§1 对数的概念
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数的概念. 2.掌握指数式与对数式的互化. 3.理解并掌握对数的基本性质. 通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习,培养逻辑推理素养与数学运算素养.
对数的概念
[问题1] 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……
依此类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少 分裂多少次得到细胞的个数为8个、256个 如果已知细胞分裂后的个数为N,如何求分裂次数呢
提示:2x个,3次,8次;由2x=N可知当N已知时,x的值即为分裂次数.
知识点1:对数的概念
(1)一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.
其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)ax=N x=logaN.
(3)常用对数:以10为底数的对数,记作lg N.
自然对数:以无理数e≈2.718 281…为底数的对数,记作 ln N.
[思考1-1] 在ax=N(a>0,且a≠1)中隐含着几种运算 分别是什么运算
提示:在ax=N中,隐含着3种运算.如果已知x和N,求a叫作开方运算;如果已知x和a,求N叫作幂运算;如果已知a和N,求x叫作对数运算.
[思考1-2] 指数式ax=N中底数、指数、幂与对数式x=logaN中底数、对数、真数有什么关系
提示:指数式与对数式中,三者间关系如图所示:
只需把握一句话:底数不变指数即对数.
[例1-1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式:
(1)logx=3;(2)logx64=-6;
(3)3-2=;(4)()x=16.
解:(1)因为logx=3,所以()3=x.
(2)因为logx64=-6,所以x-6=64.
(3)因为3-2=,所以log3=-2.
(4)因为()x=16,所以lo16=x.
变式训练1-1:(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有( )
(A)e0=1与ln 1=0
(B)log39=2与=3
(C)=与log8=-
(D)log77=1与71=7
解析:对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,
所以A正确;
对于B,log39=2可化为32=9,
所以B不正确;
对于C,=可化为log8=-,所以C正确;
对于D,log77=1可化为71=7,
所以D正确.故选ACD.
(1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的.
(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1且N>0时,才有ax=N x=logaN.
[例1-2] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log(2x+1)(x+2);(2).
解:(1)由题意得
即
故x>-且x≠0.
所以x的取值范围是{x|x>-,且x≠0}.
(2)根据题意得即
所以x>0且x≠1.
所以x的取值范围是{x|x>0,且x≠1}.
变式训练1-2:求下列各式中x的取值范围.
(1)lg(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).
解:(1)由(x+2)2>0
得x≠-2,
故x的取值范围是{x|x∈R且x≠-2}.
(2)由知
故x的取值范围是{x|-
对数式中要求真数大于0,底数不但要大于0,而且不能等于1.
[例1-3] 求下列各式中的x的值:
(1)log64x=-;(2)logx8=6;
(3)lg 100=x;(4)-ln e2=x.
解:(1)x=6=(43=4-2=.
(2)x6=8,所以x=(x6==(23== .
(3)10x=100=102,于是x=2.
(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2,
所以x=-2.
变式训练1-3:计算:(1)log927;(2)log81;(3)lo625.
解:(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=.
(2)设x=log81,则()x=81,=34,所以x=16.
(3)令x=lo625,所以()x=625,=54,所以x=3.
求对数式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤
(1)设logaN=m;
(2)将logaN=m写成指数式am=N;
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
对数的性质
[问题2] 已知a>0且a≠1,试把a1=a,a0=1改写成对数式;试问0和负数有对数吗 为什么
提示:a1=a logaa=1;a0=1 loga1=0;0和负数没有对数,这是因为ax>0.
知识点2:对数的性质
(1)负数和0没有对数.
(2)loga1=0.
(3)logaa=1.
[例2] 求下列各式中x的值.
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3)log3(log4(log5x))=0.
解:(1)因为log2(log5x)=0,
所以log5x=20=1,所以x=51=5.
(2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3,
所以x=103=1 000.
(3)由log3(log4(log5x))=0
可得log4(log5x)=1,
故log5x=4,所以x=54=625.
变式训练2-1:本例(3)中若将“log3(log4(log5x))=0”改为“log3(log4(log5x))=1”,又如何求解x呢
解:由log3(log4(log5x))=1可得log4(log5x)=3,
则log5x=43=64,所以x=564.
变式训练2-2:本例(3)中若将“log3(log4(log5x))=0”改为“=1”,又如何求解x呢
解:由=1可得log4(log5x)=1,
故log5x=4,所以x=54=625.
利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值,解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
对数恒等式
[问题3] 我们知道ax=N ①,如果把①改写成对数式为x=logaN ②,那么如果把②代入①能得到什么呢
提示:=N.
知识点3:对数恒等式
=N.
[例3] 求下列各式的值:
(1)·+;
(2)+102+lg 2+eln 3.
解:(1)因为=4,==,
=24·=16×5=80.
所以原式=4×+80=83.
(2)因为=5·=5×3=15,
102+lg 2=102·10lg 2=100×2=200,eln 3=3,
所以原式=15+200+3=218.
变式训练3-1:已知f(x)=2x,则f(2+log23)= .
解析:因为f(x)=2x,
所以f(2+log23)==22·=4×3=12.
答案:12
形如的式子可直接利用对数恒等式=N求解(此处a>0且a≠1,N>0).
基础巩固
知识点一:对数的概念
1.将()-2=9写成对数式,正确的是( B )
(A)log9=-2 (B)lo9=-2
(C)lo(-2)=9 (D)log9(-2)=
解析:lo9=-2.故选B.
2.使式子log(x-2)(-x2+x+6)有意义的x的取值范围是( B )
(A)(-2,3) (B)(2,3)
(C)[-2,3] (D)(2,3]
解析:由题意得解得23.已知lox=-1,则x= .
解析:lox=-1 x=(-1)-1==+1.
答案:+1
知识点二:对数的性质
4.下列各式:
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若log25x=,则x=±5.
其中正确的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:对于①,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以①正确;
对于②,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以②正确;
对于③,因为10=lg x,所以x=1010,所以③错;
对于④,因为log25x=,所以x=2=5.所以④错.故选B.
5.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为( A )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析:因为log2(log3x)=0,
所以log3x=1.所以x=3.
同理y=4,z=2.所以x+y+z=9.故选A.
知识点三:对数恒等式
6.计算:+2log31-3log77+3ln 1= .
解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
答案:0
能力提升
7.若log2(log0.5(log2x))=0,则x的值是( A )
(A) (B)2 (C) (D)1
解析:因为log2(log0.5(log2x))=0,所以log0.5(log2x)=1,所以log2x=
0.5,所以x=.故选A.
8.设f(x)=则f(f(-1))的值为( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:因为f(-1)=2e0=2,所以f(f(-1))=f(2)=log33=1.故选B.
9.(多选题)有以下四个结论,其中正确的有( AB )
(A)lg 2+lg 5=1 (B)ln(lg 10)=0
(C)若e=ln x,则x=e2 (D)ln(lg 1)=0
解析:A,B均正确;C中,若e=ln x,则x=ee,故C错误;D中,lg 1=0,而ln 0没有意义,故D错误.故选AB.
10.已知f(x)为单调函数且对任意实数x都有f(f(x)+)=,则f(log35)=( C )
(A) (B)
(C) (D)0
解析:由题存在唯一实数a,使得f(a)=,所以对任意实数x都有f(x)+=a,所以f(x)=-+a,f(a)=-+a=,所以a=1,所以
f(x)=-+1,所以f(log35)=-+1=.故选C.
11.已知x=log23,则= .
解析:由x=log23,得2x=3,所以2-x==,
所以23x=(2x)3=33=27,2-3x==,
所以====.
答案:
12.++的值为 .
解析:因为=(=(==2,
=(==3,=,
所以原式=6.
答案:6
13.求下列各式中x的值:
(1)log3(log2x)=0;
(2)log2(lg x)=1;
(3)=x.
解:(1)因为log3(log2x)=0,
所以log2x=1.
