期中学业水平检测
2022—2023学年度第一学期期中学业水平检测
试题
高三数学试题 2022.11
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码
粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
x
1．设集合M {x R | x 2 4 }，N {x R | 22 2} ，则M N
A． (0,1) B． (0,2) C． ( 2,2) D． ( 2,0)
2．已知 tan 1 ，则 cos 2
2
1 1 3 3
A． B． C． D．
3 3 5 5
3．已知正四棱锥各棱的长度均为 2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
8π
A． B．8π C．16π D．32π
3
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记
录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足 L a b lnV（其中 a，b
为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录
法的数据为 4.0时小数记录法的数据为0.1，则
A．a 5，b lge B． a 5，b 1 C． a 5，b ln10 D．a 1，b 5
5．把函数 y f (x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平
π
移 个长度单位，得到函数 y sin(2x π )的图象，则
6 6
A． f (x) sin(4x π ) B． f (x) sin(4x π )
6 6
f (x) sin( x π x πC． ) D． f (x) sin( )
2 12 2 12
高三数学试题 第 1 页 （共 4 页）
6．已知函数 f (x)的定义域为R ，且 f (x 2)是奇函数， f (2x 1)是偶函数，则
A． f (3) 0 1B． f (1) 0 C． f (0) 0 D． f ( ) 0
2
7．设 a 0.01，b ln 0.99，c cos( 0.99) ，则
A． a b c B．b a c C． c b a D． c a b
π 4 2
8．已知 (0， ) ，则 2 2 tan 的最小值为
2 sin2 cos2
A．8 B．12 2 2 C．6 D．5
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知 a b 2 ，则
A． ab 1 B． 2a 2b 6
C．若2a2 ab 3 0，则 3 a 1 D．a2 b2 2
10．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，则
A． AC // 平面 A1BC1 B． AD 平面 A1BC1
C． A1C1 AD1 D．平面 A1BC1 平面 BB1D1D
π π
11．已知函数 f (x) sin(2x ) 3sin(2x ) 2 3 sin x cos x ，则
6 6
A． f (x) π的最大值为 2 B． x 是 f (x) 的图象的一条对称轴
3
π π π
C． f (x) 在 ( ， ) 上单调递减 D． f (x) 的图象关于 ( ，0)对称
6 3 6
12．已知等腰三角形 ABC的面积为 3 ， ABC 120 ，点 E，F分别在线段 AC，AB上，点D
AD sin2 π满足 AB cos2 AC ，其中 (0， ) ，若DE AC，DF // AC，则
2
A．D 在 线段 B C上 B．D F B E 0
C． | DF 2CE | 2 3 D．DE BF 有最大值
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分。
a R f (x) x 2， x 413．已知 ，函数 ，若 f ( f (9)) 1，则 a ．
| x 3 | a，x 4
14．已知向量 a (1，2)，b ( 3，t)，若 a b，则 | a 2b | ．
15．已知圆台的上、下底面半径分别为 2，4，高为 3 ，点M，N 分别在圆台上、下底面圆周上，
则MN 的最大值为 ．
高三数学试题 第 2 页 （共 4 页）
16．如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为1的两圆C1，C2 相切于点 A(0，1) ，C1的圆心为原点
O，C2 的圆心为C2 ．若圆C2沿圆C1顺时针滚动，当滚过的弧长为1时，点C2 所在位置的坐
标为 ，圆C2上的点 A所在位置的坐标为 ．
（本小题第一空 2分，第二空 3分） y
C2
A
A
O x
四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
记 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， 2sin A sinC sin(B A) ．
a
（1）证明：cos A ；
b
（2）若b2 ac，求 cos B．
18．（12分）
6
如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积为 4，点 A到平面 BC1D的距离为 ．3
（1）求 BC1D的面积；
