《函数的奇偶性》智能提升
一、选择题
1.给出函数，则下列坐标表示的点一定在函数的图象上的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知函数为R上的奇函数，当时，.若，则实数a的值为（ ）
A.
B.2
C.或2
D不存在
3.若函数是偶函数，是奇函数（的定义域相同），且,则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.已知函数为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程的所有实根之和是________.
5.已知函数在R上为奇函数，且,，则当时，________.
6.已知定义在上的函数是偶函数，在上是增函数，则满足不等式的实数a的取值范围是_______.
三、解答题
7.已知定义在上的奇函数在上是增函数，，求实数m的取值范围.
8.已知函数为奇函数，且当时，.若当时，恒成立，求的最小值.
9.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，
（1）如图，在给定的平面直角坐标系中画出函数在R上的图象（不用列表）；
（2）直接写出当时函数的解析式；
（3）讨论直线与函数的图象的交点个数.
参考答案
1.
答案：B
解析：易判断出函数为偶函数，一定在函数的图象上.
2.
答案：A
解析：假设，则，即，方程无解，所以不成立，因此，则，所以.由函数为奇函数得，即，解得或（舍）.
3.
答案：C
解析：，
以代替x，得.
又为偶函数，为奇函数，
.②
由①+②，得.
.
4.
答案：0
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
5.
答案：
解析：当，即时，.为R上的奇函数，，即.
6.
答案：
解析：由为偶函数，得，
又在上是增函数，且，
，
故
或.
7.
答案：见解析
解析：函数是奇函数，且在上是增函数，
在上是增函数.
，
.
由函数的单调性知，
解得，
的取值范围为.
8.
答案：见解析
解析：当时，，
当时，，
.
又函数为奇函数，函数在时的最小值和最大值分别是，
的最小值为的最大值为，
，
即的最小值为.
9.
答案：见解析
解析：（1）函数图象如图.
（2）
（3）设交点个数为，则
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上可知，
3 / 6《函数的奇偶性》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 函数奇偶性的定义
一、选择题
1.若函数是定义在R上的偶函数，则（ ）
A.0
B.5
C.
D.
2.已知函数是奇函数，则（ ）
A.
B.0
C.1
D.无法确定
二、填空题
3.若函数为R上的偶函数，且，则________.
必备知识2 奇（偶）函数的图象特征
一、填空题
4.若函数的图象如图所示，则为________函数（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）.
5.若定义在R上的奇函数，当时，，则奇函数的值域是________.
二、解答题
6.已知奇函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示.
（1）画出函数在区间上的图象；
（2）写出使的x的取值集合.
必备知识3 函数奇偶性的判断
一、选择题
7.下列函数为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
8.已知函数，则的奇偶性为________.
9.下列函数中，是偶函数的有_______（填序号）.
①;②;③;
④;⑤.
三、解答题
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
关键能力练
关键能力1 分段函数奇偶性的判断
一、解答题
11.已知函数判断函数的奇偶性.
12.判断函数的奇偶性.
关键能力2 比较大小问题
一、选择题
13.若对于任意实数x总有，且在区间上是增函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
14.设函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则________（判断大小）.
关键能力3 利用函数的奇偶性求取值范围
一、填空题
15.若函数是定义在R上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的x的取值范围是_________.
二、解答题
16.已知函数是奇函数，其定义域为，且在上为增函数.若，试求实数a的取值范围.
关键能力4 求对称解析式
一、填空题
17.如果函数是奇函数，则________.
18.设函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，________.
关键能力5 综合应用
一、解答题
19.设定义在上的奇函数.
（1）求b的值；
（2）若函数在上是增函数，且，求实数m的取值范围.
20.已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有.当时，.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：函数在上是减函数；
（3）解不等式.
参考答案
1.
答案：C
解析：因为函数是偶函数，所以，故.
2.
答案：C
解析：奇函数的定义域关于原点对称，.
3.
答案：3
解析：函数为R上的偶函数，.
4.
答案：偶
解析：因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数.
5.
答案：
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以当时，，又函数的定义域为R，所以，因此函数的值域为.
6.
答案：见解析
解析：（1）因为函数是奇函数，
所以函数在上的图象关于原点对称.
