苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.2_复数的运算_课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
12.2　复数的运算
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
检测反馈
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　复数的加减运算
1.复数加减的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(1)z1＋z2＝ ；(2)z1－z2＝ .
提示：复数的加、减运算法则是一种新的规定，可以类比多项式合并同类项来理解和记忆.
2.加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝ ；
(2)(z1＋z2)＋z3＝ .
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
知识梳理
知识点二　复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ＋(ad＋bc)i.
2.乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝____
结合律 (z1z2)z3＝_______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________
(ac－bd)
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
一、复数的运算
例1　计算：
(1)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i).
解　(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i
＝－10i.
题型探究
(2)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
解　(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i
＝1＋i.
题型探究
(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
题型探究
复数加减运算法则的记忆方法
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项.
反思感悟
二、共轭复数的概念
例2　复数z满足z· ＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数.
∴(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i.
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
题型探究
(1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：
①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z· ＝a2＋b2.②z∈R z＝ .
(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础.
反思感悟
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
题型探究
三、i的运算特征
例3　计算下列各式的值.
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＋i2 020＋i2 021；
解　1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＋i2 020＋i2 021＝1＋i2 021
＝1＋i.
题型探究
(2)(1＋i)2 020＋(1－i)2 020.
解　(1＋i)2 020＋(1－i)2 020
＝(1＋i)2 020＋[(1－i)2]1 010
＝(2i)1 010＋(－2i)1 010
＝21 010·i2＋21 010i2＝－21 011.
题型探究
(1)虚数单位i的性质
①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i及乘方运算律简化运算.
反思感悟
四、复数的除法运算
1＋i
题型探究
题型探究
题型探究
(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
反思感悟
例5　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
五、在复数范围内解方程
解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
题型探究
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
反思感悟
跟踪训练　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
题型探究
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
题型探究
3
检测反馈
PART THREE
1.设a∈R，且(a＋i)2·i为正数，则a＝____.
1
2
3
4
5
－1
解析　(a＋i)2·i＝[(a2－1)＋2ai]i＝－2a＋(a2－1)i，
依题意，得－2a>0，且a2－1＝0，
∴a＝－1.
检测反馈
1
2
3
4
5
－1－3i
∴其共轭复数为－1－3i.
检测反馈
A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
√
1
2
3
4
5
检测反馈
1
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4
5
i
则z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
检测反馈
5.设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2·…·i12，则z1·z2＝____.
1
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5
1
解析　z1＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i9＋i10＋i11)＝0＋0－1＝－1，
z2＝i1＋2＋3＋…＋12＝i78＝－1，
∴z1z2＝1.
检测反馈