所以x=21=2.
(2)因为log2(lg x)=1,
所以lg x=2,
所以x=102=100.
(3)由题意得x===.
14.已知loga b=logb a(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1),求证:a=b或a=.
证明:设loga b=logb a=k,则b=ak,a=bk,
所以b=(bk)k=.
因为b>0且b≠1,
所以k2=1,即k=±1.
当k=-1时,a=;
当k=1时,a=b.
所以a=b或a=.
应用创新
15.设loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为( A )
(A)12 (B)16 (C)6 (D)18
解析:由指对互化公式可知am=2,an=3,
则a2m==4,a2m+n=a2m·an=4×3=12.故选A.§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
2.2 换底公式
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握对数的运算性质. 2.能运用运算性质进行化简、求值和证明. 3.了解对数的换底公式. 1.通过对数的运算性质的应用,培养数学运算素养. 2.通过对数的运算性质及换底公式的推导,培养逻辑推理素养.
对数的运算性质
[问题1] (1)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗
(2)计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律
提示:(1)因为log24=2,log28=3,log232=5,
所以log24+log28=log2(4×8)=log232;
log232-log28=log2=log24;
log232-log24=log2=log28.
(2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n.
知识点1:对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R则
(1)loga(M·N)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMb=blogaM.
[例1] 化简下列各式:
(1)4lg 2+3lg 5-lg ;
(2)2log32-log3+log38-;
(3)log2(1++)+log2(1+-).
解:(1)原式=lg
=lg(24×54)
=lg(2×5)4
=4.
(2)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3
=2log32-5log32+2+3log32-3
=-1.
(3)原式=log2[(1++)(1+-)]
=log2[(1+)2-()2]
=log2=.
变式训练1-1:计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;
(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.
解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.
(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2
=3(lg 2+lg 5)-2
=1.
(1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.
换底公式及导出公式
[问题2] (1)根据对数的定义,你能利用ln 2,ln 3的值求log23的值吗
(2)根据对数的定义,你能用以a为底的对数logaN,logab表示logbN吗(a>0,b>0,N>0,且a≠1,b≠1)
提示:(1)令log23=x,所以2x=3,所以ln 2x=ln 3,所以xln 2=ln 3,x=,即log23=.
(2)设logbN=x,那么bx=N,两边同时取以a为底的对数得xlogab=logaN,所以x=,即logbN=.
知识点2:换底公式及导出公式
(1)换底公式:logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
(2)logab=.
(3)logaN=loNn.
(4)logaN=loNn.
探究角度1 用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
解:因为2b=3,
所以b=log23,即log32=,
log1456==
===.
变式训练2-1:若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.
解:因为3b=2,所以b=log32,
又因为a=log37,所以log1456====.
变式训练2-2:本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.
解:因为log36=log33+log32=b,
所以log32=b-1.
又因为log37=a,
所以log1456==.
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
探究角度2 应用换底公式求值
[例3] 计算:(1)log1627·log8132;
(2).
解:(1)log1627·log8132=×=×=×=.
(2)原式=×=lo×lo9=×=×=-.
变式训练3-1:计算:(1)(log43+log83)·;
(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.
解:(1)原式=(+)·
=·+·
=+=.
(2)原式=·····
===3.
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.
对数性质的综合应用
[典例] 若a,b是正数,且3a=5b=c,比较3a与5b的大小.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:对数的概念,对数的运算性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,
所以3a-5b=3log3c-5log5c
=-=
=<0,所以3a<5b.
[素养演练] 已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125.
解:由lg 2=a,lg 3=b,可得log125====.
[例1] 计算:log29·log34;
解:由换底公式可得,
log29·log34=·=·=4.
[例2] 解对数方程:logx4+log2x=3.
解:由logx4+log2x=3,得2logx2+log2x-3=0,
令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.
当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
经检验x=2,x=4均符合题意,
故原方程的解为x=2或x=4.
基础巩固
知识点一:对数的运算性质
1.若ab>0,给出下列四个等式:
①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;③lg ()2=lg ;④lg(ab)=
.
其中一定成立的等式的序号是( D )
(A)①②③④ (B)①②
(C)③④ (D)③
解析:当a<0,b<0时,①②不成立,所以①②中的等式不一定成立;因为ab>0,所以>0,lg ()2=×2lg =lg ,所以③中等式一定成立;当ab=1时,lg(ab)=0,但logab10无意义,所以④中等式不一定成立.故选D.
2. log242+log243+log244等于( A )
(A)1 (B)2 (C)24 (D)
解析:原式=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.
3.已知a=log23,b=log25,则log415=( D )
(A)2a+2b (B)a+b
(C)ab (D)a+b
解析:log415=log215=(log23+log25)=a+b.故选D.
4.lg 2+= .
解析:lg 2+=lg 2+lg 5=lg 10=1.
答案:1
知识点二:换底公式
5.计算:log2·log3·log5= .
解析:原式=··==-12.
答案:-12
6.设a=log23,则4a= (用数值表示),= .
(用a表示)
解析:因为a=log23,所以4a===9.
=log436=log26=log2(2×3)=log22+log23=1+a.
答案:9 1+a
能力提升
7.已知2x=3,log2=y,则2x+y=( A )
(A)3 (B)4 (C)8 (D)9
解析:2x=3 x=log23,y=log2,所以2x+y=2log23+log2=log2(32×)=
log28=3.故选A.
8.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:log212=====.故选C.
9.2loga(2M-N)=logaM+logaN,则的值为( C )
(A) (B)4 (C)1 (D)或1
解析:由2loga(2M-N)=logaM+logaN,
可得loga(2M-N)2=logaMN,
其中2M-N>0,M>0,N>0,
则(2M-N)2=MN,整理得4M2-5MN+N2=0,
即4()2-+1=0,解得=1或=.
又因为2M-N>0,可得>,所以=1.故选C.
10.(多选题)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系式中的( ABD )
(A)ab>4
(B)a+b>4
(C)a2+b2<4
(D)(a+1)2+(b+1)2>16
解析:由题意知a=log315=1+log35,
b=log515=1+log53,
所以=+=log153+log155=1,
即a+b=ab.
因为a+b=2+log35+>2+2=4,
所以a+b=ab>4,
a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,
(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16.故选ABD.
11.已知5a=3,3b=2,则log510-ab= .
解析:因为5a=3,所以a=log53,同理b=log32.
所以ab=log53·log32=log53·=log52,
所以log510-ab=log510-log52=log5=log55=1.
答案:1
12.计算下列各式的值:
(1)lg 2+lg 50;
(2);
(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+.
解:(1)lg 2+lg 50=lg 100=lg 102=2.
(2)==×=2×=.
(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+=++lg 10-
1+=1+1-1+1=2.
13.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解:因为18b=5,所以log185=b.
所以log3645=====
=.
应用创新
14.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,试问是否存在一个正数P,使得P=
解:由2y·logy4-2y-1=0得
2y(logy4-)=0,所以logy4=,即y=16.
由·log5x=-1得=-,
则=-logx5>0.
(logx5+1)=(-logx5)2,
整理得2(logx5)2-logx5-1=0,
解得logx5=-(logx5=1舍去),所以=25.
所以P===3,
即存在一个正数P=3,使得P=成立.§3 对数函数
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的图象,通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质. 3.掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题. 4.了解反函数的概念,会求指数函数或对数函数的反函数. 1.通过对数函数的图象的学习,培养直观想象素养. 2.借助对数函数性质的应用,培养逻辑推理素养.
对数函数的概念
[问题1] 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗 那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧!
(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用t=loP(P为碳-14含量)估算出土文物或古遗址的年代t,那么t是P的函数吗 为什么
(2)函数t=loP的解析式与函数y=log2x的解析式有什么共同特征
提示:(1)t是P的函数,因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f:t=loP,都有唯一的值与之相对应,故t是P的函数.
