苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.3_复数的几何意义_课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
12.3　复数的几何意义
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.
情景引入
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
检测反馈
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ，x轴叫作 ，y轴叫作 .实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复平面
实轴
虚轴
知识梳理
知识点二　复数的几何意义
1.复数与点、向量间的对应关系
Z(a,b)
知识梳理
2.复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为 ，则向量 的模叫作复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作 或 .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝ .
|z|
|a＋bi|
知识梳理
知识点三　复数加、减法的几何意义
复数加法的几何意义 以 为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的向量 就是与复数z1＋z2对应的向量
复数减法的几何意义 从向量 的终点指向向量 的终点的向量 就是复数z1－z2对应的向量
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
一、复数的几何意义
例1　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.
即当－3题型探究
(2)直线x－y－3＝0上.
解　z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点的坐标为
Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
题型探究
延伸探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；
解　当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上.
(2)第四象限.
即当2题型探究
按照复数和复平面内所有点所构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
反思感悟
跟踪训练1　求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：
(1)位于第四象限；
即－7故当－7题型探究
(2)位于x轴的负半轴上.
由②得m＝－7或m＝4.
因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，
所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
题型探究
二、复数模及其几何意义的应用
(1)求|z1|及|z2|的值；
题型探究
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
解　由(1)知1≤|z|≤2，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为不等式|z|≥1的解集是圆x2＋y2＝1上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式|z|≤2的解集是圆x2＋y2＝4上和该圆内部所有点组成的集合，
所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示.
题型探究
(1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.
反思感悟
跟踪训练2　设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R).
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，
题型探究
三、复数加、减法的几何意义
例3　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.
解　因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
题型探究
题型探究
(1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
反思感悟
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则
①四边形OACB为平行四边形.
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形.
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形.
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
反思感悟
题型探究
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是__________.
(－∞，1)
解析　z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，∴a<1.
题型探究
3
检测反馈
PART THREE
A.0 B.－3 C.－3i D.3
√
检测反馈
2.当 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
√
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
检测反馈
3.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝_____.
3
解析　因为复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，
所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，
所以z＝3i，所以|z|＝3.
检测反馈
4.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第_____象限.
四
解析　∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限.
检测反馈
5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是______.
5－2i
∴点C对应的复数是5－2i.
设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，
故点C对应的复数为5－2i.
检测反馈
1.知识清单：
(1)复平面、实轴、虚轴、模的概念.
(2)复数与点、向量间的对应关系.
(3)复数加法、减法的几何意义及其应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：利用复数的几何意义求参数的值或范围出错.
课堂小结