5.1.1任意角课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共29张PPT)

(共29张PPT)
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
思考1:回忆以前所学的角是如何定义的
①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；
②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.
你认为哪种概念更科学、合理？
图2
图1
1、角的概念
思考2：如图，一条射线的端点是圆心O，它从起始位置OA旋转到终止位置OP，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OP分别叫什么名称？
始边
终边
顶点
角的表示：
简记：
当角α确定时，终边OP的位置就确定了，这时OP与圆O的交点P也就确定了。由此我们可以借助角α 的大小变化刻画P的位置变化。
如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了。
由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0o~360o范围内的角。
所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围。
如花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的名词．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等。
现实生活中随处可见超出0o~360o范围内的角。例如：
体操中有“空翻540度”
“后空翻转体720度”这样的动作名词
任意角
学习目标
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
思考1：一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
注意:①角的概念是通过角终边的运动来推广的，由此应当注意角终边位置的重要性；
②当角的始边相同时，角相等则终边相同；
反之不一定
③判定与任意角有关的问题抓好以下要素
顶点、始边、终边、旋转方向及旋转圈数
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它
形成了一个零角.
2、角概念的推广
画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
β
B2
γ
A
B1
α
O
思考3：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°, ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
3、角的运算
角 与 的和与差的概念
为负角
A
O
B
C
A
O
B
C
若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.－120°
C.－60° D.60°
√
例1
经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
跟踪训练1
√
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角.
规定角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，
那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
x
o
y
你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
思考2：判断下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
o
x
y
o
210°
－450°
x
y
o
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
x
y
o
始边　
终边
终边
终边
终边
终边　
1）角的顶点与原点重合；
2）角的始边与x轴的非负半轴重合.
4、象限角与轴线角
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°下列四个角中，属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.－960° D.1 530°
例2
√
√
√
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
跟踪训练2
√
√
√
所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S。
思考4：可以怎样表示这个集合？
4、终边相同的角
S={β|β=-32o＋k·360°，k∈Z}
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
思考：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°,k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°,k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°,k∈Z ；
y轴负半轴：α= -90°＋k·360°,k∈Z .
思考：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上:S={α|α=k·180°,k∈Z}；
终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
例4
{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
[30°＋k·180°,105°＋k·180°)(k∈Z)
反思感悟
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
已知，如图所示.
跟踪训练4
(1)写出终边落在阴影部分(包括边界)
的角的集合.
[210°＋k·360°,300°＋k·360°](k∈Z)
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[ -30°＋k·360°,135°＋k·360°](k∈Z).
思考：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限角：(k·360°,90°＋k·360°)(k∈Z)；
第二象限角：
(90°＋k·360°,180°＋k·360°)(k∈Z)；
第三象限角：
(180°＋k·360°,270°＋k·360°)(k∈Z)；
(-180°＋k·360°,-90°＋k·360°)(k∈Z)；
第四象限角：
(270°＋k·360° , 360°+k·360°)(k∈Z).
(-90°＋k·360° , k·360°)(k∈Z).
思考：如果α终边在第二象限，那么2α、α/2终边位置呢？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
k∈Z
k∈Z
k∈Z
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
课堂小结
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
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