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
知识点1:对数函数的概念
对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.
习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数,称对数函数x=logay(a>0,且a≠1)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数.
[思考1-1] 函数y=2log3x,y=log3(2x)是对数函数吗
提示:不是,其不符合对数函数的形式.
[思考1-2] 指数函数y=ax的定义域和值域与对数函数y=logax的定义域和值域有什么关系
提示:对数函数y=logax的定义域是指数函数y=ax的值域;对数函数y=logax的值域是指数函数y=ax的定义域.
[例1] 下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=logax2(a>0,且a≠1);③y=lox;④y=log3x;⑤y=logx(x>0,且x≠1);⑥y=lox.其中是对数函数的为( )
(A)③④⑤ (B)②④⑥
(C)①③⑤⑥ (D)③⑥
解析:由对数函数定义知,③⑥是对数函数.故选D.
变式训练1-1:下列函数中对数函数的个数是( )
①y=logax;②y=lg x;③y=ln |x|;④y=log2x2.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①中没有说明a的取值范围,因此不一定是对数函数;②是对数函数,该函数的底数是10,自变量为x,且定义域为(0,+∞);③中函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因此不是对数函数;④中y=log2x2可由对数的运算性质化为y=log2|x|,因此不是对数函数.故只有②是对数函数.故选A.
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
对数函数的图象与性质
[问题2] (1)指数函数y=ax的定义域和值域分别是什么
(2)我们知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象之间有什么关系 你能根据两者之间的关系说出对数函数y=logax的定义域和值域吗
(3)指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),对数函数y=logax的图象恒过哪个定点
提示:(1)指数函数y=ax的定义域和值域分别是R,(0,+∞).
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象关于直线y=x对称;对数函数y=logax的定义域和值域分别是(0,+∞),R.
(3)对数函数y=logax的图象恒过定点(1,0).
知识点2:对数函数的图象与性质
我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:
定义 y=logax(a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞) 上单调递减
共点性 图象过点(1,0),即loga1=0
函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=log3x2;
(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1);
(3)y=;
(4)y=log7.
解:(1)因为x2>0,即x≠0.
所以函数y=log3x2的定义域为{x|x≠0}.
(2)因为4-x>0,即x<4.
所以函数y=loga(4-x)(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x<4}.
解:(3)因为x>0,且lg x≠0,
所以x>0且x≠1.
所以函数y=的定义域为{x|x>0且x≠1}.
(4)因为>0,所以1-3x>0,即x<.
所以函数y=log7的定义域为.
变式训练2-1:求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+ln(x+1).
解:(1)要使函数f(x)有意义,则lox+1>0,即lox>-1,解得0(2)函数式若有意义,需满足
即解得-1求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
提醒:定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1.
对数函数的图象特征及识别
[问题3] 如图,曲线C1,C2,C3,C4分别对应y=lox,y=lox,y=lox,y=lox的图象,你能指出a1,a2,a3,a4以及1的大小关系吗
提示:作直线y=1,它与各曲线C1,C2,C3,C4的交点的横坐标就是各对数的底数,由此可判断出各底数的大小,即a4>a3>1>a2>a1>0.
[例3] 如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则( )
(A)0(B)0(C)a>b>1
(D)b>a>1
解析:作直线y=1,则直线与曲线C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0变式训练3-1:(1)函数f(x)=log2的图象的大致形状是( )
(2)若lg a+lg b=0(a≠1,b≠1),则函数f(x)=logax与g(x)=logbx的图象( )
(A)关于直线y=x对称 (B)关于x轴对称
(C)关于y轴对称 (D)关于原点对称
解析:(1)由于f(x)=log2=log2|x|,所以函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),且当x>0时,f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,又函数是偶函数,所以函数图象关于y轴对称.故选D.
解析:(2)由lg a+lg b=0,得b=,所以g(x)=logbx=lox=-logax,所以函数f(x)与g(x)的图象关于x轴对称.故选B.
有关对数型函数图象问题的求解技巧
(1)求函数y=logaf(x)+m(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点坐标为(x,m).
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可得底数的大小.
对数(型)函数的图象及变换作图
[典例] f(x)=|log2(x+1)|+2,试作出其图象.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:对数函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,直观想象能力.
学科素养:逻辑推理,直观想象.
解:第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示.
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示.
第三步:将y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,即得到所求的函数图象,如图(4)所示.
[素养演练] 已知f(x)=loga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数f(x)的图象.
解:因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5,
故f(x)=log5|x|=
所以函数y=log5|x|的图象如图所示.
函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
[例1] 函数f(x)=loga(x+b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=ax-b的图象可能是( )
解析:根据图象是递减的,可得0[例2] 已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1(A)[-1,0] (B)[-1,0)
(C)(-1,0] (D)(-1,0)
解析:作出f(x)的图象如图所示.
由图可知,若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1则-2且x1f(x2)=x1f(x1)=x1(x1+2)=+2x1,
令g(x1)=+2x1,-2二次函数g(x1)在(-2,-1)上单调递减,
在(-1,0]上单调递增,
又g(-2)=0=g(0),g(-1)=-1,
所以g(x1)∈[-1,0],
即x1f(x2)∈[-1,0].故选A.
基础巩固
知识点一:对数函数的概念
1.下列函数表达式中,是对数函数的有( B )
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:①②⑤⑥⑦不符合对数函数的定义,③④符合对数函数的定义.故选B.
2.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )
(A)-log23 (B)-log32
(C) (D)
解析:由y=3x,x=log3y得其反函数f(x)=log3x,
所以f()=log3=-log32.故选B.
知识点二:对数函数的图象与性质
3.函数f(x)=loga(x-1)+5(a>0,且a≠1)的图象一定经过点( B )
(A)(1,5) (B)(2,5) (C)(2,6) (D)(0,6)
解析:当x-1=1,即x=2时,f(2)=loga1+5=5,
即函数f(x)的图象一定经过点(2,5).故选B.
4.函数y=的定义域为( C )
(A)(-∞,] (B)(,)
(C)(,] (D)[,+∞)
解析:由得5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( D )
(A)a>1,c>1
(B)a>1,0(C)01
(D)0解析:由图可知,y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移|c|个单位长度而得到的,其中06.已知函数f(x)= 直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
解析:画出f(x)的图象如图所示.
要满足题意,只需a∈(0,1].
答案:(0,1]
能力提升
7.函数y=的定义域是( A )
(A)(-1,3) (B)(-1,3]
(C)(-∞,3) (D)(-1,+∞)
解析:由解得-18.函数f(x)=log2|2x-4|的图象为( A )
解析:按照流程f(x)=log2xf(x)=log2x+1=log22xf(x)=
log2|2x|f(x)=log2|2x-4|.
①图象向上平移1个单位长度;
②在y轴左边画与y轴右边对称的图象;
③图象向右平移2个单位长度.故选A.
9.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( A )
(A)0(B)0(C)0(D)0解析:由图易得a>1,所以0以-110.(多选题)已知函数f(x)=|log2x|的值域是[0,2],则其定义域可能是( BC )
(A)[,4] (B)[,4]
(C)[,2] (D)[,2]
解析:由题得0≤|log2x|≤2,
得-2≤log2x≤2,≤x≤4,
定义域包含x=1以及至少一个边界点.故选BC.
11.已知函数f(x)=log3(ax+),若f(1)=2,则f()= .
解析:因为f(1)=2,所以log3(a+1)=2,
解得a=8,
函数f(x)=log3(8x+),
从而f()=log3(8×+8)=2.
答案:2
12.已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是 .
解析:当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,
则|f(x)|≥ax恒成立等价于ln(x+1)≥ax恒成立,
函数y=ln(x+1)的图象如图,
由图可知a≤0;
当x≤0时,f(x)=-x2+x≤0,
所以|f(x)|≥ax恒成立等价于x2-x≥ax恒成立,
即a≥x-1在x≤0上恒成立,
所以a≥-1,综上所述,-1≤a≤0.
