5.1.2弧度制课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共24张PPT)

(共24张PPT)
我们知道度量长度可以用千米、米、分米、厘米等不同的单位制，度量质量可以用榜、千克等不同的单位制。
不同的单位制能给解决问题带来方便。
角度是否也能用不同的单位制呢？
能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
弧度制
学习目标
1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
周角的 叫做1度角,记为1°
角度制下弧长公式与扇形面积公式是什么？
我们知道，角可以用度为单位进行度量。
1度的角等于周角的 ，这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值, 只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
1.规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 记作1rad，读作1弧度
3.半径为1的圆叫做单位圆
如图，在单位圆O中，弧AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
弧度制的概念
2.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
弧度制的概念

对这个式子进行变形，可以得到如下结论：


其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为 的的弧所对的圆心角为α rad，那么有：
探究: 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，
如何换算呢？
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以有：


360°=2π rad，180°=π rad，
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.
角度与弧度的换算
一般地，只需根据



两边同除以180
两边同除以π
就可以进行角度和弧度的换算了.
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×


完成课本第175页练习1-2题
例5 将3.14化成角度（用度数表示，精确到0.001）
不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值。
用角度作为单位来度量角的制度
用弧度作为单位来度量角的制度
角的大小
与半径无关
单位“ ° ”不能省略
单位“rad”可省略
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少 的形式，不必写成小数．
② 用弧度制表示角时,”弧度”二字或：“rad”通常略去不写,只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2 rad的角.
③弧度与角度不能混用．
即不能出现这样的形式:
完成第174页的常用特殊角的角度与弧度对应表
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每个实数也都有唯一的一个角(弧度数等于这个实数)与它对应.
角度





弧度






150°
跟踪训练2
将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
例3
所以－1 125°是第四象限角.
反思感悟
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练3
√
(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)________________________________.
【3】用弧度表示：
（1）终边在 轴上的角的集合
（2）终边在 轴上的角的集合


（1） ； （2） ； （3） ．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：（1）由公式 可得 ．
下面证明（2）（3）．
例6　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，
将n°转换为弧度，
得 ，
于是 ，
将l＝αR代入上式，即得 ．
新知探究
例5　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1） ； （2） ； （3） ．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
弧长公式与扇形面积公式
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.




已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
例4
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8(rad)>2π rad，舍去.
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
课堂
小结
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度制与角度制的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
3.常见误区：弧度与角度混用.