§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数的零点、方程的根和图象与x轴的交点三者之间的关系. 2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.通过对函数零点概念的学习,培养数学抽象素养. 2.通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决,培养直观想象素养.
函数的零点
[问题1] 完成下表:
一元二次方程 方程的根 二次函数 函数图象 图象与x轴的交点
x2-2x-3=0 ① y=x2-2x-3 ④
x2-2x+1=0 ② y=x2-2x+1 ⑤
x2-2x+3=0 ③ y=x2-2x+3 ⑥
(1)观察表格,方程的根和相应函数图象与x轴的交点的横坐标有什么关系
(2)其他的函数与方程之间也有类似的关系吗 方程根的个数和图象与x轴交点的个数有什么关系
提示:①x1=-1,x2=3;②x1=x2=1;③无实数根;④两个交点:(-1,0),(3,0);⑤一个交点:(1,0);⑥没有交点.
(1)一元二次方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有几个根,y=f(x)的图象与x轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标.
知识点1:函数的零点
(1)概念:使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
(2)方程、函数、图象之间的关系:
函数y=f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,也就是方程f(x)=0的解.
[思考1-1] 函数的零点是一个点吗
提示:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.②求函数零点就是求方程f(x)=0的根.
[思考1-2] 函数的零点与方程的根有什么共同点和区别 函数与方程之间有何联系
提示:(1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根;
②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
(2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言.
函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.
[例1] (1)求函数f(x)=1-log2(x+3)的零点;
(2)求函数f(x)=的零点;
(3)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数 g(x)=bx2+ax的零点.
解:(1)令1-log2(x+3)=0,得x=-1,
所以函数f(x)=1-log2(x+3)的零点是-1.
(2)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
解:(3)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,则b=3a,
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,
解得x=0或x=-.
所以函数g(x)=bx2+ax的零点为0和-.
变式训练1-1:求下列函数的零点:
(1)f(x)=2x-1-3;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26,
所以函数f(x)=2x-1-3的零点是log26.
(2)令=0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
(3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1;
当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0,
解得x=-1.
综上,该函数的零点为1和-1.
根据函数解析式求函数零点的两种方法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
注意:几何法常用来判断函数的零点个数.
零点存在定理
[问题2] 观察函数的图象:
①在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点;
f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”).
②在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点;
f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”).
③在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点;
f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”).
提示:①有 < ②有 < ③有 <
知识点2:零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
[思考2] 应用该定理要具备哪些条件
提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;
②f(a)·f(b)<0.
[例2] (1)f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值范围是( )
(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)
(2)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a,求实数a取何值时,函数f(x)=|x2-2x-3|-a
①有两个零点;
②有三个零点.
(1)解析:由题意,令f(x)=0,
可得a=x-()x(x>0).
令g(x)=x-()x,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知g(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,f(x)在(0,+∞)内有零点.故选D.
(2)解:
令h(x)=|x2-2x-3|,g(x)=a,如图所示,
它们交点的个数即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
①当a=0或a>4时,函数有两个零点.
②a=4时,函数有三个零点.
变式训练2-1:已知函数f(x)=2ax-a+3,若 x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,-3)∪(1,+∞)
(B)(-∞,-3)
(C)(-3,1)
(D)(1,+∞)
解析:当a=0时,f(x)=3,不合题意,当a≠0时,由题意知f(-1)·f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1,故选A.
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
函数零点的个数
[问题3-1] 方程f(x)=a的根的个数与函数y=f(x)及y=a的图象交点个数有什么关系
提示:相等.
[问题3-2] 若函数g(x)=f(x)-a有零点,如何求实数a的取值范围
提示:法一 g(x)=f(x)-a有零点可知方程f(x)-a=0有解,即a=f(x)有解.
故a的取值范围为y=f(x)的值域.
法二 g(x)=f(x)-a有零点,等价于函数y=a与函数y=f(x)的图象有交点,故可在同一平面直角坐标系中分别画出两函数的图象,观察交点情况即可.
[例3] 已知0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:函数y=a|x|-|logax|(0画出函数f(x)=a|x|(0(0变式训练3-1:把本例函数“y=a|x|-|logax|”改为“y=2x|logax|-1”,再判断其零点个数.
解:由2x|logax|-1=0得|logax|=()x,作出y=()x及y=|logax|(0由图可知,两函数的图象有两个交点,
所以函数y=2x|logax|-1有两个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)结合单调性,利用零点存在定理,可判断y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
一元二次方程根的分布问题
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如下表:[记f(x)=ax2+bx+c(a>0)]
根的分布 图象 所需条件
x1kx1x1,x2∈ (k1,k2)
x1,x2中有且仅有一个在(k1,k2)内 f(k1)·f(k2)<0或f(k1)=0,k1<-<或f(k2)=0,<-注意:二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件:
(1)两个正根
(2)两个负根
(3)一个正根,一个负根:x1·x2<0.
[典例探究] 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
解:(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出图象如图.
由图象得即
所以-解:(2)根据函数f(x)的图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内,画出图象如图所示.
由图象得
即
解得
所以-即m的取值范围为(-,1-).