答案:[-1,0]
13.若函数y=loga(x+a)(a>0,且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值;
(2)求函数的定义域.
解:(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0,且a≠1)中,有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,
解得x>-2,
所以函数的定义域为{x|x>-2}.
14.当m为何值时,关于x的方程|log2(x-1)|=m无解 有一解 有两解
解:在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=|log2(x-1)|和y=m的图象,如图所示.
由图象得当m<0时,方程无解;
当m=0时,方程有一解;
当m>0时,方程有两解.
应用创新
15.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.
解:由x2-logmx<0,得x2要使x2因为x=时,y=x2=,
所以只要x=时,y=logm≥=logm,
所以≤,即≤m.
又0即实数m的取值范围是[,1).3.4 对数函数的图象和性质的应用(习题课)
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握对数函数的性质及应用. 2.在解决简单实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型. 借助对数函数图象及性质的应用,培养逻辑推理及数学运算素养.
对数函数的单调性及应用
探究角度1 利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(1)lo0.2与log20.8;
(2)log43与log0.250.5;
(3)log3与log5;
(4)log1.11.7与log0.21.7.
解:(1)lo0.2=lo=log25.
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以log25>log20.8.
所以lo0.2>log20.8.
(2)因为log0.250.5=lo=log42所以log43>log0.250.5.
(3)log3=log32-log33=log32-1,
log5=log56-1.
因为log56>log33=1>log32,
所以log56>log32,所以log32-1所以log3(4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7所以log1.11.7>log0.21.7.
变式训练1-1:比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln 2,ln 0.9;
(2)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1);
(3)log67,log76;
(4)log3π,log20.8.
解:(1)函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,
因为2>0.9,所以ln 2>ln 0.9.
(2)当0因为5.1<5.9,
所以loga5.1>loga5.9.
当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,
因为5.1<5.9,
所以loga5.1(3)因为log67>log66=1,log76所以log67>log76.
(4)因为log3π>log31=0,log20.8所以log3π>log20.8.
比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数)
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数)
①在同一坐标系中作y=logax与y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同)
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
探究角度2 对数不等式的解法
[例2] 已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2,则实数a的取值范围是 ;不等式loga(3x+1)解析:①因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,即3a<3,所以a<1,即0所以实数a的取值范围是(0,1).
②由①得0所以即
解得即不等式的解集为(,).
答案:(0,1) (,)
变式训练2-1:若对数函数y=f(x)的图象过点(4,2),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 .
解析:设f(x)=logax(a>0且a≠1),
因为f(4)=2,所以loga4=2,所以a=2.
所以f(x)=log2x,所以f(2x-3)>f(x)
log2(2x-3)>log2x x>3,
所以原不等式的解集为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
探究角度3 复合型对数函数的单调性
[例3] (1)函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是 ;
(2)讨论函数f(x)=loga(3x-1)的单调性.
(1)解析:由-x2+2x+3>0得-1设u(x)=-x2+2x+3,
则u(x)在区间(-1,1]上单调递增,
在区间[1,3)上单调递减.
又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].
答案:(-1,1]
(2)解:由3x-1>0,得函数的定义域为{x|x>}.
当a>1时,函数f(x)=loga(3x-1)在(,+∞)上单调递增.
当0变式训练3-1:若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为( )
(A)[,3] (B)[,2]
(C)[,2) (D)[,+∞)
解析:由-x2+4x+5>0,即x2-4x-5<0,
解得-1一元二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为直线x=2.
由复合函数单调性可得函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
则(3m-2,m+2) (2,5),即
解得≤m<2,故选C.
解决对数型复合函数单调性问题的思路
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)型.
①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
对数(型)函数的值域与最值问题
[例4] (1)函数f(x)=log2(x2-2x+3),x∈[0,3]的值域为( )
(A)[1,1+log23] (B)[log23,1+log23]
(C)[1,2] (D)[1+log23,+∞)
(2)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),x∈[,4]的值域为 .
解析:(1)令t=x2-2x+3,x∈[0,3],
所以t∈[2,6]时,f(t)=log2t∈[1,1+log23].故选A.
解析:(2)令t=log2x,
当x∈[,4]时,-2≤t≤2,
f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log2x+log24)(log2x+log22)=(t+2)(t+1),
令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2,
函数g(t)在区间[-2,-)上单调递减,
在区间(-,2]上单调递增,
所以g(t)min=-,
又g(-2)=0,g(2)=12,
所以g(t)max=g(2)=12,
即-≤g(t)≤12.
因此,函数f(x)的值域为[-,12].
答案:(1)A 答案:(2)[-,12]
变式训练4-1:(1)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )
(A)(-2,4) (B)[-2,4)
(C)(-∞,-2] (D){-2}
(2)已知函数g(x)=tx-2+2(t>0,t≠1)的图象过定点(a,b),则函数f(x)=logb(-ax2+2ax+7)在区间[-1,2]上的值域为( )
(A)[0,1] (B)[1,2]
(C)[0,2] (D)[1,3]
解析:(1)x≥1时,y=log3x≥0,
又因为f(x)的值域为R,则x<1时,
f(x)=(4-a)x+3a的值域包含(-∞,0),
所以解得-2≤a<4.故选B.
(2)由题意知a=2,b=3,所以函数f(x)=log3(-2x2+4x+7),令m=-2x2+4x+7,x∈[-1,2],则m∈[1,9],所以函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[0,2].故选C.
(1)对数函数的值域为(-∞,+∞).
(2)求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logau(a>0且a≠1),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=logau(a>0且a≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(logax)(a>0且a≠1)型复合函数的值域.
对数函数的实际应用
[例5] 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少过滤几次才能使产品达到市场要求
解:设过滤n次,依题意,得·()n≤,即()n≤.则n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),故n≥≈7.4,又n∈N,故n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.
变式训练5-1:抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽 次(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
解析:设至少抽n次,由题意得()n<0.1%,即nlg ≈7.5,则至少要抽8次.
答案:8
对数函数的综合应用
[典例]已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)证明:f(x)为偶函数;
(3)求关于x的不等式f(x)≥loga(x2+x)的解集.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:对数函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
(1)解:因为f(x)=loga(1+x)+loga(1-x),
所以解得-1故f(x)的定义域为(-1,1).
(2)证明:因为f(x)的定义域为(-1,1),关于坐标原点对称,
f(-x)=loga(1-x)+loga(1+x)=f(x),
故f(x)为偶函数.
(3)解:f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)=
loga(1+x)(1-x)=loga(1-x2),
f(x)≥loga(x2+x),
即loga(1-x2)≥loga(x2+x).
①当0即解得≤x<1;
②当a>1时,loga(1-x2)≥loga(x2+x),
即解得0综上所述,当0当a>1时,f(x)≥loga(x2+x)的解集为(0,].
[素养演练] 已知函数f(x)=log2 021(a>0,b>0)在其定义域内是奇函数.
(1)求a,b的值及函数的定义域;
(2)证明f(x)的单调性(要求用定义证明).
(1)解:由f(x)=log2 021(a>0,b>0)为奇函数,
得f(x)+f(-x)=log2 021+
log2 021=log2 021=0,
所以=1,即1-x2=a2-b2x2恒成立,
结合a>0,b>0,得a=b=1,
此时f(x)=log2 021,由>0,得-1(2)证明:设x1f(x1)-f(x2)=log2 021-log2 021=
log2 021(·).
又因为·-1
=
=.
因为x10.
又因为-1所以1-x2>0,1+x1>0.
所以·>1,
所以log2 021·>0,
所以f(x1)-f(x2)>0.
所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减.
