·x)=.
解:(2)①原式=(0.33-[()2]+(44+(-+1=0.3-+43+2-+1=64.
②原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)
=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.
③原式=2÷(4)·(3)=·3=.
(1)根式与分数指数幂互化的规律
①根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
②在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
(2)指数幂运算的常用技巧
①有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
②负指数幂化为正指数幂的倒数.
③底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
[例1] 化简:÷()(a>0,b>0).
解:原式=÷()=÷()=b÷(ab)==.
[例2] 求值:80.25×+-+×.
解:原式=×+4×27-()+()×1=2+108=110.
[例3] (1)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c.求证:=+;
(2)已知ax3=by3=cz3,且++=1.
求证:(ax2+by2+cz2=++.
证明:(1)令3a=4b=6c=t,
则3=,2=,6=.
因为3×2=6,
所以·=,
即+=,
所以=+.
求证:(2)令ax3=by3=cz3=t,
则ax2=,by2=,cz2=.
因为++=1,
所以++=t,
即ax2+by2+cz2=t.
所以(ax2+by2+cz2==(++)
=++
=++.
基础巩固
知识点一:分数指数幂与根式
1.下列式子的互化正确的是( C )
(A)=(y<0)
(B)=-(x≠0)
(C)=(x>0)
(D)-=(-x(x>0)
解析:y<0,=(-y=(-y,A错误;
=(x≠0),B错误;=(x>0),C正确;-=-(x>0),D错误.故选C.
2.下列各式中成立的是( D )
(A)()7=n7 (B)=
(C)=(x+y (D)=π-3
解析:()7=n7m-7,故A错误;
==,故B错误;
C错误;D正确.故选D.
知识点二:幂的运算性质
3.(多选题)下列各式运算正确的是( ABD )
(A)(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
(B)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
(C)(-a3)2·(-b2)3=a6b6
(D)[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
解析:对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,
(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,
(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D,易知正确.故选ABD.
4.计算(n∈N+)的结果为( D )
(A) (B)22n+5
(C)2n2-2n+6 (D)()2n-7
解析:原式===27-2n=()2n-7.故选D.
知识点三:条件求值
5.已知正数x满足+=,则x2+x-2=( B )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:由题意知(+)2=5,
即x+x-1+2=5,则x+x-1=3,
所以=9,即x2+x-2+2=9,
因此x2+x-2=7.故选B.
6.如果a=3,b=384,那么a[()]n-3= .
解析:a[()]n-3=3[()]n-3=3[(128]n-3=3×2n-3.
答案:3×2n-3
能力提升
7.若(1-2x有意义,则x的取值范围是( D )
(A)(-∞,+∞)
(B)(-∞,)∪(,+∞)
(C)(,+∞)
(D)(-∞,)
解析:因为(1-2x=,所以1-2x>0,得x<.故选D.
8.(5)0.5+(-1)-1÷0.75-2+(2)=( A )
(A) (B) (C)- (D)-
解析:原式=()2×0.5-()2+()=-+=.故选A.
9.若+=3,a>0,则的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为+=3,a>0,
所以(+)2=9,a+=7,
则==.故选A.
10.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:因为x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,
所以x9=9x,
所以x8=9,所以x==.故选B.
11.()+= ;= .
解析:()+=(2-2+=2+=2+4=6;===
a=a.
答案:6 a
12.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .
解析:由2x=8y+1,得2x=23y+3,
所以x=3y+3. ①
由9y=3x-9,得32y=3x-9,所以2y=x-9. ②
由①②联立方程组,解得x=21,y=6,
所以x+y=27.
答案:27
13.计算与化简:
(1)-4()-·80.25-(-2.015)0;
(2)(a>0,b>0).
解:(1)-4()-·80.25-(-2.015)0
=-4×[()2]-×(23-1
=×-4×()-(2×23-1
=22×33-4×()-1-(24-1
=4×27-4×-2-1
=98.
(2)(a>0,b>0)
=
=
=
=ab-1.
14.设+=4,x=a+3,y=b+3,求(x+y+(x-y的值.
解:令=A,=B,则
x=A3+3AB2,y=B3+3A2B,
x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,
x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3.
所以(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2
=2(A2+B2)=2(+)=8.
应用创新
15.已知x+y=12,xy=9,且x>y,求的值.
解:因为x+y=12,xy=9,
所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.
因为x>y,所以x-y=6,
所以======.§3 指数函数
3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
3.2.1 指数函数的图象和性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题. 2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响. 1.通过指数函数的图象的学习,培养直观想象素养. 2.借助指数函数性质的应用,培养逻辑推理素养.
指数函数
[问题1] 将一张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系 对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x=1 y=2=21 S=
x=2 y=4=22 S==()2
x=3 y=8=23 S==()3
…… …… ……
由上面的对应关系,我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y=2x(x∈N+),对折后的面积S=()x(x∈N+).
