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辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·抚顺期中）直线绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（ ）
A．-1 B． C． D．1
2．（2022高二上·抚顺期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·辽宁期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·抚顺期中）圆M：与圆N：的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．（2022高二上·抚顺期中）空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2022高二上·抚顺期中）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·抚顺期中）已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．（2022高二上·江西月考）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·抚顺期中）已知直线：，则下列选项中不正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线的斜率为
C．直线的一个法向量为
D．直线的一个方向向量为
10．（2022高二上·江西月考）设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，l、n间的距离为
D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
11．（2022高二上·江西月考）若关于x的方程有唯一解，则b的取值可能是（ ）
A． B．1 C． D．
12．（2022高二上·抚顺期中）如图，正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面截该正方体所得的截面面积为
D．三棱锥的体积为
三、填空题
13．（2022高二上·抚顺期中）直线：被圆：截得的弦长为 .
14．（2022高二上·抚顺期中）在直三棱柱中，，，，M是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为 .
15．（2022高二上·抚顺期中）写出到原点及点的距离分别为2，3的一条直线的方程 .
16．（2022高二上·江西月考）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为 ，反射光线所在直线在y轴上的截距为
四、解答题
17．（2022高二上·辽宁期中）已知直线：，直线：．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．（2022高二上·抚顺期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
19．（2022高二上·抚顺期中）已知圆经过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点向圆作切线，求切线方程.
20．（2022高二上·抚顺期中）如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角C1-AE-B的余弦值.
21．（2022高二上·抚顺期中）如图①，在平面多边形ABCDE中，，为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且，沿AD将折起，使得，M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.
（1）证明：；
（2）求直线DE与平面BEM所成角的正弦值.
22．（2022高二上·抚顺期中）已知圆：，过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）当直线的斜率为-4时，求的面积；
（2）若直线的斜率为k，直线OA，OB的斜率为，.
①求k的取值范围；
②试判断的值是否与k有关 若有关，求出与k的关系式；若无关，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因直线的斜率为1，倾斜角为45°，则直线绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，
所以对应的直线斜率为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，求出对应直线的倾斜角即可计算作答.
2．【答案】B
【知识点】中点坐标公式；两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意，，，可得的中点坐标为，
所以边上的中线长为，
故答案为：B.
【分析】求得的中点坐标为，利用两点间的距离公式即可求得答案.
3．【答案】B
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：B．
【分析】 根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解出答案.
4．【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，两圆的标准式分别为，，
则圆心和半径分别为，，
所以，，
则，故两圆相交，一共有2条公切线.
故答案为：B.
【分析】判断出两圆的位置关系即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：A
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
6．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，且，，
由勾股定理可知，，，
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则则，即，令可得，
则点B到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】根据已知数据判断出两两垂直，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用公式求出点B到平面的距离.
7．【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图所示：
记圆心到直线：的距离为，则.
因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.
故答案为：C
【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.
8．【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为，，
圆心到直线的距离，
则，
所以时间，
故答案为：C.
【分析】先以点为坐标原点建立直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】将直线的方程化为斜截式得，即直线的斜率，
对于A，由直线的斜率知，直线的倾斜角为，A错误，符合题意；
对于B，直线的斜率，B错误，符合题意；
直线的一个方向向量
对于C，，因此与不垂直，C错误，符合题意；
对于D，，∴，D正确，不符合题意.
选项中，不正确的有A，B，C三项.
故答案为：ABC.
【分析】求出直线的斜率，由斜率分别求出直线的倾斜角和方向向量，即可依次对各选项是否正确进行判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；两条平行直线间的距离
【解析】【解答】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故答案为：ACD
【分析】根据两条直线的平行、垂直的判定可判断选项A、B；利用平行线间的距离公式可判断C；利用点到直线的距离公式可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由题设，即，
问题等价于在上有唯一解，
令表示圆心为，半径为1圆的上半部分，
而表示斜率为的直线，如下图示：
只需、有唯一交点，
当直线与半圆右上部相切时，有，得，此时有唯一交点；
当直线过时，直线方程为，由图知：恒有两个交点；
当直线过时，直线方程为，由图知：恒有一个交点；
综上，或，原方程有唯一解.
故答案为：AD
【分析】由题意问题等价于在上有唯一解，画出图，数形结合可求出 b的取值 .