[例1] (1)若函数y=log2(mx2-2mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是 ;
(2)若函数y=log2(mx2-2mx+3)的值域为R,则实数m的取值范围是 ;
(3)函数f(x)=lo(x2+2x-3) 的定义域是 ,单调递增区间是 .
解析:(1)由题意知mx2-2mx+3>0恒成立,当m=0时,3>0,符合题意;
当m≠0时,只需
解得0(2)由于函数的值域为R,所以函数y=mx2-2mx+3的值能取遍大于0的任意实数.显然m≠0,此时只需满足
解得m≥3.
解析:(3)函数f(x)=lo(x2+2x-3),由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
即定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).
t=x2+2x-3在(-∞,-3)上单调递减,
在(1,+∞)上单调递增,
又y=lot在(0,+∞)上单调递减,
因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3).
答案:(1)[0,3) (2)[3,+∞)
(3)(-∞,-3)∪(1,+∞) (-∞,-3)
[例2] 解下列方程与不等式.
(1)lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1;
(2)log2x解:(1)由lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1,
得lg(x2+4x-26)=lg 10(x-3),
所以x2+4x-26=10(x-3),即x2-6x+4=0,
解得x=3±.
因为x2+4x-26>0,且x-3>0,
所以x=3+.
(2)由log2x解得x>4,所以不等式的解集为(4,+∞).
[例3] 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若f(log4x·log2)+f(4-2a)>0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)==0,
可得n=1,所以函数f(x)=.
解:(2)由(1)知f(x)==-·=-+.
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
由f(log4x·log2)+f(4-2a)>0,
得f(log4x·log2)>-f(4-2a).
因为函数f(x)是奇函数,
所以f(log4x·log2)>f(2a-4),
所以log4x·(3-log2x)<2a-4,
整理得log2x·(3-log2x)<2a-4,
设t=log2x,t∈R,则(3t-t2)<2a-4,
当t=时,y=(3t-t2)有最大值,最大值为.
所以2a-4>,即a>.
即实数a的取值范围为(,+∞).
基础巩固
知识点一:对数函数的单调性及应用
1.设a=log32,b=log52,c=log23,则( D )
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)c>b>a (D)c>a>b
解析:a=log32log22=1,由对数函数的性质可知log522.函数y=ln(x2-3x-4)的单调递增区间是( D )
(A)(-1,1] (B)(-∞,-1)
(C)(-1,4) (D)(4,+∞)
解析:由题得x>4.故选D.
3.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是 .
解析:原不等式等价于或
解得01,故实数a的取值范围为(0,)∪(1,+∞).
答案:(0,)∪(1,+∞)
知识点二:对数函数的值域与最值
4.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( A )
(A)(0,+∞) (B)[0,+∞)
(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)
解析:因为3x>0,所以3x+1>1,所以log2(3x+1)>0,所以函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A.
5.若函数f(x)=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是( C )
(A)(0,1) (B)(0,1)∪(1,2)
(C)(1,2) (D)[2,+∞)
解析:由函数y=x2-ax+1无最大值,有最小值,且函数f(x)=loga
(x2-ax+1)有最小值,可得得1知识点三:对数函数的实际应用
6.世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是
(参考数据:lg 2≈0.301,100.007 5≈1.017).
解析:设原来人口为a,每年人口平均增长率是x,
则a(1+x)40=2a,(1+x)40=2,
两边取常用对数得40lg(1+x)=lg 2,
lg(1+x)=≈≈0.007 5,
则1+x=100.007 5≈1.017,x≈0.017=1.7%.
答案:1.7%
能力提升
7.若loga(a2+1)(A)(0,1) (B)(,1)
(C)(0,) (D)(1,+∞)
解析:由题意得a>0且a≠1,
所以a2+1-2a=(a-1)2>0,
即a2+1>2a.
因为loga(a2+1)所以解得8.若关于x的不等式4x-logax≤在x∈(0,]上恒成立,则实数a的取值范围是( A )
(A)[,1) (B)(0,]
(C)[,1) (D)(0,]
解析:由题意知关于x的不等式4x-≤logax在x∈(0,]上恒成立,
所以当x∈(0,]时,函数y=4x-的图象不在y=logax的图象的上方,
由图可知解得≤a<1.故选A.
9.(多选题)在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理,简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是( BD )
(A)f(x)=x+1 (B)f(x)=-x,x>0
(C)f(x)=x2-x+3 (D)f(x)=lox
解析:对于A,当x0+1=x0时,该方程无解,故A不满足;
对于B,当-x0=x0,x0>0时,解得x0=,故B满足;对于C,当-x0+3=x0,即+2=0时,无实数根,故C不满足;对于D,画出f(x)=lox与y=x的图象,显然有交点,即存在一个点x0,使得f(x0)=x0,故D满足.故选BD.
10.函数f(x)=ln (a≠2)为奇函数,则实数a等于 .
解析:依题意有f(-x)+f(x)=ln +ln =0,即·=1,故1-a2x2=1-4x2,解得a2=4,但a≠2,故a=-2.
答案:-2
11.函数y=lo(1-x2)的单调递增区间为 ,最小值为 .
解析:要使y=lo(1-x2)有意义,则1-x2>0,
所以x2<1,则-1令t=1-x2,x∈(-1,1).
当x∈(-1,0]时,t(x)单调递增,y=lot单调递减,
所以当x∈(-1,0]时,函数y=lo(1-x2)单调递减;
同理当x∈[0,1)时,函数y=lo(1-x2)单调递增.
故函数y=lo(1-x2)的单调递增区间为[0,1),且函数的最小值ymin=lo(1-02)=0.
答案:[0,1) 0
12.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x).
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性.
解:(1)要使函数有意义,则解得-3(2)由(1)可知,函数y=f(x)的定义域为(-3,3),关于坐标原点对称.
对任意x∈(-3,3),-x∈(-3,3).
因为f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),
所以由函数奇偶性可知,函数y=f(x)为偶函数.
13.已知函数y=(log2x-2)(log4x-),2≤x≤8.
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(2)求该函数的值域.
解:(1)y=(log2x-2)(log4x-)
=(log2x-2)(log2x-),
令t=log2x,得y=(t-2)(t-1)=t2-t+1,
又2≤x≤8,
所以1=log22≤log2x≤log28=3,即1≤t≤3.
(2)由(1)得y=(t-)2-,
1≤t≤3,结合二次函数的图象与性质可得,
当t=时,ymin=-;
当t=3时,ymax=1,
所以-≤y≤1,
即函数的值域为[-,1].
应用创新
14.已知函数f(x)=log3为奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并用定义证明;
(3)设t=|2x-1|+1(x<1),n=f(t),求实数n的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)的定义域关于原点
对称.
又因为函数f(x)的定义域为{x|(x+2)(x-m)<0}.
所以m>0且函数f(x)的定义域为(-2,m),
所以m=2.
此时f(-x)=log3=-log3=-f(x),
所以m=2符合题意.
(2)函数f(x)在定义域上单调递减,
证明:设x1所以f(x1)-f(x2)=log3-log3
=log3(·).
又因为·-1
=
=,
且x10.
又因为-2所以2-x2>0,2+x1>0.
所以·>1,
所以log3(·)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0.
所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减.
(3)因为t=|2x-1|+1=
所以t=|2x-1|+1在(-∞,0]上单调递减,
在(0,1)上单调递增,
所以t=|2x-1|+1在(-∞,1)上的取值范围为[1,2).
又因为函数f(x)在(-2,2)上单调递减,
所以n=f(t)在[1,2)上的取值范围为(-∞,-1],
即实数n的取值范围为(-∞,-1].§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
核心知识目标 核心素养目标
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养.
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
[问题] 观察如表给出的函数值:
x f(x)=2x g(x)=x2 h(x)=log2x
1 2 1 0
2 4 4 1
3 8 9 1.585 0
4 16 16 2
5 32 25 2.321 9
6 64 36 2.585 0
7 128 49 2.807 4
8 256 64 3
(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势
(2)函数f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同
提示:(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值增大.