实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征
提示:(1)幂的形式;(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数;(3)幂的指数是一个变量.
知识点1:指数函数的定义
根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应,因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
[思考1] 为什么规定y=ax中a>0,且a≠1
提示:①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任意实数;③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a>0,且a≠1.
[例1] 下列函数:①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=8x(x∈N+);⑥y=ex(无理数e=2.718 281…);⑦y=;⑧y=(2a-1)x(a>,a≠1),其中是指数函数的是 (填序号).
解析:根据指数函数的定义进行判断得①⑥⑧为指数函数.
②中自变量不在指数上;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0;⑤中定义域不是R;⑦中指数不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指数函数.
答案:①⑥⑧
变式训练1-1:若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),求f(x)及f(-1).
解:设f(x)=ax(a>0,a≠1),
将点(2,9)代入解析式得a2=9,
解得a=3(a=-3舍去),
即f(x)=3x.
所以f(-1)=3-1=.
判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为
指数函数的图象和性质
[问题2] 在同一坐标系中作出y=2x,y=()x,y=3x,y=()x的图象,结合图象你能发现指数函数有什么特点
提示:(1)图象都过定点(0,1);
(2)定义域都是R,值域都是(0,+∞);
(3)当底数在(0,1)内时,函数单调递减,当底数大于1时,函数单调递增.
知识点2:指数函数的图象与性质
a>1 0图 象
性 质 定义域:R
值域:(0,+∞),即图象位于x轴上方
过定点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 在R上是减函数
当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
既不是奇函数,也不是偶函数
[思考2-1] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么
提示:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势;当0[思考2-2] 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系如何 你能得到什么规律
提示:c>d>1>a>b.
规律:y轴右侧,底大图高.
[例2] (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
(A)a>1,b<0
(B)a>1,b>0
(C)00
(D)0(2)画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.
①y=2x+1;②y=-2x.
(1)解析:从图象的变化趋势可得0从曲线位置看,是由函数y=ax(00,即b<0.故选D.
(2)解:如图.
①y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
②y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.
变式训练2-1:已知f(x)=2x,指出下列函数的图象是由y=f(x)的图象通过怎样的变换得到:
①y=2x+1;②y=2x-1;③y=2-x;④y=2|x|.
解:①y=2x+1的图象是由f(x)=2x的图象向左平移1个单位长度得到的.
②f(x)=2x-1的图象是由f(x)=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
③因为y=2-x与f(x)=2x的图象关于y轴对称,所以作y=2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y=2-x的图象.
④因为y=2|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,故先作出当x≥0时,f(x)=2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y=2|x|的图象.
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点.
(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
[例1] 求下列函数的定义域、值域.
(1)y=;(2)y=.
解:(1)因为3x-1≠0,所以x≠0.
所以函数的定义域为{x|x≠0}.
因为y=,
所以3x=+1>0且y≠0.
综上y<-1或y>0.
所以函数的值域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
解:(2)因为x-1≥0,所以x≥1.
所以函数的定义域为[1,+∞).
又x≥1时,-≤0.
所以≤30=1,
所以0所以函数的值域为(0,1].
[例2] 求下列函数的值域.
(1)y=;(2)y=.
解:(1)因为y=,
所以2x=>0.
所以<0.
所以-1所以函数的值域为(-1,1).
解:(2)因为y==≤=,
当且仅当2x=,即x=时取等号.
所以0所以函数的值域为(0,].
基础巩固
知识点一:指数函数
1.下列函数中,是指数函数的是( B )
(A)y=2·3x (B)y=3x
(C)y=3x+1 (D)y=x3
解析:A,C,D均不符合指数函数的定义,B是指数函数.故选B.
2.若函数f(x)=(a2-a-1)ax是指数函数,则( B )
(A)a=1 (B)a=2
(C)a=1或a=2 (D)a>0且a≠1
解析:由题意得解得a=2.故选B.
知识点二:指数函数的图象和性质
3.函数y=2|x|-1的图象大致为( C )
解析:由题知函数的定义域为R,当x∈(0,+∞)时,y=2x-1为增函数,且y>0,故排除选项A,B,D,选项C符合.故选C.
知识点三:指数型函数的定义域、值域
4.函数y=()|x|的值域为( D )
(A){y|y>0} (B){y|y≤1}
(C){y|y≥1} (D){y|0解析:由于|x|≥0,且y=()|x|为偶函数,结合其图象知05.函数y=的定义域为 .
解析:由题意可得2-()x≥0,得x≥-1.
答案:[-1,+∞)
能力提升
6.函数y=--1在x∈[0,+∞)上的值域为( )
(A)[-1,+∞) (B)[-,+∞)
(C)[-,-1) (D)[-,-1]
解析:令t=()x,则y=t2-t-1,
由x∈[0,+∞),则t∈(0,1].
