5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（共17张PPT）

一物体做匀速直线运动的位移s与时间t之间的关系可以用一次函数来刻画;它做匀变速直线运动的位移s与时间t之间的关系可以用二次函数来刻画
很多自然现象都可以通过函数来刻画其本质……
四季变化
围绕其他行星公转
从前面的学习中我们已经看到三角函数具有“周而复始”的变化规律
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
正、余弦函数的图象
学习目标
1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.
2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式????????????(????±????????)=?????????????????，????????????(????±????????)=?????????????????来表示.这说明，自变量每增加(减少)????????，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
?
下面先研究函数????=?????????????????，????∈????的图象，从画函数????=?????????????????，????∈[????,????????]的图象开始.
?
在[0,2π]上取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？
如图，在直角坐标系中画出以原点????为圆心的单位圆⊙????，与????轴正半轴的交点为????(????,????).在单位圆上，将点????绕着点????旋转????????弧度至点????，
根据正弦函数的定义，点????的纵坐标????????=?????????????????????.
由此，以????????为横坐标，????????为纵坐标画点，
即得到函数图象上的点????(????????,?????????????????????).
?
????
?
????????
?
????(????????,?????????????????????)
?
O
y
x
????????
?
????????
?
????
?
????
?

O
y
x
若把????轴上从0到2????这一段分成12等份，使?????????的值分别为0，????????，????????，????????，…，2????，
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点????(????????,?????????????????????)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
?
事实上，利用信息技术，可使?????????在区间[0，2????]上取到足够多的值而画出足够多的点????(????????，?????????????????????)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得的比较精确的函数????=?????????????????，????∈[????，????????]的图象.
?
正弦函数的图象
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y=sinx x?[0,2?]
y=sinx x?R
正弦曲线
y
x
o
1
-1
将y=sinx, x?[0,2?]的图像左右平移即可
用这种方法作图，虽然比较精确，但不太实用。
思考：在精确度要求不太高时，如何作出正弦函数的图象?
观察正弦曲线，找出起关键作用的点
(0,0)
( ,1)
( ? ,0)
( ,-1)
( 2? ,0)
在精确度要求不太高时,常常作出这5个关键点,用光滑的曲线连起来就得到相应的简图。
y=sinx x?R
y=sinx x?[0,2?]
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”得连续光滑曲线
五点画图法
(0,0)
( ,1)
( ? ,0)
( ,-1)
( 2? ,0)
“五点法”画函数y=sinx在[0，2π]内的图象
y
x
o
1
-1
①列表
②描五点
③用光滑的曲线连接起来
“五点法”只画y=sinx在[0，2π]内的图象,要画在R内的图像,需要再左右平移即可
y=sinx x?[0,2?]
思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？
对于函数????=?????????????????，由诱导公式?????????????????=????????????(????+????????)得，????=?????????????????=????????????(????+????????)，????∈????.
而函数????=????????????(????+????????)的图象可以通过正弦函数????=?????????????????，????∈????的图象向左平移????????个单位长度而得到.所以，将正弦函数的图象向左平移????????个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示：
?
由三角函数定义可知，正弦函数、余弦函数时一对密切关联得函数。下面我们利用这种关系，借助正函数得图象画余弦函数得图象。
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y=cosx=sin(x+ ), x?R
(0,1)
( ,0)
( ? ,-1)
( ,0)
( 2? ,1)
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
观察余弦曲线，找出起关键作用的点
函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线
余弦曲线
y=cosx，x∈R
五点画图法
(0,1)
( ,0)
( ? ,-1)
( ,0)
( 2? ,1)
“五点法”画函数y=cosx在[0，2π]内的图象
y
x
o
1
-1
①列表
②描五点
③用光滑的曲线连接起来
“五点法”只画y=cosx在[0，2π]内的图象,要画在R内的图像,需要再左右平移即可
y=cosx x?[0,2?]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识

一
　　下列叙述正确的个数为
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
例1
　　　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是
A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
跟踪训练1
√
“五点(画图)法”应用

二
练 你能画出y=|sin x|在[0,2????]的图像吗？
解:函数y=sin x，[0,2????]的图像如图所示
y
x
O
π
1
2π
-1
y
x
O
π
1
2π
-1
故函数y=|sinx|，[0,2????]的图像如图所示：
请同学们观察，函数y=sin x与函数y=|sin x|的图像有什么关系？
正弦函数、余弦函数图象的应用

三
　　不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为
例3
数形结合
√
延伸探究　
1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集.
反思感悟
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤：
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
　　　方程x2－cos x＝0的实数解的个数是___，所有的实数解的和为___.
跟踪训练3
2
0
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的图象.
(2)“五点法”作图.
(3)函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.