(2)各函数增长的速度不同,其中f(x)=2x增长得最快,其次是g(x)=x2,最慢的是h(x)=log2x.
知识点: 三种函数的增长趋势
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞) 上的增减性 增函数
图象的变 化趋势 随x增大,近似与y轴平行 随x增大,近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快
增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度越来越快,并且当a越大时,y=ax增长的速度越快.随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度. ②随x增大,y=logax增长速度越来越慢,并且当a越大时,y=logax增长速度越慢. ③存在一个x0,当x>x0时,有ax>xα>logax
[例1] (1)下列函数中,增长速度最快的是( )
(A)y=2 021x (B)y=x2 021
(C)y=log2 021x (D)y=2 021x
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是 .
解析:(1)指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,增长速度最快,故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化.
答案:(1)A (2)y2
变式训练1-1:三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
(A)y1,y2,y3 (B)y2,y1,y3
(C)y3,y2,y1 (D)y3,y1,y2
解析:由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较,可知指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数,故选C.
几类增长速度不同的的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.
一次函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 021),g(2 021)的大小.
解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)因为f(1)>g(1),f(2)f(13)g(14),
所以1所以x1<6x2.
从题图可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),
所以f(2 021)>g(2 021).
又g(2 021)>g(6),
所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6).
变式训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)以两个图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.
[典例] 某汽车制造商在2021年初公告:公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:
年份/年 2018 2019 2020
年产量/万辆 8 18 30
如果我们分别将2018,2019,2020,2021定义为第一、二、三、四年,现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系
试题情境:课程学习情境.
必备知识:指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,抽象概括能力,运算求解能力.
学科素养:数学抽象,数学建模,数学运算.
解:建立年产量y与年份x的函数,
可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将点坐标代入,可得
解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,
故f(4)=44,与计划误差为1.
②指数函数模型
g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
将点坐标代入,可得
解得a=,b=,c=-42,
则g(x)=×()x-42,
故g(4)=×()4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由①②可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
[素养演练] 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102 kg)与上市时间x(单位:天)的数据如表:
时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.
解:(1)由表格中数据可知,种植成本不是常数函数,
所以a≠0,而此时y=ax+b,y=a·bx,y=alogax均为单调函数,与表中数据不符,因此满足条件的函数模型为y=ax2+bx+c,将三组数据代入得得
所以描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系的函数为y=x2-x+.
(2)当x=150时,ymin=100(元/102 kg).
即西红柿种植成本最低时的上市天数是150天,最低种植成本是100元/102 kg.
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
[例1] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 020),g(2 020)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)f(10)>g(10),
所以1所以x1<6x2.
从图象上可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),
所以f(2 020)>g(2 020).
又因为g(2 020)>g(6),
所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
[例2] 某公司为了实现2021年1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.
(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件;
(2)现有三个奖励模型:y=1.003x,y=lg x+2,y=,问其中是否有模型能完全符合公司的要求 说明理由.(参考数据:1.003600≈6)
解:(1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
解:(2)对于y=1.003x,易知满足①;但当x>600时,y>6,不满足公司的要求.
对于y=lg x+2,易知满足①,当x∈[10,1 000]时,y≤lg 1 000+2=5,
所以满足②,
但lg 10+2=3>,所以不满足③,不满足公司的要求.
对于y=,易知满足①,当x∈[10,1 000]时,y≤=5,所以满足②,
又x∈[10,1 000]时,y=≤=≤,由此可知满足③.
综上所述,只有奖励模型y=能完全符合公司的要求.
基础巩固
知识点一:函数模型增长的比较
1.当a>1,x>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( B )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
解析:a>1时,指数函数与对数函数均为增函数,且a越大,指数函数增长的越快,对数函数增长的越慢,即①④正确.故选B.
2.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2(A)y1>y2>y3 (B)y2>y1>y3
(C)y1>y3>y2 (D)y2>y3>y1
解析:三个函数图象如图所示.
故选B.
3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,给出下列四种说法:
①前三年中产量增长的速度越来越快;
②前三年中产量增长的速度越来越慢;
③第三年后这种产品停止生产;
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是 .
解析:由t∈[0,3]的图象,联想到幂函数y=xa(0答案:②③
知识点二:函数模型的选择
4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )
(A)一次函数 (B)二次函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数
解析:由于一次函数增长速度不变,二次函数、指数函数的增长越来越快,只有对数函数的增长符合.故选D.
5.有一组试验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( C )
(A)y=logax(a>1) (B)y=ax+b(a>1)
(C)y=ax2+b(a>0) (D)y=logax+b(a>1)
解析:通过所给数据可知y随x的增大而增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.故选C.
能力提升
6.四个函数在第一象限中的图象如图所示,a,b,c,d所表示的函数可能是( C )
(A)a:y=2x,b:y=x2,c:y=,d:y=2-x
(B)a:y=x2,b:y=2x,c:y=2-x,d:y=
(C)a:y=x2,b:y=2x,c:y=,d:y=2-x
(D)a:y=ax,b:y=x2,c:y=2-x,d:y=
解析:a,c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数.b,d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.故选C.
7.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量C与时间t的函数关系的图象是( A )
解析:注意以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.故选A.
8.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( C )
(A)y=100x
(B)y=50x2-50x+100
(C)y=50×2x
(D)y=100log2x+100
解析:对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数模型误差最小.故选C.
9.函数y=2x-x2的图象大致是( A )
解析:由y=2x,y=x2的图象可知(图略),两函数图象有3个交点,所以函数y=2x-x2的图象与x轴有3个交点,故排除B,C;当x<-1时,y<0,故排除D.故选A.
10.若已知16解析:作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
由图象可知,在(0,4)内,>log2x;
x=4或x=16时,=log2x;
在(4,16)内,log2x.
答案:>log2x
11.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表(注:地震强度是指地震时释放的能量):
地震强度 x/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级 y/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值为 .(取lg 2=0.3进行计算)
解析:由模拟函数及散点图得
两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,
即alg 2=0.2,解得a=.
答案:
12.某地区在某年1、2、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测之后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=p·qx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4、5、6月的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好
解:令y1=ax2+bx+c,
依题意,得
即
解得
所以甲:y1=x2-x+52,
令y2=p·qx+r.
又
②-①,得p·q2-p·q1=2,④
③-②,得p·q3-p·q2=4,⑤
⑤÷④,得q=2.
将q=2代入④式,得p=1.
将q=2,p=1代入①式,得r=50,
所以乙:y2=2x+50.
当x=4时,y1=64,y2=66;
当x=5时,y1=72,y2=82;
当x=6时,y1=82,y2=114.
所以乙选择的模型较好.
应用创新
13.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案
解:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y=40(x∈N+)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N+)进行描述;方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N+)进行描述.要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析.
画出三个函数的图象,如图所示.
由图可知方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.
可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看,在第1～3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5～8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.
下面再看累计的回报数.列表如下:
天数 回报/元 方案 1 2 3 4 5
一 40 80 120 160 200
二 10 30 60 100 150
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4
天数 回报/元 方案 6 7 8 9 10 11
一 240 280 320 360 400 440
二 210 280 360 450 550 660
三 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此,投资1～6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资8～10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,应选择方
案三.章末总结
题型一 对数的运算
[例1] (1)求值:lg -lg +lg ;
(2)已知2lg =lg x+lg y,求lo.
解:(1)原式=(lg 32-lg 49)-lg +lg 24
=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+lg 7+lg 5
=lg 2+lg 5-2lg 2
=(lg 10-lg 5)+lg 5=.
解:(2)由已知得lg()2=lg xy,
所以()2=xy,即x2-6xy+y2=0.
所以()2-6()+1=0.
所以=3±2.
因为所以>1,
所以=3+2,
所以lo=lo(3+2)=
lo=-1.