因为y=t2-t-1=(t-)2-,
则t=时,ymin=-,t=1时,ymax=-1,
所以函数y=--1在x∈[0,+∞)上的值域为[-,-1].故选D.
7.函数y=x+a与y=ax,其中a>0,且a≠1,它们的大致图象在同一平面直角坐标系中有可能是( D )
解析:因为a>0,则函数y=x+a单调递增,故排除A,C;对于B,D,函数y=
ax单调递减,则08.如图中的曲线是指数函数y=ax的图象,已知a的取值分别为π,,
,,则相应于曲线c1,c2,c3,c4的a值依次为( C )
(A),π,, (B),π,,
(C)π,,, (D)π,,,
解析:取x=1,c2的a值最大,其次是c1,然后是c4,最小的是c3,所以曲线c1,c2,c3,c4的a值依次为π,,,.故选C.
9.函数f(x)=-9-x+()x-1+在x∈[-1,+∞)上的值域为( C )
(A)(,3) (B)[-,3]
(C)[,3] (D)(-∞,3]
解析:f(x)=-9-x+()x-1+
=-()2x+3×()x+,
令t=()x,因为x∈[-1,+∞),
所以t∈(0,3],原函数的值域等价于函数g(t)=-t2+3t+=-(t-)2+3的值域,所以f(x)∈[,3].故选C.
10.设函数f(x)= 则满足f(2x+1)(A)(-∞,-1] (B)(0,+∞)
(C)(-1,0) (D)(-∞,0)
解析:由f(x)的图象知,若使f(2x+1)则或
解得x<-或-≤x<0,即x<0.故选D.
11.函数f(x)=的值域是 .
解析:设y=f(x)=,即有3x=>0,解得0答案:(0,1)
12.直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是 .
解析:当a>1时,函数y=|ax-1|的图象如图所示,
此时直线y=2a与函数y=|ax-1|图象仅有一个交点,不满足;
当0若直线y=2a与函数y=|ax-1|图象有两个交点,
则0<2a<1,0答案:(0,)
13.求函数f(x)=()(0≤x≤3)的值域.
解:由f(x)=()在[0,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,
f(1)=,f(0)=,f(3)=.
故所求函数的值域为[,].
14.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
解:(1)因为t=3x,x∈[-1,2],函数t=3x在[-1,2]上是增函数,故有≤t≤9,故t的最大值为9,最小值为.
(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数图象的对称轴为直线t=1,且≤t≤9,故当t=1时,函数f(x)有最小值为3,当t=9时,函数f(x)有最大值为67.
应用创新
15.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图(2)所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围.
解:(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
又f(0)=1+b<0,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(2)由题图(2)可知,y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{0}∪[3,+∞).3.2.2 指数函数的图象和性质的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断. 2.能借助指数函数性质比较大小. 3.会解简单的指数方程、不等式. 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法. 借助指数函数的性质及应用,培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).
解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值,
因为函数y=0.6x在R上是减函数,
且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)由指数函数的性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;
当0变式训练1-1:(1)下列大小关系正确的是( )
(A)0.43<30.4<π0 (B)0.43<π0<30.4
(C)30.4<0.43<π0 (D)π0<30.4<0.43
(2)下列关系中正确的是( )
(A)()<()<()
(B)()<()<()
(C)()<()<()
(D)()<()<()
解析:(1)0.43<1,π0=1,30.4>1.故选B.
解析:(2)因为函数y=()x在R上单调递减,<,所以()>().因为幂函数y=在(0,+∞)上单调递增,且<,所以()<(),即()<()<().故选D.
指数幂大小比较问题的三种类型及解法
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小,可以利用函数图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同、指数也不同的两个幂的大小,则可通过中间值(特别是0,1)来比较.
利用指数函数的单调性解不等式
[例2] 已知0,且a≠1),求x的取值范围.
解:分情况讨论:
(1)当0所以x2-3x+1>x+6,
所以x2-4x-5>0,
根据相应二次函数的图象可得x<-1或x>5.
(2)当a>1时,函数f(x)=ax在R上是增函数,
所以x2-3x+1所以x2-4x-5<0,
根据相应二次函数的图象可得-1综上所述,当05;
当a>1时,-1变式训练2-1:若ax+1>()5-3x(a>0且a≠1),求x的取值范围.
解:因为ax+1>()5-3x,所以ax+1>a3x-5.当a>1时,y=ax在R上为增函数,可得x+1>3x-5,所以x<3;
当03.
综上,当a>1时,x的取值范围为(-∞,3);
当0 有关指数(型)函数单调性
[例3](1)函数f(x)=()(e为自然对数的底数)的单调递增区间是( )
(A)(-∞,-2) (B)(2,+∞)
(C)(-2,+∞) (D)(-∞,2)
(2)已知函数f(x)=满足对任意的x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)[,1)
(C)(-∞,3) (D)(0,]
解析:(1)设函数u=x2+4x-9,则其在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,又y=()u在R上单调递减,所以所求单调递增区间是(-∞,-2).故选A.
