4.3.1等比数列的概念及通项公式（第1课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共19张PPT)

(共19张PPT)
第四章
数列
4.3.1
等比数列的概念
及通项公式
学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
1.两河流域发掘的古巴比伦的泥板上记录了上面的数列：
…；…；…
情境导入
2.庄子曰:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：
3.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：
细菌分裂过程
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第n次
……
2n
分裂次数
8
在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
1，2，4，8，16，32，…
情境导入
共同特点：
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
课堂探究
观察，并说出它们的运算特点.
（1）…
（2）…
（3）…
（4）
（5）。
（6）1，2，4，8，16，32，…
新课引入
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____
公比通常用字母 q 表示
二
比
同
等比数列.
公比
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
比
an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
an+1-an=d(n∈N*)
(,n≥2,n∈N*)
(,n∈N*)
等差数列的概念
等比数列的概念
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( )，8
(2) -12，( )，-3
4或-4
6或-6
由三个数a，A，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.这时，A叫做a与b的等比中项且A2＝a＋b.
【思考】下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：(1)2，4；(2)-1，-5；(3)3，27；(4)a，b（a，b不为0）.
所以：
知识新授
求等比数列的通项公式
个
累乘
【注意】：
①公式中有四个基本量：a1，n，q，an，可“知一求三”，体现方程的思想
②a1的下标与qn-1上标之和为n，恰好是an的下标
类比等差数列： an＝am＋(n－m)d .
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq
等比数列中会有哪些公式？
知识新授
知识新授
等差数列 等比数列
定义 an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) (n≥2,n∈N*)
(n≥2,n∈N*)
通项公式
函数角度 (n∈N*) (当q>0且q≠1)
(n∈N*)
中项
例题解析
例1：在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解析】(1)a4＝a1q3，
8＝q3，所以q＝2，an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)，
例题解析
例1：在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解析】(3)，两式相除可得
，又，
，.
例题解析
例2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，
那么b＝_____，ac＝___.
【解析】因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
例题解析
例3：在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且，，求通项公式an
【解析】(1)，
，又，.
(n∈N*).
例题解析
例3：在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且，，求通项公式an
【解析】(2)，且，得即
又，.
，得
，，解得或
为递增数列，，(n∈N*).
练习巩固
练习1：在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为（ ）
A.108 B.54 C.36 D.18
练习2：在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为（ ）
A.16 B.27 C.36 D.81
B
B
练习3：数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（ ）
A. B.4 C.2 D.0.5
C
练习巩固
练习4：6.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
练习5：已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝_____，d＝_____.
1或-2
-1
练习6：已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
2/3
课堂小结
1.知识清单：
(1)等比数列的概念；(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项的概念；(4)等比数列的通项公式推广.
2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.
3.常见误区：
(1)x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列.
(2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.
作业布置