跟踪训练1-1:log2.56.25+lg +ln +的值是( )
(A) (B) (C) (D)
解析:原式=2-3++6=.故选B.
跟踪训练1-2:设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )
(A)+1 (B)+1
(C)+2 (D)+2
解析:log318====+2.故选C.
跟踪训练1-3:求值:2lg 5+lg 4+= .
解析:原式=2lg 5+2lg 2+(23=2(lg 2+lg 5)+22=2+4=6.
答案:6
对数式的化简与求值的两种思路
(1)利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式,然后正用对数运算法则化简.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
题型二 对数函数的图象及其应用
[例2] (1)函数f(x)=ln(|x|-1)的大致图象是( )
(2)函数f(x)=()x与g(x)=-log2x的大致图象是( )
解析:(1)函数f(x)=ln(|x|-1)中,令|x|-1>0得定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),且f(-x)=ln(|-x|-1)=ln(|x|-1)=f(x),即f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,当x∈(1,+∞)时,f(x)=ln(|x|-1)=ln(x-1),图象可由y=ln x的图象向右平移1个单位长度得到(如图所示).
再关于y轴对称得到x∈(-∞,-1)时的图象,即函数图象为选项C中的图象.故选C.
解析:(2)因为函数f(x)=()x是减函数,其图象过点(0,1),函数g(x)=-log2x是减函数,其图象过点(1,0),
所以A选项中的函数图象符合题意.故选A.
跟踪训练2-1:函数f(x)=+ln x2的图象可能是( )
解析:由x∈(-∞,0)∪(0,+∞),排除A;又f(x)为非奇非偶函数,排除C;又当x∈(-∞,0)时f(x)=-1+2ln(-x)为减函数,排除D.故选B.
跟踪训练2-2:已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围为 .
解析:函数f(x)的图象如图.
设f(a)=f(b)=f(c)=m,
不妨设a所以f(a)=|ln a|=-ln a,f(b)=|ln b|=ln b.
所以-ln a=ln b,ln a+ln b=0,ln ab=ln 1,
所以ab=1.
所以abc=c∈(e,e2).
答案:(e,e2)
函数的图象直观形象地显示了函数的性质,利用数形结合思想,使问题简单化.
题型三 比较大小
[例3] (1)设a=ln ,b=log2 020,c=,则( )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>b>a (D)c>a>b
(2)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)内的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(ln ),b=f(log43),c=f(0.41.2),则a,b,c的大小关系是 .
解析:(1)因为ln 1因为log2 020因为>20=1,即c>1,所以c>a>b.故选D.
解析:(2)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)内的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,且a=f(ln )=f(-ln 3)=f(ln 3).
因为ln 3>ln e=1,=log42故f(0.41.2)>f(log43)>f(ln 3),即c>b>a.
答案:(1)D (2)c>b>a
跟踪训练3-1:可知a=,b=log4,c=lo,则( )
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)c>b>a
解析:01,b=log4a>b.故选C.
跟踪训练3-2:已知函数f(x)=ln x+x2,a=f(0.23),b=f(0.32),
c=f(log0.30.2),则( )
(A)a(C)a解析:易知f(x)=ln x+x2为(0,+∞)上的增函数,
0.23=0.008,0.32=0.09,log0.30.2>log0.30.3=1,
0.23<0.32故a对数函数大小比较的一般规律
(1)当底数相同时,用对数函数的性质直接比较;
(2)当底数不同,真数相同时,用图象作比较;
(3)当底数和真数都不相同时,常找一个“中间量”统一底数或真数,常用“0”或“1”作为中间量.
题型四 对数函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值
解:(1)由ax-bx>0得()x>1,且a>1>b>0,得>1,所以x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)任取x1>x2>0,a>1>b>0,
则ax1>ax2,bx1所以ax1-bx1>ax2-bx2>0,
即lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.
假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.
故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点使过这两点的直线平行于x轴.
(3)因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).
这样只需f(1)=lg(a-b)≥0,
即当a≥b+1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
跟踪训练4-1:已知函数f(x)=lg(1+2x)-lg(1-2x).
(1)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(2)解不等式f(x)>0.
解:(1)函数y=f(x)的定义域为(-,),
关于原点对称,
因为f(-x)=lg(1-2x)-lg(1+2x)=-f(x),
所以函数y=f(x)是奇函数.
解:(2)因为f(x)>0,即lg(1+2x)-lg(1-2x)>0,
lg(1+2x)>lg(1-2x),
所以1+2x>1-2x,且-解得0所以所求不等式的解集为{x|0跟踪训练4-2:设函数f(x)=.
(1)解不等式f(x)->0;
(2)若x∈[1,9],求函数f(x)的最大值.
解:(1)令t=log3x,则原式变为y=,t∈R,对于t2-t+2,其Δ<0,所以t2-t+2的值恒大于零,
所以f(x)->0,等价于t2-3t+2<0,
解得t∈(1,2),
所以log3x∈(1,2),x∈(3,9),
所以不等式的解集为(3,9).
解:(2)当x∈[1,9]时,由(1)中换元得t∈[0,2].
当t=0时,f(t)=0;
当t∈(0,2]时,f(t)==,因为t+-1≥2-1,当且仅当t=时取等号,
所以f(t)的最大值为f()=,经检验满足题意.
综上所述,f(x)的最大值为.
对数函数是使用频率非常高的基本初等函数,它们经过加、减、乘、除、复合、分段,构成我们以后研究的函数,使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的对数函数来研究.
题型一 对数的运算
1.(2018·全国Ⅲ卷T12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( B )
(A)a+b(C)a+b<0解析:因为a=log0.20.3>log0.21=0,
b=log20.3所以ab<0.
因为=+=log0.30.2+log0.32=
log0.30.4,
所以1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0,
所以0<<1,
所以ab2.(2018·全国Ⅰ卷T13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= .
解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,
所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.
答案:-7
3.(2015·浙江卷T9)计算:log2= ,= .
解析:log2=log2=-;=×=3×=3.
答案:- 3
4.(2015·安徽卷T11)lg +2lg 2-()-1= .
解析:原式=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=1-2=-1.
答案:-1
题型二 对数函数的图象及其应用
5.(2018·全国Ⅲ卷T7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )
(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)
(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)
解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B.
6.(2015·北京卷T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( C )
(A){x|-1(C){x|-1解析:如图所示,画出函数g(x)=log2(x+1)的图象,从而可知交点D(1,1),所以不等式f(x)≥g(x)的解集为(-1,1].故选C.
题型三 比较大小
7.(2020·全国Ⅲ卷T10)设a=log32,b=log53,c=,则( A )
(A)a(C)b解析:因为23<32,所以2<,所以log3252,所以3>,所以log53>log5=,所以b>c,所以a8.(2020·全国Ⅲ卷T12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( A )
(A)a(C)b解析:因为=log8,b=log85,()5=84>55,所以>5,所以=log8>log85=b,即b<.因为=log131,c=log138,(1)5=134<85,所以1<8,所以=log131.又2 187=37<55=3 125,所以 lg 37,所以b=>,所以c>b>a.故选A.
第四章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=()x,x>1},则A∩B=( A )
(A){y|0(C){y|解析:因为A={y|y>0},B={y|02.设a=ln ,b=e-2,c=log23,则下列关系正确的是( B )
(A)b>c>a (B)c>b>a
(C)c>a>b (D)b>a>c
解析:c=log23>log22=1,b=e-2∈(0,1),a=ln =-ln 5<0,所以c>b>a.故选B.
3.已知2m=3n=6,则+等于( D )
(A)-1 (B)2 (C)3 (D)1
解析:由2m=3n=6得m=log26,n=log36,
所以+=log62+log63=log66=1.故选D.