解析:(2)依题意知f(x)在R上单调递减,所以
解得0变式训练3-1:(1)函数f(x)=()的单调递增区间为( )
(A)(-∞,-1] (B)[2,+∞)
(C)(-∞,) (D)(,+∞)
(2)若函数f(x)=单调递增,则实数a的取值范围是( )
(A)(,3) (B)[,3)
(C)(1,3) (D)(2,3)
解析:(1)令x2-x-2≥0可得x≥2或x≤-1,
所以函数f(x)=()的定义域为{x|x≥2或x≤-1}.
因为函数y=x2-x-2在(-∞,-1]上单调递减,
所以函数y=在(-∞,-1]上单调递减,
所以函数f(x)=()的单调递增区间为(-∞,-1].故选A.
(2)因为函数f(x)=单调递增,
所以解得≤a<3.
所以实数a的取值范围是[,3).故选B.
(1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)复合函数的单调性,当a>1时,函数y=af(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;当0(2)有关指数函数的分段函数的单调性问题,既要保证每一段上的单调性,还要注意对端点处的函数值大小进行比较.
指数(型)函数性质的综合应用
[典例] 已知函数f(x)=x2·(a+)是R上的奇函数,则实数a等于( )
(A)- (B) (C)-1 (D)1
试题情境:函数综合.
必备知识:函数基本性质.
关键能力:理解能力.
学科素养:函数思想.
解析:根据题意,函数f(x)=x2·(a+)是R上的奇函数,则有f(-x)=-f(x),即(-x)2(a+)=-x2·(a+),
整理可得a+=-(a+),则有2a=-1,
即a=-.故选A.
[素养演练] 已知定义在R上的奇函数f(x)=b-(a>0,a≠1).
(1)求b的值;
(2)若f(x)在[-1,1]上的最大值为,求a的值.
解:(1)由f(0)=b-=0 b=1,
所以f(x)=1-,经检验,
f(x)为奇函数,故b=1满足条件.
解:(2)当a>1时,函数f(x)=1-在[-1,1]上单调递增,
故f(x)max=f(1)=1-= a=2;
当0故f(x)max=f(-1)=1-= a=.
综上a=2或.
易错警示
(1)涉及由指数函数通过四则运算构成的含参数函数奇偶性求参数时,可利用奇偶函数的解析式特征,结合指数幂的运算性质求解.
(2)涉及由指数函数通过四则运算构成的函数单调性的证明,可利用函数单调性的定义,结合指数函数的值域为(0,+∞)证明.
形如f(x)=为奇函数求a的值时,不能利用f(0)=0,而可以利用f(-x)=-f(x)化简,整理求解.
[例题] 函数f(x)=是R上的奇函数,a,b是常数.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)由题意得解得
解:(2)由(1)知f(x)==-,
设x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=.
因为x1又+1>0,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)是R上的增函数.
因为不等式f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意实数x恒成立,
所以不等式f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)对任意实数x恒成立,
所以不等式k·3x<-3x+9x+2对任意实数x恒成立.
所以不等式k<-1+3x+对任意实数x恒成立,
令g(x)=-1+3x+,令t=3x>0,
则由对勾函数的性质得y=-1+t+≥2-1,
当且仅当t=时等号成立,
即g(x)的最小值为2-1,所以k<2-1.
所以实数k的取值范围是(-∞,2-1).
基础巩固
知识点一:利用单调性比较大小
1.已知a=0.35,b=0.30.2,c=50.2,则a,b,c的大小关系是( A )
(A)a(C)a解析:由5>0.2>0,所以a50=1,所以a2.设a=(),b=(),c=,则( B )
(A)a(C)c解析:a=()<()0=1,b=()=>1,c=>1.
b15=35=243,c15=53=125,
所以b>c,所以a知识点二:利用单调性解指数不等式
3.不等式<()3(x-1)的解集为 .
解析:原不等式可化为<23-3x,
根据指数函数y=2x的单调性得,
x2-4x-3<3-3x,解得-2答案:(-2,3)
知识点三:指数型函数的单调性
4.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-∞,) (B)(,+∞)
(C)(,1)∪(1,+∞) (D)(,1)
解析:由题意知y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<,从而实数a的取值范围是(-∞,).故选A.
5.已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是( C )
(A)(2-2,2+2)
(B)(-∞,2)
(C)(-∞,2+2)
(D)[2+2,+∞)
解析:令t=3x(t>1),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1的图象在t∈(1,+∞)上恒在x轴的上方,
则对于方程f(t)=0,有Δ=(-m)2-4(m+1)<0
解得2-2所以m<2+2.故选C.
能力提升
6.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为m,那么M+m=( D )
(A)2 020 (B)2 021
(C)2 022 (D)2 023
解析:由题可知f(x)==2 021-,
因为f(x)=2 021-在x∈[-a,a]上为增函数,
所以M+m=f(a)+f(-a)=2 021-+2 021-=4 042-
=4 042-2 019=2 023.故选D.