[应用探究1] 方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为( )
(A){a|1}
(C){a|-1解析:令f(x)=x2-2ax+1,
因为方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,
所以所以
所以1故选A.
[应用探究2] 已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是( )
(A)(4,+∞) (B)(-∞,4)
(C)(-∞,2) (D)(2,+∞)
解析:设f(x)=x2-ax+3,由方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,可知函数f(x)=x2-ax+3的零点分布在x=1的两侧,因此只需要f(1)<0,
即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞),
故选A.
[例1] 已知关于x的方程ax2+(a-3)x+1=0在区间(,+∞)上存在两个实数根,则实数a的取值范围是( )
(A)(,) (B)(,1]
(C)[9,+∞) (D)(,9]
解析:显然a≠0,可设f(x)=ax2+(a-3)x+1,对称轴是直线x=,
当a>0时,要使二次方程在区间(,+∞)上有两个实数根,如图所示,
则需>,且f()=a++1>0,且Δ=(a-3)2-4a≥0,
即为0,且a≥9或a≤1,
则当a<0时,要使二次方程在区间(,+∞)上有两个实数根,如图所示,
则需>,且f()=a++1<0,且Δ=(a-3)2-4a≥0,
即为0则a∈.
综上可得,a的取值范围是(,1].故选B.
[例2] 已知x1满足3x+ex=3,x2满足3x-e2-x=3,则x1+x2= .
解析:由3x+ex=3,即ex+3x-3=0,
3x-e2-x=3,即e2-x+3(2-x)-3=0,
设f(x)=ex+3x-3,由y=ex,y=3x-3在R上均为单调递增函数,
则f(x)在R上单调递增.
f(0)=e0-3<0,f(1)=e>0,
f(2)=e2+2×3-3=e2+3>0,
所以存在唯一x0∈(0,1),使得f(x0)=0.
由x1满足3x+ex=3,x2满足3x-e2-x=3,
即x1满足ex+3x-3=0,x2满足e2-x+3(2-x)-3=0,
即x1,2-x2满足f(x1)=0,f(2-x2)=0.
由存在唯一x0,使得f(x0)=0,所以x1=2-x2,即x1+x2=2.
答案:2
基础巩固
知识点一:函数的零点
1.函数f(x)=x2-2x-8的零点是( B )
(A)2和-4 (B)-2和4
(C)(2,0)和(-4,0) (D)(-2,0)和(4,0)
解析:由函数零点是使函数f(x)=0的x值,所以函数f(x)=x2-2x-8的零点是-2和4.故选B.
2.函数f(x)=的零点是( B )
(A)(-1,0),(1,0) (B)-1,1
(C)(-1,0) (D)-1
解析:由题意可得解得x=-1或
解得x=1.综上函数f(x)的零点是±1.故选B.
知识点二:零点存在定理
3.函数f(x)=2x-4+x的零点所在区间为( B )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
解析:f(0)=20+0-4=-3<0,f(1)=21+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,f(3)=
23+3-4=7>0,f(4)=24+4-4=16>0,因为f(1)·f(2)<0.故选B.
4.若函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,则实数a的取值范围是 .
解析:函数y=x2-3x+a图象的对称轴为直线x=,
则要使函数y=x2-3x+a在区间(1,3)上有零点,
需满足解得0答案:(0,]
知识点三:函数零点的个数
5.函数f(x)=ln x-的零点的个数是( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:f(x)的零点个数即ln x-=0根的个数,即ln x=根的个数,亦即y=ln x与y=图象的交点个数,由图知y=ln x与y=(x>0,且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)=ln x-的零点有2个.故
选C.
6.已知关于x的方程x2-(m+4)x+2m2=0的两个实根x1,x2满足x1<1解析:方程x2-(m+4)x+2m2=0的两个实数根分别为x1,x2,即为函数f(x)=x2-(m+4)x+2m2与x轴交点的横坐标,由二次函数图象开口向上,且x1<1答案:(-1,)
能力提升
7.方程lg x=8-2x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k等于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:方程lg x=8-2x的根,即f(x)=lg x+2x-8的零点,因为f(1)=
-6<0,f(2)=lg 2-4<0,f(3)=lg 3-2<0,f(4)=lg 4>0,所以f(3)·
f(4)<0,
函数零点所在的区间是(3,4),
所以k=3.故选B.
8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-a有2个零点,则实数a的取值范围是( B )
(A)(0,+∞) (B)[0,+∞)
(C)(-∞,1] (D)(-∞,1)
解析:因为函数g(x)=f(x)-a有2个零点,即方程f(x)=a有两个根,也即y=f(x)和y=a的图象有2个交点,作出y=f(x)和y=a的图象,如图所示.
所以a≥0.故选B.
9.已知一元二次方程x2+mx+1=0的两根都在(0,4)内,则实数m的取值范围是( A )
(A)(-,-2]
(B)(-,-2)∪(2,+∞)
(C)(-,-2]∪[2,+∞)
(D)(-,-2)
解析:设f(x)=x2+mx+1,则二次函数f(x)=x2+mx+1的两个零点都在区间(0,4)内,
由题意解得-因此,实数m的取值范围是(-,-2].故选A.
