苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.3_复数的几何意义_练习（解析版）

第十二章　复数
12.3　复数的几何意义
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i
4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
6．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限．
7．已知复数z＝2a－i(a∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，且|z|＝3，则复数z＝______.
8．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
9．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
10．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
11．(多选)在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，AB＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)
A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D.＋i
12．已知0≤a≤3，则|1－ai|的取值范围为(　　)
A．[0，] B．[0,3] C．[1，] D．[1,10]
13．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
14．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
15．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是(　　)
A．5 B．2 C．7 D．3
16．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
第十二章　复数
12.3　复数的几何意义答案
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】　B
【解析】　∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，
故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．
2．已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
【答案】　D
【解析】　由题意得解得m<－2.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i
【答案】　B
【解析】　∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，
∴向量对应的复数为－2＋i.
4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
【答案】　A
【解析】　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
【答案】　A
【解析】　由题图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．
6．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限．
【答案】　二
【解析】　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则解得∴a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．
7．已知复数z＝2a－i(a∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，且|z|＝3，则复数z＝______.
【答案】　2－i
【解析】　因为z在复平面内对应的点位于第四象限，
所以a>0，
由|z|＝3知，＝3，解得a＝±1，
故a＝1，所以z＝2－i.
8．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
【答案】　2
【解析】　z1＝1－i对应的点为Z1(1，－1)，z2＝3－5i对应的点为Z2(3，－5)，由两点间距离公式，得
Z1Z2＝＝2.
9．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解　由题意得＝(m2＋m－2)－(4m2－8m＋3)i，对应的点位于第一象限，
所以所以
所以
即110．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解　方法一　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，
∴AC的中点为，BD的中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴∴
即点D对应的复数为3＋5i.
方法二　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，
∵对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
＝，
∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴∴
即点D对应的复数为3＋5i.
11．(多选)在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，AB＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)
A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D.＋i
【答案】　BD
【解析】　设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得，
∴或
∴z2＝5＋4i或＋i.
12．已知0≤a≤3，则|1－ai|的取值范围为(　　)
A．[0，] B．[0,3] C．[1，] D．[1,10]
【答案】　C
【解析】　根据复数模的定义知，|1－ai|＝，
又因为0≤a≤3，
所以1≤|1－ai|≤.
13．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
【答案】　
【解析】　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，
因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝＝
＝＝.
因为－114．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
【答案】　－15＋8i
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入原方程，得a＋bi＋＝2＋8i，
所以解得
所以z＝－15＋8i.
15．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是(　　)
A．5 B．2 C．7 D．3
【答案】　D
【解析】　|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
16．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解　(1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i；
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i；
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.故△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||·||＝××2＝2.
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