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，∴，
对于A，，与平面的法向量不平行，
∴直线与平面不垂直，A不正确；
对于B，，，
∴与平面的法向量不垂直，
∴直线与平面不平行，B不正确；
对于C，连接和，，∴，
因此，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，
直线的单位方向向量，取，
则，
∴点到直线的距离，
∴梯形的面积，
即平面截该正方体所得的截面面积为，C符合题意；
对于D，易知三角形与梯形等高，
∴，
，
点到平面的距离，即三棱锥的高，
∴三棱锥的体积，D不正确.
综上所述，选项中不正确的有A，B，D.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，可以通过与平面的法向量是否平行进行判断；
对于B，可以通过与平面的法向量是否垂直进行判断；
对于C，连接和，，∴，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，求出其面积即可；
对于D，使用空间向量求点到平面的距离，即三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积.
13．【答案】
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆C的圆心C ，半径 ，
记圆心到直线的距离为，则，
因为圆的半径为，所以直线被圆截得的弦长为；
故答案为： .
【分析】先求出圆C的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.
14．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设，则，，，，，
可得：，，
∵，则，得，
故，，
∴，
故异面直线与夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，则，得，故，，再利用空间向量求异面直线夹角.
15．【答案】x=2或或
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】到原点的距离为2的直线是以O为圆心2为半径的圆的切线，
到点的距离为3的直线是以M为圆心3为半径的圆的切线，
因此符合条件的直线是圆O与圆M的公切线，而，即圆O与圆M外切，它们有3条公切线，
显然直线与圆O、圆M都相切，且圆O与圆M都在直线及左侧，因此直线是圆O与圆M的一条外公切线，
圆O与圆M的连心线所在直线，则直线关于直线OM对称的直线为两圆的另一条外公切线，
设这条外公切线上任意一点为，则它关于直线OM的对称点必在直线上，设此点为，
因此，消去并整理得：，
则圆O与圆M的外公切线方程为，，
由解得，即圆与圆M相外切于点，
于是得圆与圆M的内公切线方程为，即，
所以所求直线方程为x=2或或.
故答案为：x=2或或
【分析】根据给定条件，求出以原点为圆心2为半径的圆和以点M为圆心3为半径的圆的公切线方程作答.
16．【答案】；.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；中点坐标公式
【解析】【解答】直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
则直线与的交点即为入射点，
，解得，故入射点坐标为，
反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即，
因此反射光线的斜率为，
所以反射光线的直线方程为，即，
故答案为：；.
【分析】根据已知条件求出入射光线所在的直线方程，从而可求出入射点坐标，利用对称知识求出反射光线所在的直线方程，进而求出反射光线所在直线在y轴上的截距.
17．【答案】（1）解：，
，
整理得，
解得或，
当时，与重合，舍去，
故．
（2）解：，
，
，
或．
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】 (1)根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解，可得实数的值；
(2)利用斜率存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1列方程，求出实数a的值.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；
（2），再根据向量数量积的运算律计算即可得解.
19．【答案】（1）解：设圆的方程为，
则 ，
解得，，，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为
（2）解：当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，
所以切线方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；
（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.
20．【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面，平面，所以.
又，，
平面，所以平面.
因为平面，所以
（2）解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以.
因为二面角C1-AE-B为钝角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判断定理可证明；
（2）建立空间直角坐标系，能求出二面角的余弦值.
21．【答案】（1）证明：因为，，
所以，
所以，又为等腰直角三角形，，
所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
连接AC，MD，由，且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以四边形为菱形，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）解：由（1）可知四边形为菱形，
，
因此为正三角形，
因为，，，，
所以AB，AE，AC两两垂直，
如图，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线DE与平面BEM所成的角为，
则，
故直线DE与平面BEM所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用线面垂直的判定定理可得平面 ， 平面 ，进而即得；
（2） 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 ，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量求法即得.
22．【答案】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为.
因为圆心到直线的距离，
所以，
所以
（2）解：直线的方程为.
①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，
得，
即的取值范围是；
②设，，
联立方程组，
得，
所以，.
因为，
所以，
即为定值，与直线的斜率无关.
【知识点】直线的点斜式方程；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)由题意可得直线 的方程为，即可得圆心到直线的距离，，再利用求解即可；
(2)①利用求解即可；
②设 ，， 联立直线与圆的方程由韦达定理可得 ，.，由可得，即可得答案.