10.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,
b,c,则a,b,c的大小关系是 .
解析:画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a答案:a11.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个实数根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,
依题意得或
即或
解得-所以m的取值范围是(-,0).
12.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-.
(1)求证:函数g(x)有两个零点;
(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.
(1)证明:因为g(1)=a+b+c=-,
所以3a+2b+2c=0,
所以c=-a-b.
所以g(x)=ax2+bx-a-b,
所以Δ=b2-4a(-a-b)=(2a+b)2+2a2.
因为a>0,所以Δ>0恒成立,故函数f(x)有两个零点.
(2)解:根据g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,
又由(1)知3a+2b+2c=0,所以g(2)=a-c.
①当c>0时,有g(0)>0,
又因为a>0,所以g(1)=-<0,
故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故在区间(0,2)内至少有一个零点.
②当c≤0时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0,
所以函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点.
综合①②,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
应用创新
13.奇函数f(x),偶函数g(x)的图象分别如图(1),(2)所示,函数f(g(x)),g(f(x))的零点个数分别为m,n,求m+n的值.
解:由题中函数图象知f(±1)=0,f(0)=0,g(±)=0,g(0)=0,g(±2)=1,
g(±1)=-1,所以f(g(±2))=f(1)=0,f(g(±1))=f(-1)=0,f(g(±))=
f(0)=0,f(g(0))=f(0)=0,所以f(g(x))有7个零点,即m=7.又
g(f(0))=g(0)=0,g(f(±1))=g(0)=0,所以g(f(x))有3个零点,即n=3.所以m+n=10.1.2 利用二分法求方程的近似解
核心知识目标 核心素养目标
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解. 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解. 1.通过对二分法概念的学习,培养数学抽象素养. 2.通过利用二分法求函数零点的近似解,培养数学运算素养.
二分法
[问题1] 现有外观相同的16枚金币,其中1枚较轻.现有一个无砝码的天平,请你设计能尽快找出这枚较轻金币的方案.
提示:把16枚金币一分为二,天平两端各放8枚,找出较轻的那一边,然后再把这8枚金币一分为二,天平两端各放4枚,找出较轻的那4枚,以此类推,直到剩余2枚时就可测出较轻的那枚金币.
知识点1:二分法的概念
(1)满足精度ε的近似解:设是方程f(x)=0的一个解,给定正数ε,若x0满足|x0-|<ε,就称x0是满足精确度ε的近似解.
(2)二分法的定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
[思考1] 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解
提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
[例1] 已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
(A)4,4
(B)3,4
(C)5,4
(D)4,3
解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.
变式训练1-1:下列函数中,能用二分法求零点的是( )
解析:由题意以及零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点,故选D.
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
二分法的步骤
[问题2] (1)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的大致区间是( )
(A)(1,2) (B)(2,3)
(C)(3,4) (D)(4,5)
(2)如果利用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6的近似零点,则接下来应该怎么做
提示:(1)因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的大致区间为(2,3).
(2)如果利用二分法求函数的近似零点,接下来应该计算区间(2,3)中点的函数值f(2.5),然后再判定零点的大致区间,以此类推,直到达到要求的精确度为止.
知识点2:二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来.
其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
[思考2] “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗
提示:不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间为(1.25,1.34).若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34.
[例2] 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
解:考查函数f(x)=x3-3,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在的区间.
经计算f(1)=-2<0,f(2)=5>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程x3-3=0的解所在区间(如下表):
次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,而方程的近似解就在这个区间内,因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
变式训练2-1:根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是 .
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)= 1.109 375 f(1.625)= 0.416 015 625 f(1.562 5)= 0.127 197 265
解析:由表中数据知f(1.5)·f(2)<0,f(1.5)·f(1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.
答案:1.5
变式训练2-2:如何求的近似值 (精确度为0.01)
解:设x=,则x3=2,即x3-2=0,
令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值,以下用二分法求其零点.
由f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数值
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 -0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0
由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 5<0.01,所以1.265 625是函数的零点的近似值,即的近似值是1.265 625.
(1)用二分法求方程近似解应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的中点c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
(2)二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看.
同号丢,异号算,零点落在异号间.
周而复始怎么办 精确度上来判断.
基础巩固
知识点一:二分法的概念
1.下面关于二分法的叙述中,正确的是( B )
(A)用二分法可求所有函数零点的近似值
(B)用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位
(C)二分法无规律可循,无法在计算机上完成
(D)只能用二分法求函数的零点
解析:用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间.故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,可以无限求下去,C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误.
故选B.
2.下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( A )
解析:A选项中函数零点两端函数值同号,不能用二分法求零点,BCD均可.故选A.
3.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时,可以取的一个区间是( B )
(A)(,1) (B)(1,)
(C)(,2) (D)(2,)
解析:因为f(1)=0+1-2=-1<0,f()=log2-=log2-log2>0,所以方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,).故选B.
4.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( D )
(A)[1,4] (B)[-2,1]
(C)[-2, ] (D)[-,1]
解析:因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能为[-2,-],[-,1],
[1,],[,4].故选D.
