第5章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数f(x)=的图象大致是( )
2.已知函数f(x)=若m=f(x)有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是 .
3.若函数f(x)=|x-1|+|x+1|,且f(2a-3)=f(a),a为实数,则满足条件的a的取值集合为 .
4.已知函数f(x)=2x4+4x2,x∈R,若f(a+3)>f(a-1),则实数a的取值范围为 .
5.若a,b∈R,函数f(x)=(x-2)·(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则关于x的不等式f(2-x)>0的解集为 .
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集为 .
7.已知函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=若m=f(x)恰有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是 .
8.已知二次函数f(x)=-x2+2x+3,不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定:闭区间[a,b]的区间长度为b-a),则实数m的值是 .
9.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为 .
11.十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种植工作,2017年年底该村每户年均纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的人数.从2018年年初开始,若该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售工作.经测算,剩下从事水果种植工作的农户每户年均纯收入比上一年提高,而从事包装、销售工作的农户每户年均纯收入为万元(参考数据:≈1.17).
(1)至2020年年底,为使从事水果种植工作的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万元),至少抽出多少户从事包装、销售工作
(2)至2018年年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元 若能,求出从事包装、销售的户数;若不能,请说明理由.
答案全解全析
第5章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.D 因为函数f(x)=,
所以f(-x)=≠f(x),
所以函数f(x)不是偶函数,图象不关于y轴对称,故排除A、B选项.
易求得f(3)=, f(4)=4, f(3)>f(4),
而选项C在x>0时是递增的,故排除C选项.故选D.
2.答案
解析 设g(x)=m,由m=f(x)有三个不同的实数解知g(x)和f(x)的图象有三个不同的交点.作出图象,观察得m∈.
3.答案 {1,3}
解析 f(x)=由f(2a-3)=f(a),得2a-3=a或2a-3+a=0或解得a=1或a=3.
4.答案 (-1,+∞)
解析 ∵f(-x)=2(-x)4+4(-x)2=f(x),x∈R,∴f(x)为偶函数,
易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,其大致图象如图所示,
∵f(a+3)>f(a-1),
∴|a+3|>|a-1|,解得a>-1.
5.答案 (0,4)
解析 因为f(x)=(x-2)·(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,
所以b=2a,
所以f(x)=ax2-4a=a(x+2)·(x-2),
又因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以a<0,
由二次函数的图象可知,f(x)>0的解集为(-2,2),f(2-x)=f(x-2)的图象可以看成由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到,所以f(2-x)>0的解集为(0,4).
6.答案 (-5,0)∪(5,+∞)
解析 当x<0时,-x>0,由函数f(x)是定义在R上的奇函数,知f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x.
当x>0时, f(x)>x,得x2-4x>x,解得x>5;
当x=0时,由f(0)=0,不符合题意;
当x<0时,由f(x)>x,得-x2-4x>x,解得-5
综上,不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
7.答案
解析 设g(x)=m,由m=f(x)有四个不同的实数解知g(x)和f(x)的图象有四个不同的交点.当x≥0时,f(x)=作出y轴右侧图象,由函数f(x)是偶函数,知只要g(x)和f(x)的图象在y轴右侧有两个不同交点即可,注意到f(x)=-+1的图象趋近于直线y=1,y=x(3-x)图象的顶点纵坐标为,故m∈.
8.答案 -5
解析 由已知得x2-2x+m-3≤0的解集的区间长度为6,
设x2-2x+m-3=0的两个实数根分别为x1,x2,
则|x1-x2|
=
=,
故=6,
解得m=-5.
9.答案 (-∞,-5]
解析 由题意,知f(x)=|x2-4|+a|x-2|=|x-2|·(|x+2|+a)≤0恒成立,
当x=2时, f(x)=0,符合题意,
当x≠2时,可转化为|x+2|+a≤0恒成立,则a≤-|x+2|恒成立,其中x∈[-3,2)∪(2,3],
设g(x)=-|x+2|,x∈[-3,2)∪(2,3],作出图象,如图所示.
则g(x)min=g(3)=-5,故a≤-5.
10.答案 [-2,2]
解析 ∵g(x)=f(x)+f(-x),
∴g(-x)=f(-x)+f(x),
又∵x∈R,∴g(x)是偶函数,
故g(x)=
作出图象,如图所示.
