四川省内江市威远中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

秘密★启用前
威远中学校2022-2023学年高二上学期期中考试
数学（理科）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1．若直线过点，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
若圆与圆外切则( )
A. B. 19 C. 9 D.
4. 若一个圆过三个点,,,则该圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
5. 已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A. B. C. D.
6.在下列四个正方体中，能得出的是（ ）
7、一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（　　）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m α，n∥α，则m∥n D．若m、n与 α 所成的角相等，则m∥n
9．如图长方体中，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10.如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成角；④DM与BN是异面直线.
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
11．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，分别是的中点，,则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得的截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.
13．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为_________.
14．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是______.
15. 点在不等式组表示的平面区域上运动,则的最小值为________.
16．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，
给出下列结论：
①； ②直线平面；
③平面平面；
④异面直线与所成角为；
⑤直线与平面所成角的余弦值为.
其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）
解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）求经过直线与直线的交点P，且垂直于直线的直线方程；
（2）求过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．
求证：（1）//平面；
平面平面．
19．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．
20．如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．
(1)证明；
(2)求点B到平面的距离.
21. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.
（1）求二面角的大小；
（2）在线段上是否存在一点，使平面平面？
若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.
22. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点A，B．
（1）求实数的取值范围；
（2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
（3）设的中点为．求点到直线x＋3y－10＝0的距离的最大值．
威远中学校2022-2023学年高二上学期期中考试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5：ADCCD 6-10：AACAC 11-12：D A
二、填空题
13． 14． 15．1 16. ①③④⑤
三、解答题
18.解：（1）连结是正方形的中心的中点
又是PC的中点 是的中位线 OE // PA ····3分
又 平面BDE, 平面BDEPA // 平面BDE; ·····6分
（2）底面，平面ABCD
···················8分
又
平面············10分
又 平面BDE平面平面．·········12分
19.（Ⅰ）由题意，得，……………………2分
化简，得，即．
∴点的轨迹方程是 ………………4分
∴轨迹是以为圆心，以为半径的圆． ……………6分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，：，
此时所截得的线段的长为，
∴：符合题意．……………………………8分
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
圆心到的距离由题意，得
解得 ……………………10分
∴直线的方程为．即．
综上，直线的方程为，或． …………………12分
20.（1）证明:连接，在直在直四棱柱中，
平面，所以，所以
而， ∴，∴
∵，∴ ……………5分
（2）由（1）知又，
∴，∵，
而，，∴=
设点B到平面的距离为h,而
由于，所以，即…………12分
21. 解：（1）如图，设分别是和的中点，连接，，……1分
∵，是的中点 ∴又在正方形中有
∴为二面角的平面角……………………3分
∵，，是的中点 ∴
同理可得，又 ∴是等边三角形，故
∴二面角为…………………………………………………………………5分
（2）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下 …6分
如图，设,,分别为,和的中点，连接,,,………8分
由（Ⅰ）知是等边三角形，故
∵，，
∴平面，故又
∴平面………………………………………10分
∵，分别为和的中点 ∴
又为线段的中点
∴，故四边形为平行四边形………………………………………11分
∴∴平面 又平面
∴平面平面…………………………………………………………………12分
解：∵圆与轴的正半轴交于点，∴圆心，半径，．
（1）∵直线与圆交于不同的两点，
∴圆心到直线的距离，
即 ，解得．…………3分
（2）设，
联立，可得，
∴，，
∴
为定值．
∴是定值，定值为．…………7分
（3）∵的中点为，∴，，
∴．记点到直线的距离为，
则，
令，则
∴
（当且仅当，即时取等号）．
∴点到直线的距离的最大值为．…………12分