知识点二:二分法求近似解
5.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,
f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解
为 .(精确度为0.1)
解析:因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,
而|0.75-0.687 5|<0.1,
所以方程的一个近似解为0.687 5.
答案:0.687 5(答案不唯一)
能力提升
6.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为( C )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即2n>100>26,所以n>6,则至少等分的次数为7.故选C.
7.华罗庚是20世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等.他除了数学理论研究,还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本混合检查……以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过检测的次数为( B )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)7
解析:先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分为两组,选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查,为阴性则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测.所以,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选B.
8.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是( ABD )
(A)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
(B)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
(C)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
(D)函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
解析:因为f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0,若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.
综上两种情况,可知选项C错误,D正确.故选ABD.
9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)= 0.200 f(1.587 5)= 0.133 f(1.575 0)= 0.067
f(1.562 5)= 0.003 f(1.556 2)= -0.029 f(1.550 0)= -0.060
根据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)为
.
解析:由题表知f(1.562 5)>0,f(1.556 2)<0,
|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01,
所以f(x)=3x-x-4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.
答案:1.56
10.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8,那么他再取的x的4个值依次是 .
解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).
答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5
11.用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据:
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1,2) x1=1.5 f(x1)=0.33>0
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)=-0.37<0
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)=-0.035<0
因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,
所以2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
12.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
(1)证明:令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln +2(x1-x2),且>1,x1-x2>0,
所以f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
所以f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,
所以f(2)·f(3)<0,
即f(x)在(2,3)内有一个零点.
所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
(2)解:因为f(2)<0,f(3)>0,
取x1==,f()=ln -1<0,
所以f(3)f()<0,
即f(x)的零点x0∈(,3).
取x2==,则f()=ln ->0.
所以f()f()<0.
所以x0∈(,),又|-|=≤,
所以满足题意的区间为(,).
应用创新
13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点,
则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
因为f(0)>0,f(1)>0,
所以函数f(x)在区间(0,)和(,1)上至少各有一个零点.
又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
核心知识目标 核心素养目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 3.了解拟合函数模型并解决实际问题. 1.通过把实际应用问题转化为数学问题,培养数学抽象素养. 2.通过利用函数模型解决实际问题,培养数学建模素养.
利用图象刻画实际问题
知识点1:常见函数模型
常 见 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
(2)二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(3)指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(6)分段函数模型 y=
[例1] “龟兔赛跑”是一则经典故事:兔子与乌龟在赛道上赛跑,跑了一段后,兔子领先太多就躺在赛道边睡着了,当它醒来后看到乌龟已经领先了,因此它用更快地速度去追,结果还是乌龟先到了终点.根据故事选出符合路程—时间图象的是( )
解析:由图知乌龟的路程—时间图象为线段,到终点时间短,兔子到达终点时间长,排除A,B;D中兔子醒来乌龟已到达了,不符合.故选C.
变式训练1-1:某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2018年1月至2020年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
(A)月接待游客量逐月增加
(B)年接待游客量逐年增加
(C)各年的月接待游客量高峰期大致在7月和8月
(D)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
解析:由题图可知A不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B正确.从图观察C是正确的,D也正确,1～6月比较平稳,7～12月波动比较大.故选A.
当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.
已知函数模型解决实际问题
知识点2:建立函数模型解决问题的基本过程
[例2] 某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足19万件时,W(x)=x2+x(万元);在年产量大于或等于19万件时,W(x)=26x+-320(万元),每件产品售价为25元,通过市场分析,生产的医用防护用品当年能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,该厂家在这一商品的生产中所获利润最大 最大利润是多少
解:(1)因为每件商品售价为25元,则x万件商品销售收入为25x万元,
依题意得,当0当x≥19时,L(x)=25x-(26x+-320)-100=220-(x+),
所以L(x)=
解:(2)当0此时,当x=18时,L(x)取得最大值L(18)=116万元.
当x≥19时,L(x)=220-(x+)≤220-2=220-40=180(万元),
此时,当且仅当x=,即x=20时,L(x)取得最大值180万元.
因为116<180,所以当生产的医用防护用品年产量为20万件时,厂家所获利润最大,最大利润为180万元.
变式训练2-1:某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数:H(x)=其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数[用f(x)表示].
(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大 最大利润为多少元 (总收入=总成本+利润)
解:(1)设每月产量为x台,
则总成本为t=10 000+100x.
又f(x)=H(x)-t,
所以f(x)=
(2)当0≤x≤200时,
f(x)=-(x-150)2+12 500,
所以当x=150时,有最大值12 500;
当x>200时,f(x)=30 000-100x是减函数,
f(x)<30 000-100×200<12 500.
所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大利润为12 500元.
求解已给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
自建函数模型解决实际问题
[例3] 牧场中羊群的最大畜养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y(只)和实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
(2)求羊群年增长量的最大值.
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,由此可得
y=kx(1-)(0解:(2)对二次函数配方,得y=-(x2-mx)
=-(x-)2+.
即当x=时,y取得最大值.