7.要使函数f(x)=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上,f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是( C )
(A)(-∞,-) (B)(-∞,)
(C)(-,+∞) (D)(,+∞)
解析:由题意知a>-=--在(-∞,1]上恒成立,
令t=∈[,+∞),g(t)=-t2-t,
则a>g(t)max,
二次函数g(t)=-t2-t=-(t+)2+在区间[,+∞)上单调递减,则g(t)max=g()=-,所以a>-.因此,实数a的取值范围是(-,+∞).
故选C.
8.(多选题)已知f(x)=e-x+kex(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是( AD )
解析:由选项知f(x)可能是奇函数或偶函数,若为偶函数,则ex+ke-x=
e-x+kex,得k=1;若为奇函数,则ex+ke-x=-e-x-kex,得k=-1.
当k=1时,f(x)=e-x+ex为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,可能为C,不可能是D;
当k=-1时,f(x)=e-x-ex为奇函数且为减函数,可能为B,不可能是A.故选AD.
9.已知函数f(x)=为奇函数,则m的值等于 .
解析:由题意可知,f(0)===0,所以m=1.
答案:1
10.设函数f(x)=-,若f(2m-1)+f(m-2)<0,则实数m的取值范围是 .
解析:函数的定义域为R,由f(-x)+f(x)=-+-=-1=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
又f(x)在R上单调递减,由f(2m-1)+f(m-2)<0得f(2m-1)<-f(m-2)=f(2-m),所以2m-1>2-m,解得m>1.
答案:(1,+∞)
11.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(3,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x-1)-1,x∈[-1,+∞),求函数g(x)的值域.
解:(1)由题意知a3=,解得a=,
所以f(x)=()x.
(2)由(1)可知g(x)=()x-1-1,
函数g(x)=()x-1-1(x≥-1)为减函数,当x=-1时,ymax=8.
又()x-1>0,所以()x-1-1>-1,所以g(x)的值域为(-1,8].
12.设函数f(x)=kax-a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数,f(1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
解:(1)由题意知f(0)=ka0-a0=k-1=0,
解得k=1,所以f(x)=ax-a-x.
由f(1)=,得f(1)=a-a-1=,
即2a2-3a-2=0,
解得a=2或a=-(舍去),
所以f(x)=2x-2-x.
(2)由(1)得,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=-2m(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,
易知t=2x-2-x在[1,+∞)上单调递增,
故当x≥1时,t≥21-2-1=,
所以函数g(x)转化为h(t)=t2-2mt+2,其图象的对称轴方程为t=m,
①当m≥时,h(t)min=h(m)=m2-2m2+2=-2,即m2=4,
解得m=2或m=-2(舍去);
②当m<时,h(t)min=h()=-3m+2=-2,解得m=(舍去).
综上所述,m=2.
应用创新
13.设函数f(x)= 若a=1,f(f(2))= ;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是 .
解析:若a=1,则f(f(2))=f(3)=23+1=9,
当x>2时,f(x)=2x+a>4+a,
当x≤2时,由函数的值域为R可知,a>0,
此时f(x)≤2a+1,
结合分段函数的性质可知,2a+1≥a+4,
即a≥3.
答案:9 [3,+∞)
14.已知函数f(x)=x2-ax-(a>0,a≠1),若f(x)<0在[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为 .
解析:由f(x)<0得x2分类讨论,当a>1时,分别作出y=x2和y=ax+的图象,如图所示.
由图可知,若使 x∈[-1,1]均满足x2同理,当0解得a∈(,1).
综上,a的取值范围是(,1)∪(1,2).
答案:(,1)∪(1,2)章末总结
题型一 指数的运算
[例1] 化简:(1)(×(÷;
(2)()4()4.
解:(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式={[(a9}4{[(a9}4=a2·a2=a4.
跟踪训练1-1:(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)=( )
(A)(1-)-1 (B)(1-)-1
(C)1- (D)(1-)
解析:原式=
=
=
=
=
=
=(1-)-1.
故选A.
指数运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算;其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解,以达到约分的目的.
题型二 指数函数的图象及应用
[例2] (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)可以为( )
(A)f(x)= (B)f(x)=
(C)f(x)= (D)f(x)=xe|x|
(2)已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有f(x)<,则实数a的取值范围是( )
(A)(0,]∪[2,+∞) (B)[,1)∪(1,4]
(C)[,1)∪(1,2] (D)(0,]∪[4,+∞)
(3)已知函数f(x)=|2x-1|,当af(c)>f(b),则必有( )
(A)a<0,b<0,c<0 (B)a<0,b>0,c>0
(C)2-a<2c (D)1<2a+2c<2
解析:(1)由图可知函数图象关于原点对称,即函数为奇函数,
由f(x)=为非奇非偶函数,排除C;
f(x)=为偶函数,排除B;
由函数图象可知,x→+∞时,f(x)→0,排除D.故选A.
