第六章《一次函数》单元测试卷（困难）（含答案）

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苏科版初中数学八年级上册第六章《一次函数》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从地到地，乙驾车从地到地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离千米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，当乙到达终点时，甲还需分钟到达终点．( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点做，交于点，设点运动路程为，，如图所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是( )
A. B. C. D.
下列变量之间的关系：多边形的对角线条数与边数；三角形面积与它的底边长；中的与；中的与；圆面积与圆的半径。其中成函数关系的有．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
函数，，，，，其中一次函数的个数有个．( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数是一次函数
C. 正比例函数不是一次函数 D. 不是正比例函数就是一次函数
已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
关于一次函数，下列说法中，正确的是( )
A. 图象经过第二象限 B. 函数值随的增大而减小
C. 图象在轴上的截距是 D. 图象在轴上的截距是
某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前分钟内只进水不出水，在随后的分钟内既进水又出水，分钟后关闭进水管，放空容器中的水已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量升与时间分钟之间的关系如图所示则每分钟的出水量为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
小红到文具商店买彩笔，每打彩笔支，售价元，那么买彩笔所需的钱数元与购买彩笔的支数支之间的关系式为( )
A. B. C. D.
如图，已知在平面直角坐标系中，点，是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图形，把图形沿直线：进行翻折，得到图形，若图形与轴有交点时，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
下列函数图象不可能是一次函数的图象的是( )
A. B.
C. D.
如图是函数的图象，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：
用水量吨 不超过吨的部分 超过吨不超过吨的部分 超过吨的部分
单位元吨
设某户居民家的月用水量为吨，应付水费为元，则关于的函数表达式为______．
下列函数中：；；；；其中是的一次函数的是______ 填所有正确答案的序号．
如图，点的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为____．
已知直线与函数的图象相交于，两点点在点的左边．
点的坐标是_______．
已知是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移个单位，点，平移后的对应点分别为，，连结，当_______时，取最大值．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图是某汽车行驶的路程与时间分钟 的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：
求汽车在前分钟内的平均速度．
汽车在中途停留的时间．
求该汽车行驶千米的时间．
四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度沿运动，到点停止如图，设点的运动时间为，的面积为
求的长；
求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当，有我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．
正比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
若一次函数是闭区间上的“闭函数”，试说明、、应满足什么数量关系？
若函数是闭区间上的“闭函数”，且、为整数，求实数、的值．
已知函数、为常数，当时，；当时，；请对该函数及其图象进行如下探究：
求函数的解析式；
请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：______；
根据函数图象解决下列问题：
若，为该函数图象上不同的两点，则______；
若方程有两个不相等的实数解，，且，则的取值范围是______．
如图，直线与轴，轴分别交于，两点，其中．
求的值；
若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式；
探索：
当点运动到什么位置时，的面积是；
在成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
A、两个山村盛产柑桔，村有柑桔吨，村有柑桔吨．现将这些柑桔运到、两个冷藏仓库．已知仓库可储存吨，仓库可储存吨；从村运往、两厂的费用分别为每吨元和元，从村运往、两厂的费用分别为每吨元和元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨，、两村运往两仓库的柑桔运输费用分别元和元
根据题意填写下表：
总计
______ 吨 吨
______ 吨 ______ 吨 吨
总计 吨 吨 吨
求、与之间的函数关系式；
考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过元．在这种情况下，请问怎样调运可使两村总运费最少？并求出最少总运费．
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为上一点，点为上一点，交于，．
求直线和直线的解析式；
若，求点的坐标；
若，求点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点．
求点的坐标．
设轴上有一点，过点作轴的垂线垂线位于点的右侧，分别交函数的图像和的图像于点、，连接若，求的面积．
如图，直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，过作平行轴的直线，交于点，点在线段上，延长交轴于点，点在轴正半轴上，且．
求直线的函数表达式．
当点恰好是中点时，求的面积．
是否存在，使得是直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用图象表示变量之间的关系的有关知识，根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
【解答】
解：由纵坐标看出甲先行驶了千米，由横坐标看出甲行驶千米用了分钟，
甲的速度是千米分钟，
由纵坐标看出两地的距离是千米，
设乙的速度是千米分钟，由题意，得
，
解得千米分钟，
相遇后乙到达站还需分钟
相遇后甲到达站还需分钟，
当乙到达终点时，甲还需分钟到达终点，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：若点在上时，如图
，，
，在和中，，∽，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即，
，当时，代入方程式解得：舍去，，
，，，
矩形的面积为；
故选：．
易证∽，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】
解：多边形的对角线条数与边数是函数关系；
三角形面积与它的底边不是函数关系，；
中的与是函数关系；
中的与是函数关系；
圆的面积与圆的半径是函数关系．
综上，是函数关系的有、、、共个．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：，为常数，，自变量次数为．
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】
解：是一次函数；
，自变量次数为，不是一次函数；
不是一次函数；
，是一次函数；
自变量在分母下面，不是一次函数；
综上，是一次函数有共个．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键根据一次函数与正比例函数的定义求解．
【解答】
解：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查一次函数的图象及性质；能够熟练掌握一次函数的图象及性质，由图象能够准确获取信息是解题的关键，由图象可知，此函数图象与轴交点为，因此当时，．
【解答】
解：由图象可知，当时，，
当时，；
故选：．