变式训练3-1:(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表示出y关于x的函数解析式
解:根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,因为羊群的年增长量y(只)和实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成反比,由此可得
y=(0变式训练3-2:(变结论)若本例条件不变,求当羊群的年增长量达到最大值时,k的取值范围.
解:由题意知为给羊群留有一定的生长空间,实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量,即0因为当x=时,ymax=,
所以0<+解得-2又因为k>0,所以k的取值范围为(0,2).
自建函数模型主要是结合题意及所学过的函数知识建立函数解析式,其主要步骤是:
(1)依题意,找出或建立数学模型,设出函数解析式.
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
[例题] 某企业常年生产一种出口产品,自2018年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2018年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2018～2021年该企业年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;
(3)2022年(即x=5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2022年的年产量为多少
解:(1)画出散点图,如图所示.
解:(2)由散点图知,可选用一次函数模型.
设f(x)=ax+b(a≠0).
由已知得
解得
所以f(x)=1.5x+2.5.
检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映这一时期该企业年产量的变化.
(3)根据所建立的函数模型,预计2022年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件),又年产量减少30%,即10×70%=7(万件),即2022年的年产量为7万件.
基础巩固
知识点一:利用图象刻画实际问题
1.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( D )
解析:当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4当8故选D.
2.如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为( D )
解析:由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为的扇形.
因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,
则AD==4-x,
所以y=x(4-x)-=-(x-2)2+4-(1≤x≤3),显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,ymax=4-∈(3,4).故选D.
知识点二:已知函数模型解决实际问题
3.某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系满足f(t)=-t2+24t-
101(4≤t≤18),则该沙漠地区在该时段的最大温差是( C )
(A)54 (B)58
(C)64 (D)68
解析:由f(t)max=f(12)=43,
f(t)min=f(4)=-21,
所以在该时段的最大温差是43-(-21)=64.故选C.
4.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析:当t=8时,y=ae-8b=a,
所以e-8b=.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,
则t=24.
所以再经过16 min.
答案:16
知识点三:自建函数模型解决实际问题
5.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是 m2.
解析:设矩形的一边长为x m,则与这条边垂直的边长为 m,
所以矩形面积S=x·=-x2+6x(0当x=3 m时,S最大=9 m2.
答案:9
6.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分(不足
1千米按1千米计)按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分(不足1千米按1千米计)按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了
km.
解析:设出租车行驶x km时,付费y元,
则y=
由y=22.6,解得x=9.
答案:9
能力提升
7.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( D )
(A)消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
(B)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
(C)甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
(D)某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析:对于A选项,由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,则A错误;对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错误;对于C选项,甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油80×1÷10=8(L),则C错误;对于D选项,速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油.故选D.
8.某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
( D )
(A)2018年 (B)2019年
(C)2020年 (D)2021年
解析:设从2017年起,过了n(n∈N+)年该民企全年投入的研发资金超过200万元,则130×(1+12%)n≥200,则n≥≈=3.8,由题意取n=4,则n+2 017=2 021.故选D.
9.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进去的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为( C )
(A)125 (B)100 (C)75 (D)50
解析:由已知,得a=a·,
所以e-k=().
设经过t1天后,一个新丸体积变为a,
则a=a·,
所以=(e-k=(),
所以=,t1=75.
故选C.
10.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系式是
v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
解析:当v=12 000时,2 000·ln(1+)=12 000,
所以ln(1+)=6,
所以=e6-1.
答案:e6-1
11.某公司试销某种纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a元.
(1)试求a的值.
(2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大 最大利润是多少
解:(1)因为按30元销售,可获利50%,
所以a(1+50%)=30,
解得a=20.
(2)因为销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y=-10x+800,
则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足
W=(-10x+800)(x-20)=-10x2+1 000x-16 000=-10(x-50)2+9 000,
故当x=50时,W取最大值9 000,
即每件销售价为50元时,每天获得的利润最大,最大利润是9 000元.
12.受疫情的影响及互联网经济的不断深化,网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚,为迎接“庆元旦”网购活动,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p(万件)与促销费用x(万元)满足p=3-(其中0≤x≤10).已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),每一件产品的销售价格定为(6+)元,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数.
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大 并求出最大利润.
解:(1)因为销售量p(万件)与促销费用x(万元)满足p=3-(其中
0≤x≤10),成本为(10+2p)万元,每一件产品的销售价格定为
(6+)元,
所以该产品的利润y=(6+)p-x-(10+2p),
把p=3-代入得y=22--x(0≤x≤10).
(2)y=24-(+x+2)≤24-2=16,
当且仅当=x+2,即x=2时取等号,
所以促销费用投入2万元时,厂家的利润最大,为16万元.
应用创新
13.2006年某市某地段土地价格为每平方米60万元,由于土地价格持续上涨,到2018年已经上涨到每平方米120万元.现给出两种地价增长方式,其中P1:f(t)=at+b(a,b∈R)是按直线上升的地价,P2:g(t)=clog2(d+t)(c,d∈R)是按对数增长的地价,t是2006年以来经过的年数,2006年对应的t值为0.
(1)求f(t),g(t)的解析式.