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辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·抚顺期中）直线绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因直线的斜率为1，倾斜角为45°，则直线绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，
所以对应的直线斜率为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，求出对应直线的倾斜角即可计算作答.
2．（2022高二上·抚顺期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中点坐标公式；两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意，，，可得的中点坐标为，
所以边上的中线长为，
故答案为：B.
【分析】求得的中点坐标为，利用两点间的距离公式即可求得答案.
3．（2022高二上·辽宁期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：B．
【分析】 根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解出答案.
4．（2022高二上·抚顺期中）圆M：与圆N：的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，两圆的标准式分别为，，
则圆心和半径分别为，，
所以，，
则，故两圆相交，一共有2条公切线.
故答案为：B.
【分析】判断出两圆的位置关系即可得到答案.
5．（2022高二上·抚顺期中）空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：A
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
6．（2022高二上·抚顺期中）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，且，，
由勾股定理可知，，，
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则则，即，令可得，
则点B到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】根据已知数据判断出两两垂直，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用公式求出点B到平面的距离.
7．（2022高二上·抚顺期中）已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图所示：
记圆心到直线：的距离为，则.
因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.
故答案为：C
【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.
8．（2022高二上·江西月考）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为，，
圆心到直线的距离，
则，
所以时间，
故答案为：C.
【分析】先以点为坐标原点建立直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案.
二、多选题
9．（2022高二上·抚顺期中）已知直线：，则下列选项中不正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线的斜率为
C．直线的一个法向量为
D．直线的一个方向向量为
【答案】A,B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】将直线的方程化为斜截式得，即直线的斜率，
对于A，由直线的斜率知，直线的倾斜角为，A错误，符合题意；
对于B，直线的斜率，B错误，符合题意；
直线的一个方向向量
对于C，，因此与不垂直，C错误，符合题意；
对于D，，∴，D正确，不符合题意.
选项中，不正确的有A，B，C三项.
故答案为：ABC.
【分析】求出直线的斜率，由斜率分别求出直线的倾斜角和方向向量，即可依次对各选项是否正确进行判断.
10．（2022高二上·江西月考）设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，l、n间的距离为
D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；两条平行直线间的距离
【解析】【解答】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故答案为：ACD
【分析】根据两条直线的平行、垂直的判定可判断选项A、B；利用平行线间的距离公式可判断C；利用点到直线的距离公式可判断D.
11．（2022高二上·江西月考）若关于x的方程有唯一解，则b的取值可能是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由题设，即，
问题等价于在上有唯一解，
令表示圆心为，半径为1圆的上半部分，
而表示斜率为的直线，如下图示：
只需、有唯一交点，
当直线与半圆右上部相切时，有，得，此时有唯一交点；
当直线过时，直线方程为，由图知：恒有两个交点；
当直线过时，直线方程为，由图知：恒有一个交点；
综上，或，原方程有唯一解.
故答案为：AD
【分析】由题意问题等价于在上有唯一解，画出图，数形结合可求出 b的取值 .
12．（2022高二上·抚顺期中）如图，正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面截该正方体所得的截面面积为
D．三棱锥的体积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，∴，
对于A，，与平面的法向量不平行，
∴直线与平面不垂直，A不正确；
对于B，，，
∴与平面的法向量不垂直，
∴直线与平面不平行，B不正确；
对于C，连接和，，∴，
因此，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，
直线的单位方向向量，取，
则，
∴点到直线的距离，
∴梯形的面积，
即平面截该正方体所得的截面面积为，C符合题意；
对于D，易知三角形与梯形等高，
∴，
，
点到平面的距离，即三棱锥的高，
∴三棱锥的体积，D不正确.
综上所述，选项中不正确的有A，B，D.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，可以通过与平面的法向量是否平行进行判断；
对于B，可以通过与平面的法向量是否垂直进行判断；
对于C，连接和，，∴，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，求出其面积即可；
对于D，使用空间向量求点到平面的距离，即三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积.
三、填空题
13．（2022高二上·抚顺期中）直线：被圆：截得的弦长为 .
【答案】
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆C的圆心C ，半径 ，
记圆心到直线的距离为，则，
因为圆的半径为，所以直线被圆截得的弦长为；
故答案为： .
【分析】先求出圆C的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.
