5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（共30张PPT）

同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？
请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.
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y=sinx x?R
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y=cosx，x∈R
正、余弦函数的图象与性质
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
问题1：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余弦函数的还有哪些性质？
有单调性、最值等性质
追问：大家观察????=????????????????,????∈?????2,3????2的图像，函数值有什么特点？
?
当????∈?????2,????2时，曲线逐渐上升， ????=????????????????是增函数， ????????????????的值由-1增大到1，当????∈????2,3????2 时，曲线逐渐下降， ????=????????????????是减函数，????????????????的值由1减小到-1.
?
思考：能把????∈?????2,3????2的单调性推广到整个定义域呢？
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y=sinx ：在每一个闭区间 ?????????+????????????,????????+????????????(????∈????)上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 ????????+????????????,????????????+????????????(????∈????)上单调递减，其值从1减小到-1.
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y=sinx x?R
????=?????????????????：在每一个闭区间 ?????+2????????,??2???????? (????∈????) 单调递增，?????????????????的值由-1增大到1.
在每一个闭区间 2????????,??????+2???????? (????∈????)单调递减，?????????????????的值由1减小到-1.
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对于?????=????????????????,????∈????的图像，单调性如何？
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y=cosx，x∈R
问题2：继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，????的取值有何规律？
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当????=????????+????????????(????∈????)时，????????????????=????；
当????=?????????+????????????(????∈????)时，????????????????=?????
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当????=????????????(????∈????)时，????????????????=????
当????=????????????+????(????∈????)时，????????????????=?????
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y=sinx x?R
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y=cosx，x∈R
问题3：继续观察图像，正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
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y=sinx x?R
x
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o
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y=cosx，x∈R
正弦曲线关于点（ ?????????，0） (????∈????)和直线????=????????+????????(????∈????) 对称.
?
余弦曲线关于点(????????+????????，????)(????∈????) 和直线 x= ???????? (????∈????)对称.
?
继续观察相邻对称轴(或对称中心)的距离是
继续观察相邻对称轴和对称中心的距离是
????????
?
????????
?
观察对称轴(或对称中心)的正(余)弦值有什么特点？
正弦函数、余弦函数的性质
图
象
y=sinx
y=cosx
性
质
定义域
值域
奇偶性
周期性
(－∞，＋∞)
[－1,1]
奇函数
偶函数
最小正周期:2π
最小正周期:2π
x
y
-1
O
1
π
2π
-2π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
性
质
单调性
最值
对称性
在?????????+????????????,????????+????????????(????∈????)上单调递增；
在????????+????????????,????????????+????????????(????∈????)上单调递减
?
在[－π＋2kπ， 2kπ]
(k∈Z)上单调递增；
在[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上单调递减
当????=????????+????????????(????∈????)时，
ymax＝1；
当????=?????????+????????????(????∈????)时，
ymin＝－1。
?
当x＝2kπ (k∈Z) 时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ(k∈Z) 时，ymin＝－1。
对称中心:(kπ,0) (k∈Z)
对称轴:????=????????+????????(????∈????)
?
对称中心:(????????+????????,????)(????∈????)
对称轴： x= ???????? (????∈????)
?
图
象
y=sinx
y=cosx
x
y
-1
O
1
π
2π
-2π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
利用单调性比较大小

性质应用

（1） ；
（2） ．
解：（1）因为 ，
正弦函数y＝sinx在区间 上单调递增，
所以
例4　不通过求值，比较下列各数的大小：
解：（2） ，

且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，
所以

（1） ；
（2） ．
例4　不通过求值，比较下列各数的大小：
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
反思感悟
(1)cos 1，sin 1；
跟踪训练1
(2)sin 164°与cos 110°.
cos 110° (3)下列关系式中正确的是
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°√
(4)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
A.sin αC.cos αcos β
√
求正弦函数、余弦函数的单调区间


解：
例5　求函数　　　　　　 　　　　　　　的单调递增区间．
由?????????????????????≤????????????+????????≤????????????+????????(????∈????)解得
?????????????????????????≤????≤????????????+????????(k∈Z)
又?????????≤????≤????????，
∴?????????????≤????≤????????。
?
∴所求的单调递增区间为[?????????????,????????]
?
整体代换
求函数 的单调递增区间。
思考：

解：
由????????????+????????≤?????????????????????≤????????????+????????????(????∈????)解得
????????????+????????????≤????≤????????????+????????????????(k∈Z)
又?????????≤????≤????????，
∴?????????≤????≤?????????或∴????????????≤????≤????????.
?
∴所求的单调递增区间为[?????????,?????????]，[????????????,????????]
?
整体代换
求函数 的单调递增区间。
思考：
????=?????????????????????????????????=??????????????????????????????????
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复合法的应用
反思感悟
求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上.
同时注意单调性复合法的应用
跟踪训练2
整体代换
正弦函数、余弦函数的最值(值域)

例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合
使函数 取得最小值的x的集合，就是
使函数 取得最小值的x的集合
函数 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是
所以使函数 取最大值的x的集合是
同理，使函数 取最小值的x的集合是
函数 取最大值是3，最小值是-3。
整体代换
反思感悟
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后利用三角函数性质求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).
√
跟踪训练3
∴?12≤cos(????+????6)≤32
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解三角不等式

x
y
O
2π
π
1
-1
例 当x∈[0，2π]时，求不等式??cos????≥12 的解集.
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若改成：cos????≥12，????∈???? 呢？
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x
y
O
1
-1
y=cosx
画图原则，能连不散
????,????????∪[????????????,????????]
?
练习
求下列函数 的定义域；
由????>????????+????????????????????????????????????????????≥????≥????得,
????解得????所以定义域为????,????????∪[????????????,????].
?
由?????????????????????????≥?????????????????????????????>????得????????????????≤????????????????????????>????????,
????????????+????????≤????≤????????????+????????????????????????+????????解得????????????+????????≤????所以定义域为:
[????????????+????????,????????????+????????????)????∈????.
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课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦、余弦函数的单调区间.
(2)比较三角函数值的大小.
(3)正弦、余弦函数的最值(值域).
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.