(2)2018年开始,国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策,为此,该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内,请分析比较以上两种增长方式,确定出最合适的一种模型.(参考数据:
log210≈3.32)
解:(1)由题知f(0)=60,f(12)=120,
所以
解得
所以f(t)=5t+60.
又g(0)=60,g(12)=120,
所以
解得
所以g(t)=30log2(4+t).
(2)若按照模型P1:f(t)=5t+60,到2022年时,t=16,f(16)=140,
直线上升的增长率为≈16.7%>10%,不符合要求.
若按照模型P2:g(t)=30log2(4+t),到2022年时,t=16,g(16)=
30log220=30(log210+1)=30×(3.32+1)≈129.6,
对数增长的增长率为=8%<10%,符合要求.
综上,应该选择模型P2.章末总结
题型一 函数的零点及其应用
[例1-1] 已知函数f(x)=3x+x-9的零点为x0,则x0所在区间为( )
(A)[-,-] (B)[-,]
(C)[,] (D)[,]
解析:因为f(x)=3x+x-9在R上单调递增,
f()=+-9=3-<0,
f()=+-9=9->0,
所以f()f()<0,
故x0所在区间为[,].
故选D.
[例1-2] 函数f(x)=的零点个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:当x>0时转化为方程ln x=x2-2x的根的个数问题,
由y=ln x与y=x2-2x的图象知有2个交点.
又x≤0时方程4x+1=0的根的个数是1,
故函数f(x)=的零点个数为3.
故选C.
跟踪训练1-1:函数f(x)=2x+x-5的零点x0∈[a-1,a],a∈N+,则a等于( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:f(x)为增函数,f(1)=2+-5<0,f(2)=4+-5<0,f(3)=8+-5>0,所以f(2)·f(3)<0,可知函数零点所在区间为[2,3],故a=3.
故选C.
跟踪训练1-2:函数f(x)=x-lg-2的零点所在区间为( )
(A)(0,1) (B)(3,+∞)
(C)(2,3) (D)(1,2)
解析:f(1)=1-lg 1-2=-1<0,
f(2)=2-lg-2=lg 2>0,
所以f(x)零点所在区间为(1,2).
故选D.
(1)确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
①利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
②数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
(2)已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数的范围.
题型二 二分法及应用
[例2] 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的.
先求值:f(0)= ,f(1)= ,f(2)= ,f(3)= .
所以f(x)在区间 内存在一个零点x0,填写下表:
区间 中点m f(m)符号 区间长度
结论:x0的值为多少 (精确度为0.1)
解:f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31,
所以f(x)在区间(1,2)内存在零点,即初始区间为(1,2).
区间 中点m f(m)符号 区间长度
(1,2) 1.5 + 1
(1,1.5) 1.25 + 0.5
(1,1.25) 1.125 - 0.25
(1.125,1.25) 1.187 5 + 0.125
(1.125,1.187 5) 0.062 5
因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1,
所以x0≈1.125(不唯一).
跟踪训练2-1:用“二分法”求函数f(x)=2x3-3x2-18x+28在区间(1,2)内的零点时,取(1,2)的中点x1=1.5,则f(x)的下一个有零点的区间是 .
解析:由f(1)=9>0,f(2)=-4<0,
f(1.5)=1>0,
因此,f(x)的下一个有零点的区间是(1.5,2).
答案:(1.5,2)
使用二分法的注意事项
(1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区间的范围,所以要选好计算的初始区间,保证所选区间既符合条件,又使区间长度尽量小.
(2)计算时注意依据给定的精确度,及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.
(3)二分法在具体使用时有一定的局限性,首先二分法只能一次求得一个零点,其次f(x)在(a,b)内有不变号零点时,不能用二分法求得.
题型三 函数的实际应用
[例3]经市场调查,某商品在过去的100天内销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量满足f(t)=(t∈N),价格满足g(t)=200-t(1≤t≤100,t∈N).
(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系式;
(2)若销售额超过16 000元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度
解:(1)由题意知,当1≤t≤60,t∈N时,
h(t)=f(t)·g(t)=(60+t)·(200-t)
=-t2+140t+12 000,
当61≤t≤100,t∈N时,
h(t)=f(t)·g(t)=(150-t)·(200-t)
=t2-250t+30 000,
所求函数关系式为
h(t)=
解:(2)当1≤t≤60,t∈N时,
h(t)=-t2+140t+12 000=-(t-70)2+16 900,
所以函数h(t)在[1,60]上单调递增,
所以h(t)max=h(60)=16 800.
当61≤t≤100,t∈N时,
h(t)=t2-250t+30 000=(t-250)2-1 250,
所以函数h(t)在[61,100]上单调递减,
所以h(t)max=h(61)=16 610.5,
h(64)=16 048.
若销售额超过16 000元,当61≤t≤100时,函数单调递减,故只有第61到64天满足条件.
当1≤t≤60时,经计算h(41)=16 059满足条件,又函数h(t)在[1,60]上单调递增,所以第41,42,…,60天,满足条件,即满足条件的天数为第41,42,…,63,64天,共24天.
