人教 初三上数学期末专题复习----概率（含解析）

人教九上数学期末复习专题----概率
【复习目标】
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
【要点梳理】
1.事件：
（1）必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；
（2）不可能事件是指在一定条件下不会发生的事件；
（3）随机事件是指在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件.
2.概率：刻画某个事件A发生的可能性大小的数值称为这件事情的概率，记为P(A)；
P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1
3.概率的计算：一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含m种可能的结果，那么事件A发生的概率为.
4.确定事件和随机事件的概率之间的关系 ：
⑴确定事件概率
①当A是必然发生的事件时，P（A）=1.
②当A是不可能发生的事件时，P（A）=0.
⑵确定事件和随机事件的概率之间的关系
方法技巧提炼：
1.事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中:
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2.求取概率的常用方法：
3.随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
4．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
列举法求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件的概率.
穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用列举的方法，把所有可能的结果直接排列出来；
列举法求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件的概率.
穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用列举的方法，把所有可能的结果直接排列出来；
例1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为.
【总结升华】利用穷举法（或树状图）列出所有的可能，看符合题意的占多少.
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
①列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
②列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
（3）树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法.
用列举法求概率的一般步骤：
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
考点一、利用树状图或表格求概率：
利用树状图或表格可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
1.画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法．树状图法是将试验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，以此类推……把事件所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复或遗漏，既形象直观又条理分明.
2.列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要方法，当一次试验涉及两个步骤时，将其中一个步骤作为行，另一个步骤作为列，列出表格，将事件所有可能的结果列在表格中.
特别提醒：
用画树状图或列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同；（2）当一次试验要涉及3个或更多因素时，用画树状图法较简便.
判断游戏的公平性：
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数÷总情况数．
1.利用概率可以判断游戏的公平性和制定公平的游戏规则；
2.判断游戏公平性的两种类型：
（1）若游戏中不计得分情况，则可通过计算概率来判断是否公平．若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平
（2）若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算出得分．若得分相同，则游戏公平；若得分不相同，则游戏不公平.
3.将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率
在利用列表或画树状图的方法求实际问题时，往往会出现这样的问题，如“配紫色”游戏中转动两个转盘，当转盘停止时，两个转盘的指针所指扇形的颜色恰好能配成紫色的概率，而所给转盘被分割成几个大小不同的扇形并在上面涂上某种颜色，显然指针指向这些不同扇形的可能性是不同的，那么这类问题该如何解决呢？方法是：将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率.
考点二、用频率估计概率：
用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
随着试验次数的增加，这个事件发生的频率呈现出稳定性，逐断稳定于某一数值，可以用这一事件发生的频率估计这个事件发生的概率.
特别提醒：
①试验得出的频率只是概率的近似值；
②大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
要点诠释：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
用抽样法估计总体数目
用抽样法估计某一种颜色球的数目的问题的解决方法：
从袋中随意摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录其中某一颜色球出现的次数，利用频率来估算这颜色球的数目.
特别提醒：
依据：试验频率≈概率
利用替代物模拟试验估计概率
在估算事件发生的概率时，有些调查虽然既费时又费力，但是要想使这种估算尽可能准确，就需要尽可能多地增加调查对象，在这种情况下，我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率通过模拟试验，在室内就可以完成进行试验、收集数据、统计结果等过程.
特别提醒：
替代物与被替代物的形状、大小、质地可以差别很大，但用替代物模拟试验时，选取的替代物不能影响试验的结果.
用计算器模拟试验估计概率
利用计算器产生随机数的大体步骤是：
（1）进入产生随机数状态；
（2）输入所产生随机数的范围；
（3）按键得出随机数.
特别提醒：
不同的计算器产生随机数的方法不一定相同.
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本章经典题型归纳
题型一 利用直接列举法求随机事件的概率
【方法总结】一般地，如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为.
用列举法求概率的关键是，找到所有可能发生的结果，以及某一事件发生的结果.注意列举时要分类处理，要一一列举出来，保证结果不重不漏.
