5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共28张PPT)

(共28张PPT)
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图所示，任意角α三角函数再单位圆中是如何定义的呢？
三角函数值在各象限的符号如何？
P(x,y)
1
O
x
y
一全正，二正弦，三正切，四余弦
上节课的学习中，我们得到了公式一，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
公式一
其中
思考：那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．
由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.
同角三角函数
的基本关系
探究活动
计算下面式子的值.
猜想一下
思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，MP和OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？
P
O
x
y
M
1
想一想：上式中sin2α与sinα2有什么区别？
y2 + x2 =1
思考3：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
①平方关系：
②商数关系：
同角三角函数的基本关系式总结如下：
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而 仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.

辨析1:判断正误.
(1)对任意角，都成立.( )
(2)对任意角，都成立.( )
(3)因为，所以成立，其中、为任意角.( )
(4)对任意角，都成立.( )
√
×
×
×
推论 sin2α=1-cos2α
cos2α=1-sin2α
（sinα+cosα）2=1-2sinαcosα
sinα=tanαcosα
tan2α+1=
思考：结合平方关系和商数关系可作哪些变形？
①平方关系：
②商数关系：
利用同角三角函数的关系求值
一
引例
例6.已知求的值.
解：因为,所以是第三象限角或第四象限角.
由得：
如果是第三象限角，那么于是，
从而
如果是第四象限角，那么于是，
从而
没有说明α是第几象限角，怎么办呢？
反思感悟
跟踪训练1
已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.
∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
当角α的终边在第四象限时，
利用同角三角函数的关系化简
二
例2
化简：
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
反思感悟
跟踪训练2
＝1＋1＝2.
一般恒等式的证明
三
例7.求证：.
证法1：由，知，
所以
于是左边
右边.
所以，原式成立.
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
等式左边恒等变形
例7.求证：.
证法2：因为
且，，
所以.
等价转化
例7.求证：.
=0
.
作差法
反思感悟
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.
跟踪训练3
所以原等式成立.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系.
(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明.
2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.