5.4.3正切函数的图象与性质课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（共31张PPT）

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然。
问题1：正切函数的定义是什么？
正切函数：
问题2：（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？
（2）能用不同的方法研究正切函数吗？
作正切函数图象→根据图象研究性质
正切函数定义→性质→研究图象
正切函数的图象与性质
学习目标
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
1、正切函数 y=tanx 的性质
（2） 周期性：
由诱导公式
可知，
正切函数是周期函数且周期是π.
（3） 奇偶性:
由诱导公式
可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
正切函数定义域关于原点对称
正切函数图象关于原点对称
正切函数图象以π为周期重复出现
可以研究正切函数在 之间的图象和性质，再加以拓展.
思考？你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
（1）定义域：
过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则
如图，设 在坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0,y0）.过点B作x轴的垂线，垂足为M；
由此可见，当 时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数
　 的图象
由三角形相似知
探究！
如何画正切函数 y=tanx 在 的图象？
y0
x0
观察右图可知，当x∈[0 ,??????????)时，随着x的增大, 线段AT的长度也在增大.
?
当x→ ????????时，AT的长度趋向无穷大.
?
相应地，函数y=tanx，x∈[0 ,??????????)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x= ????????.
?
探究！你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
正切函数是奇函数，只要画函数 y = tanx ，x∈[0，????????)的图象关于原点的对称图形，就可以得到y=tanx ，x∈?(-????????，0]的图象；
?
?????????
?
正切函数的周期是π，只要把函数 y = tanx ，x∈(-????????，????????)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数
的图象
?
，我们把它叫做正切曲线.
2、正切函数图象
有无穷多支曲线组成，
由直线 隔开
在每支里是单调递增的
有渐近线
对称中心
正切曲线
x
y
O
正切函数在每一个区间(- ????????+kπ， ?????????+kπ)
(k∈Z)上都是增函数。
?
（4）、单调性：
（5）值域
当x∈(- ????????，?????????)时，tanx在(-∞，+∞)内可取到任意实数，因此，正切函数值域是实数集R.
?
正切函数y=tanx的性质
图
象
性
质
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
对称性
R
奇函数
最小正周期:π
在 上单调递增
对称中心 ，无对称轴
＝
x
y
o
x
y
o
思考1：根据正切函数的图像，
函数是否是定义域上
的增函数？
思考2：函数f(x)=Atan(ωx+φ)
的周期是多少？
例1
√
√
性质应用
正切函数的定义域、周期性与奇偶性
反思感悟
②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
跟踪训练1
√
因为f(x)＝sin x＋tan x，
例2
√
正切函数的图象特征
正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.
反思感悟
(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为
跟踪训练2
√
√
例6 求函数 的定义域、周期及单调区间.
正切函数的单调性及其应用
因为w=????????，所以最小正周期????=????|????????|=????
?
∴所求的单调递增区间为(?????????????????,????????+????????)(????∈????),无减区间
?
整体代换
例3
反思感悟
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
跟踪训练3
(2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4.
(2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4.
tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
tan 4＝tan(4－π).
∴tan(2－π)即tan 2例4
正切函数图象与性质的综合应用
所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集是
反思感悟
跟踪训练4
画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
由图象可知，函数
值域为[0，＋∞)，是偶函数.
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正切函数图象的画法.
(2)正切函数的性质.
2.方法归纳：整体代换、换元法.