4.已知函数f(x)=loga(x+2),若图象过点(6,3),则f(2)的值为( B )
(A)-2 (B)2 (C) (D)-
解析:因为函数f(x)=loga(x+2)的图象过点(6,3),
所以loga(6+2)=3 loga8=logaa3,
则a3=8 a=2,
所以f(x)=log2(x+2),f(2)=log2(2+2)=2.故选B.
5.函数f(x)=的图象大致是( C )
解析:因为f(x)==故选C.
6.已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),则f(x)( D )
(A)是奇函数,且在(0,1)上单调递增
(B)是奇函数,且在(0,1)上单调递减
(C)是偶函数,且在(0,1)上单调递增
(D)是偶函数,且在(0,1)上单调递减
解析:对于函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),有解得-1所以函数f(x)的定义域为(-1,1),且关于原点对称.
因为f(-x)=ln(1-x)+ln(1+x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,
因为f(x)=ln(1-x2),内层函数u=1-x2在(0,1)上单调递减,外层函数y=ln u在定义域上单调递增,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.故选D.
7.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是( C )
(A)(-∞,1) (B)[,1)
(C)(0,1] (D)[1,+∞)
解析:因为y=ln(x+1)+a(x≥0)的值域为[a,+∞),
a<0时,y=ax+1(x<0)的值域为(1,+∞),不合题意;
a=0时,y=ax+1(x<0)的值域为{1},不合题意;
a>0时,y=ax+1(x<0)的值域为(-∞,1).
要使函数f(x)=的值域为R,
则可得08.已知f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)
(C)(-4,4] (D)[-4,4]
解析:令t=x2-ax+3a,
因为f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,
且y=lot在区间(2,+∞)上是减函数,
所以t=x2-ax+3a在区间(2,+∞)上是增函数,且t=x2-ax+3a>0在区间(2,+∞)上恒成立,
即≤2,且4+a≥0,
解得a≤4,且a≥-4,
所以实数a的取值范围是[-4,4].故选D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值不可能是( ACD )
(A) (B) (C)2 (D)4
解析:当a>1时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=(舍去).
当0所以loga2=-1,a=.故选ACD.
10.若10a=4,10b=25,则( AC )
(A)a+b=2 (B)b-a=1
(C)ab>8lg22 (D)b-a解析:因为10a=4,10b=25,所以a=lg 4,
b=lg 25,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2;
b-a=lg 25-lg 4=lg >lg 6;ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8lg22.故选AC.
11.不是函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间的是( D )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)
(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)
解析:函数f(x)=lo(x2-4)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),由于外层函数为减函数,由复合函数的单调性可知,只要求u(x)=x2-4的单调递减区间,结合函数f(x)=lo(x2-4)的定义域,得f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为(-∞,-2).故选D.
12.已知正实数x,y满足log2x+loy<()x-()y,则下列结论正确的是( BC )
(A)< (B)x3(C)ln(y-x+1)>0 (D)2x-y<
解析:原不等式可变形为log2x-()x又y=log2x是增函数,y=()x是减函数,所以f(x)=log2x-()x是增函数,
所以x则>,A错;x31,
ln(y-x+1)>0,C正确;
x-y<0,2x-y<20=1,不能得出2x-y<,例如x=1,y=时,则2x-y==>,D错.故选BC.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25= .
解析:原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25=2lg 2+lg 25=lg 100=2.
答案:2
14.已知不等式log2(2x-1)<1成立,则实数x的取值范围是 .
解析:由题得log2(2x-1)得0<2x-1<2,解得答案:(,)
15.当生物死亡后,它机体内原有的碳-14含量会按确定的比例衰减
(称为衰减率),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳-14含量为A,按照上述变化规律,生物体内碳-14含量y与死亡年数x的函数关系式是 .考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究,发现该生物体内碳-14的含量是原来的62.5%,则可以推测该生物的死亡时间距今约 年.(参考数据:lg 2≈0.301)
解析:设1年后碳-14含量为原来的a倍,
则a5 730=,a=(),
所以y=ax=().
由()=,即()=,
所以log2()=log2=log2,
所以-=log210-4=-4≈-4,
x≈3 883.
答案:y=() 3 883
16.已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点(0,0)对称;
②h(x)的图象关于y轴对称;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在区间(-1,0)上单调递增.
其中正确的是 .(把正确命题的序号都填上)
解析:因为f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,
所以两者互为反函数,所以f(x)=log2x(x>0),
所以h(x)=f(1-|x|)=log2(1-|x|),函数h(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
又h(-x)=h(x),
所以h(x)=log2(1-|x|)为偶函数,故h(x)的图象关于y轴对称,所以②正确,而①不正确.
因为当1-|x|的值趋近于0时,h(x)的函数值趋近于-∞,
所以h(x)的最小值不是0,所以③不正确.
设-11-|x1|,
又因为y=log2x是增函数,
所以log2(1-|x2|)>log2(1-|x1|),所以h(x2)>h(x1),所以h(x)在区间(-1,0)上单调递增,所以④正确.
答案:②④
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
解:原式=(log253++)(log52++)
=(3log25++)(log52++)
=(3+1+)log25·(3log52)
=13log25·
=13.
18.(12分)已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z.
(1)求使2x=py的p的值;
(2)求证:=-.
(1)解:设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k,
由2x=py,得2log3k=plog4k=p·,
因为log3k≠0,所以p=2log34.
(2)证明:-=-=logk6-logk3=logk2=logk4==.
19.(12分)已知函数f(x)=lo(x+2)+lo(x-2).
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求解关于x的不等式f(x)≥lo(3x).
解:(1)由得函数f(x)的定义域为(2,+∞),不关于原点
对称
所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)因为f(x)=lo(x+2)+lo(x-2)=lo(x2-4),
所以不等式f(x)≥lo(3x)可化为lo(x2-4)≥lo(3x),
因为y=lox在(0,+∞)上是减函数,
所以0解得2因此不等式f(x)≥lo(3x)的解集为{x|220.(12分)雾霾天气给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现,工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物,
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,
ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
解:(1)由已知得,当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.
于是有90%P0=P0e-5k,
解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).
(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,
有0.3P0=P0,
解得t=≈=≈55.
故污染物减少到30%至少需要55 h.
21.(12分)已知函数f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知2-2x>0且2-2-x>0,
解得-1所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,因为 x∈(-1,1),-x∈(-1,1),
且f(-x)=ln(2-2-x)+ln(2-2x)=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x),
所以f(x)=ln[(2-2x)(2-2-x)]=ln[5-2(2x+2-x)].
因为2x+2-x=2x+≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),
所以5-2(2x+2-x)≤1,f(x)=ln[5-2(2x+2-x)]≤0.
因为f(x)≤m恒成立,
所以实数m的取值范围为[0,+∞).
22.(12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log3.
(1)求f(log22 020)+g(-)的值;
(2)试求出函数g(x)的定义域,并判断该函数的单调性与奇偶性;(判断函数的单调性不必给出证明)
(3)若函数F(x)=f(2x)-3f(x),且对 x1∈[0,1], x2∈[-,],都有F(x1)>g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.
解:(1)f(log22 020)+g(-)=+log33=2 021.
(2)由>0得-1所以函数g(x)的定义域为(-1,1).
因为g(x)=log3=log3(-1+),
所以函数g(x)在(-1,1)上单调递减.
g(-x)=log3=-g(x),且定义域关于原点对称,
所以函数g(x)为奇函数.
(3)因为对 x1∈[0,1], x2∈[-,],都有F(x1)>g(x2)+m恒成立,
所以F(x)min>g(x)max+m.
由(2)知g(x)在[-,]上为减函数,
所以g(x)max=g(-)=1.
因为F(x)=f(2x)-3f(x)=22x-3·2x,
令t=2x,则y=t2-3t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,
所以当t=,即x=log2=log23-1时,F(x)min=-,
所以->1+m,即m<-,
所以实数m的取值范围为(-∞,-). 