(2)只需x2-作出y=x2-与y=ax的图象(图略),
根据图象可知,当a>1时,a-1≥,
解得1当0所以实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].故选C.
(3)作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知a<0,0|2c-1|,所以1-2a>2c-1,得2a+2c<2且2a+2c>1,即1<2a+2c<2.故选D.
跟踪训练2-1:函数f(x)=x2(ex-e-x)的图象大致为( )
解析:由f(x)为奇函数,排除B,D;
当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C.故选A.
跟踪训练2-2:已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)<0的解集是( )
(A)(-1,1)
(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(C)(0,1)
(D)(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:f(x)<0等价于2x作出y=2x和y=x+1的图象如图.
两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),
不等式2x所以不等式f(x)<0的解集为(0,1).
故选C.
跟踪训练2-3:已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)=则F(x)( )
(A)有最小值0,无最大值
(B)无最小值,有最大值1
(C)有最小值-1,无最大值
(D)无最小值,也无最大值
解析:在同一坐标系中作出|f(x)|与g(x)的图象,根据定义得F(x)的图象如图实线部分,
由图可知F(x)有最小值-1,无最大值.故选C.
指数函数图象是研究指数函数性质的工具,所以要能熟练画出指数函数图象,并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.
题型三 比较大小
[例3] (1)设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( )
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)b>c>a (D)b>a>c
(2)已知a=0.30.4,b=0.40.4,c=0.3-0.3,则( )
(A)a(C)b解析:(1)因为函数y=()x在R上为减函数,
所以()<(),即c因为函数y=在(0,+∞)上为增函数,
所以()>(),即c>b,所以a>c>b.故选A.
(2)0.30.4<1=0.30<0.3-0.3,即a<1幂函数y=x0.4在(0,+∞)上为增函数,则0.30.4<0.40.4<10.4=1,即a因此,a跟踪训练3-1:已知a=0.50.8,b=0.80.5,c=0.80.8,则( )
(A)c(C)a解析:因为指数函数y=0.8x为减函数,
所以0.80.5>0.80.8,即b>c.
因为幂函数y=x0.8为增函数,
所以0.50.8<0.80.8,即a所以a跟踪训练3-2:比较1.,23.1,的大小关系是( )
(A)23.1<<1.
(B)1.<23.1<
(C)1.<<23.1
(D)<1.<23.1
解析:因为幂函数y=在(0,+∞)上是增函数,
所以1.<.又因为指数函数y=2x在(0,+∞)上是增函数,<3.1,
所以<23.1,所以1.<<23.1.故选C.
数的大小比较常用方法
(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时,可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(2)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.
题型四 指数函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=ax+k-a-x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,且不等式f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0对任意t∈[-1,1]成立,求实数x的取值范围.
解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=ak-1=0,解得k=0.
经验证,f(x)为奇函数.
解:(2)由f(1)<0得a-<0,解得0所以f(x)=ax-a-x是R上的减函数.
因为f(x)为奇函数,
所以由f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0得
f(3tx+4)≤-f(-2x2+1)=f(2x2-1).
因为f(x)是R上的减函数,
所以3tx+4≥2x2-1对任意t∈[-1,1]成立.
令g(t)=3tx+4-2x2+1=3tx+5-2x2,
则g(t)≥0对任意t∈[-1,1]成立,
等价于
解得-1≤x≤1,所以实数x的取值范围是[-1,1].
跟踪训练4-1:若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .
解析:当a>1时,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不符合题意.
当0答案:
函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=(x),通过考查f(u)和(x)的单调性,求出y=f((x))的单调区间.
题型一 指数函数图象及应用
1.(2012·四川卷T5)函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是( D )
解析:因为a>0,所以>0,所以函数y=ax的图象需向下平移个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A;
当a>1时,0<<1,所以排除B;
当01,所以排除C,故选D.
题型二 比较大小
2.(2016·全国Ⅲ卷T6)已知a=,b=,c=2,则( A )
(A)b(C)b解析:因为a==1,b==1,c=2,
又因为幂函数y=在R上单调递增,
所以a因为指数函数y=16x在R上单调递增,
所以b即b3.(2015·山东卷T3)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( C )
(A)a(C)b解析:由y=0.6x,0<0.61.5<0.60.6<1,又1.50.6>1,故选C.
题型三 指数函数性质的应用
4.(2013·全国卷T12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( D )
(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)
解析:由题意知,存在正数x,使a>x-,所以a>(x-)min,而函数y=x-在(0,+∞)上是增函数,所以a>-1.故选D.
