5.5.2第1课时 简单的三角恒等变换(一) 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
复习引入：
学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ．
对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换。
在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换.
三角函数公式是三角变换的理论依据，有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.
在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.
简单的三角恒等变换(一)
学习目标
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
分析:
二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.
∴可以用二倍角的余弦公式进行变换.
题设中的a 和 是二倍角关系,
解:
例7. 试以cosa 表示
结论:
(降次公式)
(半角公式)
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
反思感悟
跟踪训练1
例8. 求证:
(1)
(2)
证明:
右边 =
= sina cosb
= 左边,
∴等式成立.
分析:
(1)
等式左边是单角a、b,
右边是和角, 差角,
可考虑用和(差)角公式从右证到左.
分析:
(2)
仔细观察左右两边的结构形式，
类似于2sina cosb,
类似于(1)题两边乘以 2 后的左边,
于是得到启示: 换元,
令
则 a +b =
q,
a -b =
j,
又
所以
例8. 求证:
(1)
(2)
如果不用方程思想，如何证明？
右到左展开化简即可
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.
拓展1积化和差
拓展2和差化积
例2
求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值.
方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，
B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°.
则A＋B＝2＋sin 70°，
A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)
sin2 a ＋cos2 b ＋sin a cos b = b- a = 30°
跟踪训练2
求下列各式的值：
例3
三角函数式的化简、证明
所以原式成立.
反思感悟
三角恒等式证明的常用方法
(1)由因索导法：证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
跟踪训练3
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)半角公式.
(2)积化和差、和差化积.
(3)三角函数式的化简、证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断.