跟踪训练3-1:(2019·北京卷T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
解析:①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).②由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大,而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15,即x的最大值为15.
答案:130 15
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y分别表示;
(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域;
(3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.
题型一 函数的零点及应用
1.(2018·全国Ⅰ卷T9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( C )
(A)[-1,0) (B)[0,+∞)
(C)[-1,+∞) (D)[1,+∞)
解析:令h(x)=-x-a,
则g(x)=f(x)-h(x).
在同一坐标系中画出y=f(x),
y=h(x)图象的示意图,如图所示.
若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.
2.(2013·湖南卷T6)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=ln x与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.
3.(2015·湖南卷T14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
解析:函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).
答案:(0,2)
4.(2018·浙江卷T15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
解析:当λ=2时,f(x)=
其图象如图(1).由图知f(x)<0的解集为(1,4).
若f(x)=恰有2个零点有两种情况:
①二次函数有两个零点,一次函数无零点;②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y=x-4与y=x2-4x+3的图象,如图(2),平移直线x=λ,可得λ∈(1,3]∪(4,+∞).
答案:(1,4) (1,3]∪(4,+∞)
题型二 函数的实际应用
5.(2019·全国Ⅱ卷T4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:+=(R+r)·.设α=,由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为( D )
(A)R (B)R
(C)R (D)R
解析:由α=,得r=αR,
因为+=(R+r),
所以+=(1+α),
即=α2[(1+α)-]=≈3α3,
解得α≈,
所以r=αR≈R.故选D.
第五章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=x2-5x+6的零点为( C )
(A)(2,3) (B)(3,2)
(C)2,3 (D)(2,0),(3,0)
解析:函数y=x2-5x+6,令y=0,
即x2-5x+6=0,
解得x=2或x=3
故零点为2,3.
故选C.
2.函数f(x)=log2x+x+2的零点所在的一个区间是( B )
(A)(0,) (B)(,)
(C)(,) (D)(,)
解析:由f()=log2++2=-<0,
f()=log2++2=>0,
所以f()·f()<0.
故选B.
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984
f(1.375)= -0.260 f(1.437 5)= 0.162 f(1.406 25) =-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( C )
(A)1.25 (B)1.39 (C)1.41 (D)1.5
解析:因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05,所以不满足精确度0.05;
因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.437 5)>0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数在
(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.406 25)<0,所以
f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.406 25,1.437 5)内有零点,
因为1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,所以满足精确度0.05.
所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)是区间
(1.406 25,1.437 5)内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知选C.
4.函数f(x)=-()x的零点个数为( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:作出幂函数y=和指数函数y=()x的图象,如图所示,可得交点只有一个,所以函数f(x)的零点只有一个.故选B.
5.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度至少需要计算的次数是( C )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:设至少需要计算n次,则<0.001,
所以2n>100.
因为26=64,27=128,
所以要达到精确度至少要计算n=7次.故选C.
6.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( B )
解析:由题意可知,函数图象增加越来越快,选项B符合.故选B.
7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( B )
(A)(0,) (B)(,1)
(C)(1,2) (D)(2,+∞)
解析:在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图象如图所示,
方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故8.已知f(x)=若方程f(x)-k=0至少有两个不相等的实根,则k的取值范围是( D )
(A)(0,1) (B)(0,1]
(C)[0,1) (D)[0,1]
解析:由题意知函数y=f(x)的图象与直线y=k至少有两个交点,由图象可得0≤k≤1.故选D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.设f(x)=2x+3x-7,某学生用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:
x 0 1 1.25 1.375 1.437 5 1.5 2
f(x) -6 -2 -0.87 -0.28 0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为( BC )
(A)1.25 (B)1.376 (C)1.409 2 (D)1.5
解析:f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,
故方程的近似解在(1.375,1.437 5)内.
因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,
故(1.375,1.437 5)中的任意数都可作为近似解.
故选BC.
10.若函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间(,1)上有零点,则实数a的取值范围不可能是( ABD )
(A)(-∞,-3) (B)(-,0)
(C)(-3,-) (D)(-,+∞)
解析:函数y=log2x,y=4x在其定义域上是连续的且都是增函数,
由零点存在定理可得f()·f(1)<0,
即(-a+2a+3)(4a+3)<0,
解得-311.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-a,若g(x)存在两个零点,则a的取值可能是( ACD )
(A)-10 (B)-9
(C)-3 (D)0
解析:令g(x)=f(x)+x-a=0,
得a=
令y=a,则y=
在同一坐标系中,作出两个函数的图象,如图所示.
因为g(x)存在两个零点,
由图象可得a<-9或-4故选ACD.
12.某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午11时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,以下结论正确的是( AD )
(A)该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h
(B)当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少
(C)到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内
(D)到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间
解析:因为食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在 4 ℃时 的保鲜时间是16 h,
所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,
所以t=
当x=6时,t=8,该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h,故A正确;
当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64 h,
当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少,故B
错误;
到了此日11时,温度为11 ℃,此时保鲜时间为 h,
故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故C错误;
由C可知到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故D正确,故选AD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为 .