5.(2014·陕西卷T7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( B )
(A)f(x)=x3 (B)f(x)=3x
(C)f(x)= (D)f(x)=
解析:A选项中,由f(x+y)=(x+y)3,f(x)f(y)=x3·y3=(xy)3,得f(x+y)≠f(x)f(y),所以A错误;B选项中,由f(x+y)=3x+y,f(x)f(y)=3x·3y=3x+y,得f(x+y)=f(x)f(y),又函数f(x)=3x是定义在R上的单调递增函数,所以B正确;C选项中,由f(x+y)=(x+y,f(x)f(y)=·=(xy,得f(x+y)≠f(x)f(y),所以C错误;D选项中,函数f(x)=是定义在R上的单调递减函数,所以D错误.故选B.
6.(2018·上海卷T11)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,-).若2p+q=36pq,则a= .
解析:由题+=-=1,
整理得=1,
解得2p+q=a2pq.
因为2p+q=36pq,所以a2=36,
由于a>0,故a=6.
答案:6
7.(2015·山东卷T14)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
解析:若a>1,则f(x)在[-1,0]上为增函数,所以此方程组无解;
若0答案:-
8.(2015·福建卷T15)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)单调递增,则实数m的最小值等于 .
解析:根据f(1+x)=f(1-x)可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,可知a=1,f(x)在[1,+∞)单调递增,所以m≥1,故m的最小值等于1.
答案:1
9.(2015·江苏卷T7)不等式<4的解集为 .
解析:因为<4,
所以x2-x<2 -1答案:(-1,2)
第三章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若a<,则化简的结果是( C )
(A) (B)-
(C) (D)-
解析:因为a<,所以2a-1<0,所以原式==.故选C.
2.函数y=ax+1+1(a>0,且a≠1)的图象一定经过点( C )
(A)(-1,1) (B)(1,0)
(C)(-1,2) (D)(1,1)
解析:令x+1=0,得x=-1,y=2.故选C.
3.下列不等关系中,正确的是( D )
(A)()<1<() (B)()<()<1
(C)1<()<() (D)()<()<1
解析:()<()<()0,
即()<()<1.故选D.
4.函数y=(a2-3a-3)ax是指数函数,则有( B )
(A)a=-1或a=4 (B)a=4
(C)a=-1 (D)a>0或a≠1
解析:由题意得解得a=4.故选B.
5.关于函数f(x)=2x-2-x,下列判断正确的是( D )
(A)图象关于y轴对称,且在(-∞,+∞)上是减函数
(B)图象关于y轴对称,且在(-∞,+∞)上是增函数
(C)图象关于原点对称,且在(-∞,+∞)上是减函数
(D)图象关于原点对称,且在(-∞,+∞)上是增函数
解析:函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,
f(x)=2x-2-x=2x-,在(-∞,+∞)上是增函数.故选D.
6.函数y=()的单调递增区间是( B )
(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1)
(C)(1,+∞) (D)(3,+∞)
解析:由函数u(x)=x2-2x-3在(-∞,1)上单调递减,y=为减函数,所以函数y=()的单调递增区间是(-∞,1).故选B.
7.函数f(x)=()的值域为( C )
(A)(-∞,] (B)(0,]
(C)[,+∞) (D)[2,+∞)
解析:令t=-x2+2x,
则t=-(x-1)2+1∈(-∞,1].
所以y=∈[,+∞).故选C.
8.当x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,则实数a的取值范围是( B )
(A)(-2,) (B)(-,)
(C)(-∞,) (D)(-∞,6)
解析:因为x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,所以a2-a<()x+对一切x∈(-∞,1]恒成立.
令t=()x+=[+]2-≥,
所以a2-a<,
解得-二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列函数不是指数函数的是( ABD )
(A)y=5x+1 (B)y=x4
(C)y=3-x (D)y=2·3x
解析:y=5x+1=5·5x与y=2·3x都不符合指数函数的定义,y=x4是幂函数.故选ABD.
10.下列关于函数f(x)=的结论正确的是( AB )
(A)值域是(0,81]
(B)单调递增区间是(-∞,1]
(C)值域是[81,+∞)
(D)单调递减区间是(-∞,1]
解析:令μ(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
则μ(x)≤4.
又f(x)=3μ为增函数,所以0<3μ≤81,所以函数f(x)的值域为(0,81],故A正确,C错误.
因为μ(x)=-(x-1)2+4在(-∞,1]上单调递增,f(x)=3μ为增函数,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1],故B正确,D错误.故选AB.
11.定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的是( AD )
(A)方程f(g(x))=0有且仅有三个解
(B)方程g(f(x))=0有且仅有三个解
(C)方程f(f(x))=0有且仅有九个解
(D)方程g(g(x))=0有且仅有一个解
解析:函数f(x)的图象与x轴有3个交点,
所以方程f(g(x))=0有且仅有三个解;
函数g(x)在区间[-a,a]上单调递减,
所以方程g(g(x))=0有且仅有一个解.故选AD.