（2）若 AB BC 2，动点 E在线段DD1上移动，求 AEC1面积的取值范围．
D1 C1
E
A1 D B1 C
A B
高三数学试题 第 3 页 （共 4 页）
19．（12分）
如图， P为 ABC内的一点， ABP 30 ， AB 3 AP PA PB 1， ．
2
（1）求 APB； A
（2）若 AP CP， BC 7 ，求 AC．
C
P
B
20．（12分）
如图，在几何体 ABC A1B1O中， ABC是等边三角形，直线OC 平面 A1B1O，平面
AA1OC 平面 BB1OC， AA1 // BB1 // OC， AA1 BB1 2OC．
（1）证明：OA1 OB1；
（2）在“①OM // 平面 ABC，②CM 平面 BB1OC”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，
并解答．
点M 为线段 AA1上的一点，满足 ，直线OM 与平面 A1B1O所成角的
大小为45 ，求平面 ABC与平面 A1B1O的夹角的余弦值． A
B
M C
A1 O
21．（12分）
已知函数 f (x) ln(1 x) ax 2 x (a 0) ． B1
（1）讨论 f (x) 的单调区间；
g(x) x ln(1 x) , (0, π（2）若函数 ， ) ．
2
证明： g(sin ) g(cos cos ) g(cos sin ) 1 ．
2
22．（12分）
已知函数 f (x) ae x 1 ln x x2 2 ．
（1）若 a 3，证明： f (x) 0；
aex 1 x2 3
（2）若 a 3 be ， ln(aex 1 ln e2x x2) lnb 1 对任意正实数 x恒成立，求正实数b的
x
取值范围．
高三数学试题 第 4 页 （共 4 页）2022-2023学年度第一学期期中学业水平检测高三数学评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．
1-8：D C B A A C D A
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．
9．ACD； 10．AD； 11．AB； 12．ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．； 14．； 15．；
16．(1)；(2)．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：（1）由题知， 1分
所以 2分
所以 3分
结合正弦定理，所以 4分
（2）由（1）知： 5分
所以，即，所以 7分
解得或（舍） 8分
所以 10分
18．（12分）
解：（1）由题知： 3分
设点到平面的距离为，则，
因为 ，所以 5分
（2）由题知：， 6分
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则， 7分
设，则，
则直线的单位方向向量为 8分
则点到直线的距离为 10分
11分
所以的面积
所以面积的取值范围为 12分
19．（12分）
解：（1）在中，由正弦定理知 1分
所以，即 2分
又因为，所以 3分
所以（舍） 4分
（2）在中，，所以 5分
又因为 6分
所以， 7分
又因为，所以 8分
在中，由余弦定理知： 9分
所以，即 10分
解得或（舍） 11分
所以，即 12分
20．（12分）
解：（1）由题知：平面，所以 1分
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面 4分
因为平面，所以 5分
（2）若选择①
因为平面，平面，平面平面
所以，因此四边形为平行四边形，即为中点 6分
若选择②
因为平面，平面，所以，
所以四边形为平行四边形，即为中点 6分
所以，
因为直线平面，
所以直线与平面所成角为，所以 7分
所以 8分
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系
设，则 9分
，为平面的一个法向量 10分
设平面的一个法向量为，且，
由，令，则，
解得 11分
设平面与平面所成锐二面角为，
则 12分
21．（12分）
解:（1）由题知：，且 2分
①当时，有，
所以，在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增 4分
②当时，有，
所以在上单调递增 5分
③当时，有，
所以，在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增 7分
（2）由（1）知：若，当时，，
所以 9分
所以
10分
11分
综上，命题得证 12分
22．（12分）
解:（1）若，则， 1分
所以 2分
令，所以
当时，，；
当时，，，；
所以，对恒成立
所以，在上单调递增 3分
又因为
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
又因为，
所以 4分
（2）若，则 5分
由，
得， 6分
令
再令，则 7分
若，令，则
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，，得和
则，满足题意 8分
若，则，不合题意 9分
若，因为在上单调递增，
且 10分
所以存在，使得，
即，即 11分
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以
综上，数的取值范围是 12分