例1.如图是正方形网格，除A，B两点外，在网格的格点上任取一点C，连接AC，BC，能使△ABC为等腰三角形的概率是（　　）
A. B． C． D．
【解析】如图，∵AB＝＝，
∴①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4，C5，共5个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C6，C7，C8共3个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有8个．
∴能使△ABC为等腰三角形的概率是．
【答案】D．
题型二、用列表法求随机事件的概率
【方法总结】用其中一次操作或一个条件作为横行，另一次操作或条件作为竖行，列表计算概率.
用列表法求概率适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率；
(2)运用列表求概率，要先列出表格，即不重不漏地列出所有等可能的结果，再通过表格确定出关注结果数k和所有等可能的结果数n,最后利用公式P(A)=计算概率.
温馨提示：在列表法求随机事件发生的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相等.
例2.（哈尔滨中考）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为　___________　．
【解析】列表得：
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为.
【答案】
题型三、 画树状图法求随机事件的概率
【方法总结】适用于求两步或两步以上试验的事件发生的概率.
用树状图求概率“四部曲”：
定：确定试验的几个步骤、顺序、可能产生的结果；
画：列举每一环节可能产生的结果，得出树状图；
数：数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n；
（4）算：代入概率公式计算.
温馨提示：
（1）在利用树状图求概率时，要关注每种结果出现的可能性是否相同，在列举各种情况时，不能重复，也不能遗漏，要按一定的顺序进行排列.
（2）对于分步较多的树状图，一般选用纵向画法，这样有利于向下书写，对于较为简单的树状图，纵向和横向画法均可使用.
例3. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【分析】
（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示:
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．
题型四 、 概率与游戏公平性
【方法总结】判断游戏是否公平的（类似地，如奖项设置是否合理），关键是看游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等则游戏规则公平，若不相等，则说明游戏不公平．与摸球有关的概率问题要注意首次摸出的球是否放回对所求概率的影响.
例4.小林有3张扑克牌，小丽有2张扑克牌，扑克牌上的数宇如图所示．两
人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张．
（1）求两人抽取的扑克牌上的数字之积为奇数的概率；（用“列表”或“画树状图”的方法说明）
（2）若两人抽取的扑克牌上的数字之积为奇数，则小林胜，否则小丽胜，这个游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使得游戏公平；若公平，请说明理由．
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用
概率公式求解即可求得答案；
根据概率公式先求出小林和小丽获胜的概率，再进行比较得出游戏的公平
性，要游戏公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，然后进行修
改即可.
【解析】（1）根据题意画图如下：
∵共有6种等可能的结果，两人抽取的扑克牌上数字之积为奇数的有2种情况，
∴P（数字之积为奇数）＝＝；
（2）由（1）得P（小林获胜）＝，
∴P（小丽获胜）＝1﹣＝，
∵＜，∴不公平，
修改规则：若两人抽取的扑克牌上的数字之和为奇数，则小林胜，否则小丽胜，
此时P（小林获胜）＝P（小丽获胜）＝．
题型五、 用频率估计概率
【方法总结】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数m和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．
例5.（大兴期末）
如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
例9题图
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（　　）
A.① B.② C.①② D.①③
【答案】 B
【解析】
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选B．
题型六、 几何概率
【方法总结】在有些问题中，试验的结果可能要用平面区域表示，事件的概率等于部分区域的面积和整个区域的面积之比.这种概率称为“几何概率”.
例6.如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为_______.
【答案】
【解析】∵AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，故它们把轮盘4等分，每一块阴影的面积在这一圈中都占.
题型七、 概率和其他知识的综合应用
【方法总结】这类题经常会将概率和统计综合在一起考察，解决问题时需要观察统计图表，读准信息，从图表中获取有用的信息，然后根据概率的意义与计算方法解决问题.，正确进行计算．用频率估计概率、用概率估算频数是两个经常被应用的知识点.
例7.（朝阳期末）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
例12题表
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______（结果保留小数点后一位）；
（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为_______度．
【解析】（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；
（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3=5000，
∴该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，
则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，
解得n=36，