5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共27张PPT)

(共27张PPT)
2.对于α，β，只要知道其正弦或余弦，就可求出cos(α－β)
注意：
1.公式的结构特征：
左边是复角α－β的余弦，右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的和.
同名积，符号反
差角的余弦公式
简记为：C(α－β)
复习回顾
角的变换：
同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？
相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，
在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用.
今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展.
两角和与差的
正弦、余弦公式
学习目标
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.
2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
差角的余弦公式：
C(α-β)
我们以C(α-β)为基础，推导出其他公式.
于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β)
由公式C(α-β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
？思考
和角的余弦公式：
我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？
探究
于是得到了两角和与差的正弦公式,分别简记作S(α+β)、S(α-β)
和角的正弦公式：
差角的正弦公式：
1.两角和与差的余弦公式：
2.两角和与差的正弦公式：
同名积，符号反
异名积，符号同
注意公式的逆用和变形．
①逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α.
②变形： 公式本身变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；角的变形(拆分变换)，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
公式应用 ：给值求值
例3
.
给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
反思感悟
跟踪训练2
的值.
所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
sin 15°=cos 75°=
公式应用 ：给角求值
例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值
从右至左使用和(差)角公式
公式应用 ：给角求值
例4：利用和(差)角公式计算下列各式的值
解:
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
反思感悟
√
跟踪训练1
√
例3
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
又∵0<α＋β<π，
公式应用 ：给值求角
反思感悟
跟踪训练3
因为α和β均为钝角，
思考：下列各式能否化简成比较简单的形式？
你能从这些式子中总结出统一的规律吗？
一般地，对于asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x
辅助角公式
辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响。
辅助角公式应用
课堂
小结
1.知识清单：
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
(4)辅助角公式.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.