解析:由题知(lg x)2-lg x=0,
得lg x(lg x-1)=0,
所以lg x=0或lg x=1,所以x=1或x=10.
答案:1或10
14.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=
0.1x2-11x+3 000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x等于 台.
解析:设产量为x台,利润为S万元,
则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+3 000)
=-0.1x2+36x-3 000
=-0.1(x-180)2+240,
则当x=180时,生产者的利润取得最大值.
答案:180
15.已知函数f(x)=若y=f(x)-kx有三个不同的零点,则实数k的取值范围是 .
解析:因为y=f(x)-kx有三个不同的零点,
所以f(x)-kx=0有三个不同的根,即y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,
画出图象,如图所示.
当y=kx过点(2,1)时,解得k=,
所以当k∈(0,)时,y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,即y=f(x)-kx有三个不同的零点.
答案:(0,)
16.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,且满足x1x2<4,则实数a的取值范围为 .
解析:由f(x)=a有2个不同根即y=f(x)与y=a的图象有2个不同交点.分别作出y=f(x),y=a的图象,如图所示,所以a>4;
方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,如图所示,则有x1≤2,
且x1+=a,+3=a,
所以x1+=+3,所以x2=2x1+-6,
所以x1x2<4可化为2-6x1+8<4,
解得1所以a=x1+∈(4,5),
即实数a的取值范围为(4,5).
答案:(4,5)
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)= 若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,求实数k的取值范围.
解:当x<0时,f(x)≥0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2.
当0≤x<时,f(x)<0,
则f(f(x))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4.
当x≥时,f(x)>0,f(f(x))=f(x2-3)=-3=x4-6x2+6.
所以f(f(x))=
当x≥时,y=x4-6x2+6=-3.
因为t=x2-3单调递增,且t≥0,此时y=t2-3单调递增,
所以y=-3在[,+∞)上单调递增,ymin=-3,
画出函数图象,如图.
函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))和y=k的图象有3个不同的交点,
则观察图象可得,118.(12分)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a.
(1)求p%的值.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年
解:(1)由题意得a(1-p%)10=,
即(1-p%)10=,
解得p%=1-().
(2)设经过m年森林面积为a,
则a(1-p%)m=a,
即()=(),=,
解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)设从今年开始,n年后森林面积为a(1-p%)n.
令a(1-p%)n≥a,
即(1-p%)n≥,()≥(),
得≤,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
19.(12分)已知函数f(x)=ax+(a>1).
(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上是增函数;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确度为0.1).
(1)证明:设-1所以f(x1)-f(x2)=-+-=-+.
因为-10,x2+1>0,x1-x2<0,
所以<0.
因为-11,
所以<,所以-<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)解:由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,
故在(0,+∞)上也单调递增,
由于f(0)=-1<0,
f(1)=>0,因此f(x)=0的正根仅有一个,
以下用二分法求这一正根,
由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,
所以取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间 中点的值 中点函数值
(0,1) 0.5 0.732
(0,0.5) 0.25 -0.084
(0.25,0.5) 0.375 0.328
(0.25,0.375) 0.312 5 0.124
由于|0.312 5-0.25|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.312 5.
20.(12分)某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏,据调查,花期为30天,园区从某月1日至30日开放,每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元),1≤x≤30,x∈N.
(1)求该园区第x天的旅游收入p(x)(单位:千元)的函数关系式;
(2)记(1)中p(x)的最小值为m,若以0.3m(千元)作为资金全部用于回收投资成本,试问该园区能否收回投资成本
解:(1)p(x)=f(x)·g(x)
=(8+)(143-|x-22|)
=
(2)当1≤x≤22时,
p(x)=8x++976≥2+976=1 152,
当且仅当8x=,即x=11时取等号,
此时p(x)的最小值为1 152,
当22当x=30时,p(x)min=-8×30++1 312=1 116.
因为1 116<1 152,
所以m=1 116,
所以m=p(30)=1 116(千元),所以0.3m=33.48万元>30万元,能收回投资成本.
21.(12分)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:J)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.
(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”,若某次地震释放能量约1012 J,试确定该次地震的类型;
(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍 (≈3.2)
解:(1)当某次地震释放能量约1012 J时,E=1012,
代入lg E=4.8+1.5M,
得M===4.8.
因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.
(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1,E2,
由题意知,lg E1=16.8,lg E2=18.3,
即E1=1016.8,E2=1018.3,
所以=101.5=10.
≈3.2,得≈32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放能量的32倍.
22.(12分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
解:(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),
所以log9(9x+1)+kx=log9(9-x+1)-kx,
log9=x=-2kx,
即x=-2kx对一切x∈R恒成立,
所以k=-.
(2)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程log9(9x+1)-x=log9(a·3x-a)有且只有一个实根.
化简得,方程3x+=a·3x-a有且只有一个实根.
令t=3x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.
当a=1时,t=-,不符合题意;
当a≠1且Δ=+4(a-1)=0时,
解得a=或a=-3.
当a=时,t=-2,不符合题意;
当a=-3时,t=,符合题意;
当a≠1,则Δ>0,则t1t2<0,
即
解得a>1.
综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).