5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时） 函数的极值 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共24张PPT)

(共24张PPT)
第一课时 函数的极值
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
问题引入：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，
那么函数h(t)在此点处的导数是多少？
此点附近的函数图象有什么特点？
相应地，导数的正负有什么变化规律
放大t=a附近的函数 h(t)的图象，可以看出，；
可以看出，；在t=a的附近，
当t当t>a时，函数 h(t)单调递减，.
在 t=a 附近，函数值先增后减.
这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2
函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？
y=f(x) 在这些点的导数值是多少？
a点：函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，
而且在点附近的左侧，右侧;
b点：函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，
而且在点附近的左侧，右侧
在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，
；而且在点 x=a 附近的左侧，右侧.
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧.
把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，
极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质
思考： 极大值一定大于极小值吗？
小试牛刀
设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，
则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，
在x＝x2，x＝x4处取得极小值
x1
x2
x3
x4
思考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
例如，对于函数，我们有.
虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，
即函数 是增函数，
所以0不是函数 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
[解析]　由导函数的图象可知：
x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，
x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，
因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上单调递增，
在(0,2)，(4，＋∞)上单调递减，
所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，
角度一：知图判断函数的极值
角度二：求不含参数的函数极值问题
[解]　函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 极小值0 单调递增 极大值 4e－2 单调递减
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判定导函数在各个小区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．　
[解]　(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，
故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
角度三：求含参数的函数极值问题
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内单调递减，在(1－m,1＋m)内单调递增．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
x (－∞，1－m) 1－m (1－m，1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
[例4]　已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
已知函数的极值求参数
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 无极值 单调递减 极小值 单调递增
[解]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，
①当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
又5a＝3b，解得：a＝3，b＝5，c＝2.
综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．　　
解析：若a<－1，
∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
[解]　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
作出f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不
同的交点，
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；
当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
m＝－3
m＝1
1．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．　
函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
课堂小结
课后习题5.3 （4、5）
布置作业