令x2-3x+4≤2,解得1≤x≤2.由对称性及图象知,g(x)≤2的解集为[-2,2].
11.解析 (1)至2020年年底,从事水果种植工作的农户每户年均纯收入为(x∈Z,1≤x≤9)万元,
令≥1.6,
即≥1.6,即x≥20×(-1),
由所给数据,知1.15<<1.2,
所以3<20×(-1)<4,
所以x的最小值为4,则5x≥20,即至少抽出20户从事包装、销售工作.
(2)假设至2018年年底该村每户年均纯收入能达到1.35万元,
每户的平均收入为f(x)=(x∈Z,1≤x≤9)万元,
令f(x)≥1.35,得3x2-30x+70≤0,
因为x∈Z,1≤x≤9,
所以x∈{4,5,6},5x∈{20,25,30}.
故当从事包装、销售工作的农户数为20,25,30时,能达到,否则,不能达到.
2 / 8第5章 综合拔高练
高考真题全练：
考点1 函数的概念与表示
1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
2.函数y=的定义域是 .
考点2 分段函数的应用
3.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f =(深度解析)
A.2 B.4
C.6 D.8
4.已知符号函数sgn x=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )
A.sgn[g(x)]=sgn x
B.sgn[g(x)]=-sgn x
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
5设f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=f(x),在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R,若f,则f(5a)的值是 .
考点3 函数基本性质的综合应用
6.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
7.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
8.已知函数f(x)的定义域为R .当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f =f .则f(6)=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)单射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,那么f(x)≠f(y)),若对任意的x>0,有xf(x)>1, f(xf(x)-1)=2,求f(2)的值.
答案全解全析
第5章 综合拔高练
高考真题全练：
1.D 对于A选项,由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错误;
对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错误;
对于C选项,甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错误;
对于选项D,当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D正确.故选D.
2.答案 [-1,7]
解析 要使原函数有意义,需满足7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故所求定义域为[-1,7].
3.C 解法一:当01,
∴f(a)=, f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得 =2a,∴a=.
此时f=f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1>1,
∴f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.
综上, f=6,故选C.
解法二:∵当0当x≥1时, f(x)=2(x-1),为增函数,
f(a)=f(a+1),
∴=2(a+1-1),∴a=.
∴f=f(4)=6.
方法总结 求分段函数的函数值的基本思路:
1.结合函数定义域确定自变量的范围.
2.代入相应表达式求函数值.
4.B ∵f(x)是R上的增函数,a>1,
∴当x>0时,x当x=0时,g(x)=0;
当x<0时,x>ax,有f(x)>f(ax),则g(x)>0.
∴sgn[g(x)]=
∴sgn[g(x)]=-sgn x,故选B.
5.答案 -
解析 由题意得f+a,f ,
由f可得-,则a=,则f(5a)=f(3)=f(-1)=-1+a=-1+.
6.D 解法一(特值法):取f(x)=-x,其满足在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,且f(1)=-1,即满足题设的所有条件,因为f(x-2)=2-x,所以有-1≤2-x≤1,解得1≤x≤3,故选D.
解法二(性质法):因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1.
于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].
7.B 解法一:令g(x)=x2+ax,
则M-m=g(x)max-g(x)min.
故M-m与b无关.
又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,
a=2时,g(x)max-g(x)min=3,
故M-m与a有关.故选B.
解法二:(1)当-≥1,即a≤-2时, f(x)在[0,1]上为减函数,则M-m=f(0)-f(1)=-a-1.
(2)当≤-<1,即-2(3)当0<-,即-1(4)当-≤0,即a≥0时, f(x)在[0,1]上为增函数,则M-m=f(1)-f(0)=a+1.
即有M-m=
综上,M-m与a有关,但与b无关.故选B.
8.D 当x>时,由f可得f(x)=f(x+1),
所以f(6)=f(1),易知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,
所以f(6)=f(1)=2,故选D.
9.解析 由函数f(x)单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=,且f(t)=2,①
因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,
由f(t)=2,得f(2t-1)=2,②
由①②及函数f(x)单射,得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=(x>0),所以f(2)=1.
农户数为20,25,30时,能达到,否则,不能达到.
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