苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.2_复数的运算_练习（解析版）

第十二章　复数
12.2　复数的运算
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
2．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512
5．计算的值是 (　　)
A. B. C. D.
6．复数＋i3＝________.
7．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b＝________.
8．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
9．计算：2－20.
10．已知复数z1满足(z1＋2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的实部为3，且z1·z2是纯虚数，求z2.
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
12．已知复数z＝，则z·＝________.
13．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
14．i是虚数单位，2 020＋6＝________.
15．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
16．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
第十二章　复数
12.2　复数的运算答案
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
【答案】　C
【解析】　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C.
2．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
【答案】　C
【解析】　∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
【答案】　C
【解析】　方法一　∵(z－1)i＝1＋i，
∴z＝＋1＝1－i＋1＝2－i.
方法二　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，
则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512
【答案】　C
【解析】　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10
＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．计算的值是 (　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　＝＝＝.
6．复数＋i3＝________.
【答案】　0
【解析】　∵＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.
7．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b＝________.
【答案】　6
【解析】　＝＝＝，
∵是实数，∴6－b＝0，即b＝6.
8．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
【答案】　4－3i
【解析】　∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
9．计算：2－20.
解　2－20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
10．已知复数z1满足(z1＋2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的实部为3，且z1·z2是纯虚数，求z2.
解　∵(z1＋2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＋2＝＝＝＝－i，
∴z1＝－2－i.设z2＝3＋ai(a∈R)，
则z1·z2＝(－2－i)(3＋ai)＝－(2＋i)(3＋ai)＝a－6－(2a＋3)i.
又∵z1·z2是纯虚数，∴
∴a＝6，z2＝3＋6i.
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
【答案】　A
【解析】　由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
所以z＝＝3－i.
12．已知复数z＝，则z·＝________.
【答案】　
【解析】　z＝＝＝＝
＝＝－＋，
所以＝－－，所以z·＝.
13．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
【答案】　
【解析】　∵z2＝t＋i，
∴2＝t－i，
∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
又∵z1·2是实数，
∴4t－3＝0，∴t＝.
14．i是虚数单位，2 020＋6＝________.
【答案】　－2
【解析】　原式＝1 010＋6＝1 010＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2.
15．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
解　z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，∴
解得∴b＋ai＝4－3i，则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
16．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
解　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，
z＋3＝x＋3＋yi，
由已知得
∵y≠0，∴解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
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