14．（2022高二上·抚顺期中）在直三棱柱中，，，，M是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设，则，，，，，
可得：，，
∵，则，得，
故，，
∴，
故异面直线与夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，则，得，故，，再利用空间向量求异面直线夹角.
15．（2022高二上·抚顺期中）写出到原点及点的距离分别为2，3的一条直线的方程 .
【答案】x=2或或
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】到原点的距离为2的直线是以O为圆心2为半径的圆的切线，
到点的距离为3的直线是以M为圆心3为半径的圆的切线，
因此符合条件的直线是圆O与圆M的公切线，而，即圆O与圆M外切，它们有3条公切线，
显然直线与圆O、圆M都相切，且圆O与圆M都在直线及左侧，因此直线是圆O与圆M的一条外公切线，
圆O与圆M的连心线所在直线，则直线关于直线OM对称的直线为两圆的另一条外公切线，
设这条外公切线上任意一点为，则它关于直线OM的对称点必在直线上，设此点为，
因此，消去并整理得：，
则圆O与圆M的外公切线方程为，，
由解得，即圆与圆M相外切于点，
于是得圆与圆M的内公切线方程为，即，
所以所求直线方程为x=2或或.
故答案为：x=2或或
【分析】根据给定条件，求出以原点为圆心2为半径的圆和以点M为圆心3为半径的圆的公切线方程作答.
16．（2022高二上·江西月考）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为 ，反射光线所在直线在y轴上的截距为
【答案】；.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；中点坐标公式
【解析】【解答】直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
则直线与的交点即为入射点，
，解得，故入射点坐标为，
反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即，
因此反射光线的斜率为，
所以反射光线的直线方程为，即，
故答案为：；.
【分析】根据已知条件求出入射光线所在的直线方程，从而可求出入射点坐标，利用对称知识求出反射光线所在的直线方程，进而求出反射光线所在直线在y轴上的截距.
四、解答题
17．（2022高二上·辽宁期中）已知直线：，直线：．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解：，
，
整理得，
解得或，
当时，与重合，舍去，
故．
（2）解：，
，
，
或．
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】 (1)根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解，可得实数的值；
(2)利用斜率存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1列方程，求出实数a的值.
18．（2022高二上·抚顺期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；
（2），再根据向量数量积的运算律计算即可得解.
19．（2022高二上·抚顺期中）已知圆经过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点向圆作切线，求切线方程.
【答案】（1）解：设圆的方程为，
则 ，
解得，，，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为
（2）解：当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，
所以切线方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；
（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.
20．（2022高二上·抚顺期中）如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角C1-AE-B的余弦值.
【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面，平面，所以.
又，，
平面，所以平面.
因为平面，所以
（2）解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以.
因为二面角C1-AE-B为钝角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判断定理可证明；
（2）建立空间直角坐标系，能求出二面角的余弦值.
21．（2022高二上·抚顺期中）如图①，在平面多边形ABCDE中，，为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且，沿AD将折起，使得，M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.
（1）证明：；
（2）求直线DE与平面BEM所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，，
所以，
所以，又为等腰直角三角形，，
所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
连接AC，MD，由，且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以四边形为菱形，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）解：由（1）可知四边形为菱形，
，
因此为正三角形，
因为，，，，
所以AB，AE，AC两两垂直，
如图，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线DE与平面BEM所成的角为，
则，
故直线DE与平面BEM所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用线面垂直的判定定理可得平面 ， 平面 ，进而即得；
（2） 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 ，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量求法即得.
22．（2022高二上·抚顺期中）已知圆：，过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）当直线的斜率为-4时，求的面积；
（2）若直线的斜率为k，直线OA，OB的斜率为，.
①求k的取值范围；
②试判断的值是否与k有关 若有关，求出与k的关系式；若无关，请说明理由.
【答案】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为.
因为圆心到直线的距离，
所以，
所以
（2）解：直线的方程为.
①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，
得，
即的取值范围是；
②设，，
联立方程组，
得，
所以，.
因为，
所以，
即为定值，与直线的斜率无关.
【知识点】直线的点斜式方程；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)由题意可得直线 的方程为，即可得圆心到直线的距离，，再利用求解即可；
(2)①利用求解即可；
②设 ，， 联立直线与圆的方程由韦达定理可得 ，.，由可得，即可得答案.
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