12.已知函数f(x)=,下列说法正确的有( AC )
(A)f(x)的图象关于原点对称
(B)f(x)的图象关于y轴对称
(C)f(x)的值域为(-1,1)
(D) x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
解析:f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;
对于选项B,计算f(1)==,
f(-1)==-≠f(1),
故f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;
对于选项C,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=f(x)=1-,
易知1-∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;
对于选项D,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=f(x)=1-,
函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-在t∈(1,+∞)上单调递增,
根据复合函数的单调性,可知f(x)=1-在R上单调递增,
故 x1,x2∈R,且x1≠x2,<0不成立,故D错误.故选AC.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.方程3x-1=的解为 .
解析:因为3x-1==3-2,所以x-1=-2,
所以x=-1.
答案:-1
14.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,由复合函数的单调性知,必有函数t=|x-a|在区间(-∞,1]上是减函数.又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上是减函数,
所以(-∞,1] (-∞,a],故有a≥1.
答案:[1,+∞)
15.若函数f(x)=4x-2x+1在[-2,2]上的最小值为m,则m= ;函数y=x+的值域为 .
解析:设2x=t,由x∈[-2,2]得t∈[,4],
f(x)=g(t)=t2-t+1=(t-)2+,
所以m=g(t)min=(t=时取得).
y=x+=x+,此函数是奇函数,由对勾函数的单调性知此函数在(0,]上单调递减,在[,+∞]上单调递增.x>0,x=时,ymin=,无最大值,由奇函数性质知x<0时,ymax=-,无最小值,
所以所求值域为(-∞,-]∪[,+∞).
答案: (-∞,-]∪[,+∞)
16.已知-2≤x≤1,若4x-3×2x-1+a≤0恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:当-2≤x≤1时,4x-3×2x≤1-a恒成立,
又当-2≤x≤1时,2x∈[,2],4x-3×2x=-3×2x=(2x-)2-,
所以当2x=,即x=-2时,4x-3×2x取得最大值-,
所以1-a≥-,即a≤.
答案:(-∞,]
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知指数函数f(x)=(a2-8)ax的图象过点(-1,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(-)的值.
解:(1)因为f(x)=(a2-8)ax为指数函数,
所以a2-8=1.①
又因为图象过点(-1,),所以f(-1)=.②
联立①②得a=3,所以f(x)=3x.
(2)f(-)===.
18.(12分)已知对任意x∈R,不等式()>()恒成立,求实数m的取值范围.
解:由题意得-x2-x<2x2-mx+m+4在R上恒成立,
所以3x2-(m-1)x+m+4>0在R上恒成立,
所以Δ=[-(m-1)]2-12(m+4)<0,
所以m2-14m-47<0,
解得7-4所以实数m的取值范围是(7-4,7+4).
19.(12分)设函数y=2|x+1|-|x-1|.
(1)讨论y=f(x)的单调性,作出其图象.
(2)求f(x)≥2的解集.
解:(1)y=
当x≥1或x≤-1时,y=f(x)是常数函数,不具有单调性;
当-1故y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增,其图象如图.
(2)当x≥1时,y=4≥2成立;
当-1当x≤-1时,y=<2,不成立.
综上,f(x)≥2的解集为[,+∞).
20.(12分)已知方程9x-2·3x+(3k-1)=0有两个实根,求实数k的取值范围.
解:令3x=t(t>0),则方程化为t2-2t+(3k-1)=0.①
要使原方程有两个实根,方程①必须有两个正根,设两个根为t1,t2,
则解得故实数k的取值范围是(,].
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)证明:函数f(x)是R上的增函数.
(2)令g(x)=,判定函数g(x)的奇偶性,并证明.
(1)证明:设x1,x2是R内任意两个值,且x10,f(x2)-f(x1)=-==,
当x1所以->0.又+1>0,+1>0,
所以f(x2)>f(x1),
所以f(x)是R上的增函数.
(2)解:g(x)为偶函数,证明如下:
由题意知g(x)==·x,
易知函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又g(-x)=(-x)·=(-x)·=x·=g(x),
所以函数g(x)为偶函数.
22.(12分)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,f(x)=.
(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式.
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明.
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解
解:(1)当-2f(-x)==.
又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-,
当x=0时,由f(-0)=-f(0) f(0)=0,
因为f(x)有最小正周期4,
所以f(-2)=f(-2+4)=f(2)
f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)=
(2)f(x)在(0,2)上单调递增,证明如下:
设00,f(x1)-f(x2)=1--
1+=<0,
所以f(x1)(3)若方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解,
则λ的取值范围即为函数f(x)在[-2,2]上的值域.
当x∈(0,2)时,由(2)知,f(x)在(0,2)上为增函数,
所以=f(0)当x∈(-2,0)时,0<-x<2,
所以f(x)=-f(-x)∈(-,-).
当x∈{-2,0,2}时,f(x)=0,
所以f(x)的值域为(-,-)∪{0}∪(,).
所以当λ∈(-,-)∪{0}∪(,)时,方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解.