苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.2_复数的运算_教学设计

第十二章　复数
12.2　复数的运算
本章共分三小节,第一小节讲复数的概念,首先简要地说明了人们在解实数系方程的过程中,产生了扩充实数集的需要,从而自然地引入虚数单位i, 在此基础上,给出了复数的有关概念和复数的代数形式然后,通过了复数与复平面的点的一一对应，给出了复数的儿何意义，第二小节讲复数的运算,分别给出了复数的代数形式的加法、减法运算法则和复数的代数形式的乘法、除法的运算法则。第三小节讲数系的扩充,介绍了数集从自然数集开始,扩充到复数的过程,并说明了数系的每一次扩充,都解决了某些运算不能进行的矛盾。最后,说明了复数集内负数可以开平方的问题。
课程目标 学科素养
1.掌握复数的加减乘除运算. 2.掌握共轭复数的概念及应用. 3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题． 4.了解i的幂的周期性． a数学抽象: 通过理解复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养. b数学运算: 通过复数的加减乘除运算培养数学运算素养.
1.教学重点：掌握复数的加减乘除运算.
2.教学难点：了解i的幂的周期性．
多媒体调试、讲义分发。
知识点一　复数的加减运算
1．复数加减的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
提示：复数的加、减运算法则是一种新的规定，可以类比多项式合并同类项来理解和记忆．
2．加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二　复数的乘法运算
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
一、复数的运算.
例1　计算：
(1)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
(2)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(1)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.
(2)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟　(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
反思感悟　(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
二、共轭复数的概念
例2　复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
∴(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共轭复数为＝1－3i或＝1＋i.
反思感悟　(1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2.②z∈R z＝.
(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
跟踪训练　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)．
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
三、i的运算特征
例3　计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＋i2 020＋i2 021；
(2)(1＋i)2 020＋(1－i)2 020.
解　(1)1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＋i2 020＋i2 021＝1＋i2 021＝1＋i.
(2)(1＋i)2 020＋(1－i)2 020
＝(1＋i)2 020＋[(1－i)2]1 010
＝(2i)1 010＋(－2i)1 010
＝21 010·i2＋21 010i2＝－21 011.
反思感悟　(1)虚数单位i的性质
①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i及乘方运算律简化运算．
四、复数的除法运算
例4　(1)已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是________．
答案　1＋i
解析　∵＝＝＝1－i，
∴复数的共轭复数为1＋i.
(2)计算：.
解　原式＝＝
＝＝＝1－i.
反思感悟　复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
跟踪训练　＋(5＋i2)－2；
解　＋(5＋i2)－2
＝＋(5－1)－＝i＋4－i＝4.
反思感悟　(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
①＝＝＝i(a，b∈R，b－ai≠0)．利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．
②记忆一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
五、在复数范围内解方程
例5　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
所以方程的根为x＝＝－3±i.
反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝.
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
跟踪训练　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立．
∴1－i是方程的根．
1．设a∈R，且(a＋i)2·i为正数，则a＝________.
答案　－1
解析　(a＋i)2·i＝[(a2－1)＋2ai]i＝－2a＋(a2－1)i，
依题意，得－2a>0，且a2－1＝0，∴a＝－1.
2．定义一种运算：＝ad－bc.则复数的共轭复数是________．
答案　－1－3i
解析　∵＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
3．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案　D
解析　因为＝1＋i，
所以z＝＝＝＝－1－i.
4．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
答案　i
解析　z2＝2＝i，
则z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
5．设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2·…·i12，则z1·z2＝________.
答案　1
解析　z1＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i9＋i10＋i11)＝0＋0－1＝－1，
z2＝i1＋2＋3＋…＋12＝i78＝－1，
∴z1z2＝1.
利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.
1 / 6