由函数在上的图象可知，它在上的图象如图所示.
（2）由图象知，使的x的取值集合为.
7.
答案：
解析：A（点拨：A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C，D中函数均是非奇非偶函数.
8.
答案：既是奇函数又是偶函数
解析：要使函数有意义，需满足，此时，因此，函数的图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此，函数既是奇函数又是偶函数.
9.
答案：②③
解析：对于①，其定义域为，则为奇函数；
对于②，其定义域为，则为偶函数
对于③，其定义域为，关于原点对称，，则为偶函数；
对于④，其定义域为，关于原点对称，，则为奇画数；
对于⑤，其定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数.
10.
答案：见解析
解析：（1）函数的定义域为，关于原点对称.
又，
所以函数是偶函数.
（2）若有意义，则需满足
所以，
所以函数的定义域不关于原点对称，
所以函数是非奇非偶函数.
（3）由得，定义域关于原点对称，且，
所以函数既是奇函数又是偶函数.
11.
答案：见解析
解析：函数的定义域为.
当时，；
当时，.
所以对任意的，都有.
所以函数是奇函数.
12.
答案：见解析
解析：函数的定义域为R.
当时，；
当时，；
当时，.
所以对任意的，都有，
所以函数是奇函数.
13.
答案：B
解析：函数为偶函数，.又在区间上是增函数，且.
14.
答案：≤
解析：函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，，，因此.
15.
答案：
解析：因为函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数.又因为，所以，即，所以或.
16
答案：见解析
解析：，
.
又函数为奇函数，，
.
又函数在上为增函数
函数在上为增函数，
解得.
故a的取值范围为.
17.
答案：
解析：设，则，
.
又函数为奇函数，
，即.
18.
答案：
解析：当时，，
.
又函数为偶函数，
，
.
19.
答案：见解析
解析：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得（经检验，符合题意）.
（2）因为函数在上是增函数，又是奇函数，所以在上是增函数.
因为，
所以，
所以.①
又需要不等式在函数定义域范围内有意义，
所以②
解①②得.
所以m的取值范围为.
20.
答案：见解析
解析：（1）函数的定义域为[-3，3]，关于原点对称.令，则，得.
令，则，即.
故函数是奇函数.
（2）对于上的任意两个值，且，
则，
又，则，又当时，，
，即.
故函数在上是减函数.
（3）由（2）知，函数在上是减函数.
，
，
.①
又②
解①②得.
原不等式的解集为.
6 / 10《函数的奇偶性》同步练习
一、选择题
1.下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.偶函数在区间上的图象如图所示，则函数在R上的增区间为（ ）
A.
B.
C.
D.和
3.若函数为奇函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.1
二、填空题
4.若函数是定义在区间上的奇函数，则_______.
5.已知函数是偶函数，那么函数是__________函数（填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”）.
6.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则__________.
三、解答题
7.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
8.求证：函数的图象关于y轴对称.
9.设函数在R上是偶函数，在区间上是增函数，且，求实数a的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：对于函数其定义域为，所以是奇函数，易知此函数在上是减函数.对于其他项，函数在上是增函数，函数是偶函数，函数不是奇函数.
2.
答案：D
解析：偶函数的图象关于y轴对称，可知函数的增区间为和.
3.
答案：C
解析：函数的定义域为.又为奇函数，其定义域应关于原点对称，.
4.
答案：
解析：易知.
5.
答案：奇
解析：因为是偶函数，所以，所以，所以，其定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数.
6.
答案：1
解析：，
，
是偶函数，是奇函数，
，
.
.
7.
答案：见解析
解析：（1）函数的定义域为R.
函数是偶函数.
（2）函数是偶函数.
（3）函数的定义域为R.
，
函数是奇函数.
（4）函数的定义域为R.
当时，，此时，
；
当时，此时；
当时，.
综上可知，对任意，总有函数为R上的奇函数.
8.
答案：见解析
解析：函数的定义域为，
且，
函数为偶函数，故其图象关于y轴对称.
9.
答案：见解析
解析：由函数在R上是偶函数，在区间上是增函数可知，函数在上是减函数.
，
，
且，
，
即，解得.
故a的取值范围为.
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