7.【答案】
【解析】解：、图象经过第一，三，四象限，错误；
B、函数值随的增大而增大，错误；
C、图象在轴上的截距是，错误；
D、图象在轴上的截距是，正确；
故选D
根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分段函数和一次函数的综合应用、根据题意和图像理解图像中的斜率表示速度是解题关键，根据图象分别求出进水和出水速度即可．
【解答】
解：由题意可知进水速度为升分，解得
设出水速度为，自变量在∽时，
由函数图像可得：
解得：升分
故选C
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需先求出单价．根据总价单价数量列出函数解析式．
【解答】
解：依题意有单价为元，
则有
故选A．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系和数形结合的知识点；根据题意，作关于对称的直线为，可得的直线方程，联立方程组，解出交点横坐标，即可求解．
【解答】
解：作关于对称的直线为，可得的直线方程
解得：交点横坐标为和，
二者都在范围之内，
．
故选A ．
11.【答案】
【解析】
【分析】
一次函数的图象有四种情况： 当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
注意当时，且值变大时，图象与轴的夹角的锐角变大．根据图象，确定一次项系数及常数项的性质符号，再作判断．若不等式的解集有公共部分，则有可能；反之，则不可能．
【解答】
解：根据图象知：
A.，解得，所以有可能；
B.，解得两不等式没有公共部分，所以不可能；
C.，解得，所以有可能；
D.，解得，所以有可能．
故选B．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解即可．
【解答】
解：一次函数经过点，
，．
函数值随的增大而减小，则；
解关于，
移项得：，即；
两边同时除以，因为，因而解集是．
故选C．

13.【答案】
【解析】【试题解析】
解：当时，，
故答案为：．
月用水量为吨时，应付水费分两段计算：不超过吨的部分以及超过吨不超过吨的部分．
本题主要考查了函数关系式，函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的一般形式是解题的关键．依据一次函数、反比例函数、二次函数的定义求解即可．
【解答】
解：是正比例函数也是一次函数，故正确；
是反比例函数，故错误；
是二次函数，故错误；
是一次函数，故正确；
可变形为，是一次函数．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示点坐标的等腰直角三角形是解题的关键．先过点作，垂足为点，由于点在直线上运动，所以是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可求出点的横坐标，，代入直线可得点的纵坐标，即可得出点的坐标．
【解答】
解：先过点作，垂足为点，由垂线段最短可知，当与点重合时最短，
点在直线上运动，
是等腰直角三角形，
过作轴，垂足为，
为等腰直角三角形，
点的坐标为，
，
点的横坐标为，代入直线得，
点的纵坐标为，
坐标为，
即当线段最短时，点的坐标为
故答案为：
16.【答案】；
【解析】解：直线与函数的图象相交于，两点，且点在点的左边，
点的坐标是方程的解，
解得，
，
故答案为：
联立方程
解得，
点坐标为，
将，向右平移个单位得，，
中两边之差小于第三边，
，，三点共线时，取最大值，最大值为长度，
设，，所在直线正比例函数为，
将，坐标代入可得：
，
解得．
故答案为：．
因为点在点左边，联立方程与求解．
，，共线时满足题意，用含代数式分别表示，坐标，然后代入正比例函数解析式求出即可．
本题考查一次函数的综合应用，一次函数与二元一次方程组，平移中的坐标变化，三角形三边关系，解题关键是掌握一次函数的性质及求线段和差最值的方法．
17.【答案】解：汽车在前分钟内的平均速度是：；
汽车在中途停了：分钟；
当时，
则设与的函数关系式为：，
将，代入得：，
解得：，
故当时，与的函数关系式为：；
当时，则，
解得分钟
答：汽车行驶千米的时间是分钟．
【解析】直接利用总路程总时间平均速度，进而得出答案；
利用路程不发生变化时，即可得出停留的时间；
利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入解析式求得即可．
此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出点的坐标是解题关键．
18.【答案】解：过点作于，则，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
；
当点在上即时，；
当点在上即时，
过点作交于，交于，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
当
；
当点在上即时，．
综上，
【解析】过点作于，则，证明四边形为矩形，结合矩形的性质可求得长，再利用含度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解的长，即可求得的长；
可分三种情况：当点在上即时；当点在上即时；当点在上即时，利用三角形的面积分别计算可求解．
本题主要考查懂点函数的图象，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
19.【答案】解：当时，；当时，．
．
正比例函数是闭区间上的“闭函数”．
一次函数中，，
一次函数在闭区间上随的增大而减小．
一次函数是闭区间上的“闭函数”，
当时，；当时，．
将，；，代入得：．
解得：．
如图所示，当时，
一次函数在闭区间上随的增大而增大．
即时，，，
时，，，
，
当时，
一次函数在闭区间上随的增大而减小．
即时，，
时，，
，
函数的最大值是，
且、为整数，
，．
【解析】将，分别代入正比例函数，从而可求得的范围，于是可做出判断；
根据一次函数的性质可知在闭区间上随的增大而减小，然后将，，，分别代入一次函数的解析式，从而可求得；
本函数是分段函数，先确认两个函数的增减性，根据“闭函数”的定义可得结论．
本题主要考查了一次函数的性质的知识，解答本题的关键是理解闭区间以及闭函数的意义，此题第三问有难度．
20.【答案】解：把时，；时，代入得，
解得，
该函数的解析式为；
由列表如下：
描点连线：
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
；
；
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
根据题意解方程组即可得到结论；
利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，利用描点法画出图象即可；观察图象可得出函数的性质．
根据表格中数据即可求得结论；
根据题意且利用图象即可解决问题．
【解答】
解：见答案；
画函数图象见答案；
观察图象可知：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
故答案为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
由表格中数据可知：若，为该函数图象上不同的两点，则；
故答案为；
把代入得；
根据题意结合函数的图象可知的取值范围是，
故答案为．
21.【答案】解：，
，
点在直线上，
，
；
由知，，
直线解析式为，
点是第一象限内的直线上的一个动点，
，
；
如图，
由知，，
的面积是；
，
，
；
设点，
，
，，
当时，，
，，；
当时，，
或，；
当时，，
，；
即：满足条件的所有点的坐标为，，，．
【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，分类讨论的数学思想，解本题的关键是求出点的坐标．
先确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出；
借助得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
利用三角形的面积求出点坐标；
设出点，表示出，，计算出，分三种情况讨论计算即可得出点坐标．
22.【答案】
【解析】解：填表如下：
总计
吨 吨
吨 吨 吨
总计 吨 吨 吨
故答案为：吨、吨、吨．
解：根据题意得：，
，
的取值范围是：，
答：、与之间的函数关系式分别是，，自变量的取值范围是．
解：由，得，解得，
设、两村运费之和为，
则，
，
随着的增大而减小，
又，
当时，有最小值，最小值是元，
，，．
答：若村的柑桔运费不得超过元，在这种情况下，从村运往仓库的柑桔重量为吨，运往仓库的柑桔重量为吨，从村运往仓库的柑桔重量为吨，运往仓库的柑桔重量为吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是元．
由村共有柑橘吨，从村运往仓库吨，剩下的运往仓库，故运往仓库为吨，由村已经运往仓库吨，仓库可储存吨，故B村应往仓库运吨，剩下的运往仓库，剩下的为，化简后即可得到村运往仓库的吨数，填表即可；
由从村运往、两厂的费用分别为每吨元和元，从村运往、两厂的费用分别为每吨元和元，由表格中的代数式分别求得、与之间的函数关系式；
首先由村的柑桔运费不得超过元得出不等式，求出自变量的取值范围，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，利用一次函数的性质求得最值．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．
23.【答案】解：把代入得，解得，
所以直线的解析式为，
当时，，则，
因为，
所以，解得，则，
设直线的解析式为，
把，分别代入得
，解得，
所以直线的解析式为；
设，
因为，
所以，解得，
所以，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
即直线的解析式为，
解方程组得，
所以点坐标为；
因为，
所以，
设，
所以，解得，
所以点坐标为．

【解析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
先把点坐标代入求出的值，从而得到直线的解析式为，再求出点坐标，接着利用三角形面积公式计算出，得到，然后利用待定系数法求直线的解析式；
设，根据三角形面积公式得到，解得，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后通过解方程组得点坐标；
由于，则，设，根据三角形面积公式得，然后解方程求出即可得到点坐标．
24.【答案】解：由解得
点的坐标为
如图，过点作轴的垂线，垂足为．
由题意，得，．
在中，由勾股定理，得 ．
．
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为．
．
，解得．

【解析】见答案
25.【答案】解：将点、的坐标代入函数表达式：并解得：
，，
故抛物线的表达式为：；
当时，
解得，
点的坐标为，
，
是中点，
，
则≌，
，
，
过点作轴于点，
；
当时，
，则是中线，则，
故点，
由点、的坐标可得：直线的表达式为：，
故点，则；
当时，则点，
则，
故点，
同理直线的表达式为：，
故；
综上，或．
【解析】将点、的坐标代入函数表达式：，即可求解；
证明≌，；
当时，，则是中线，则，故点，即可求解；当时，则点，则，故点，即可求解．
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直线与直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
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