函数压轴题突破一
利用函数的性质【单调性；奇偶性；对称性】
【方法提示】
函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；
对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数
3. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．
4. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.
5.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.
6.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.
【典型例题】
例题1.（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
例题2.（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
例3 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4 (2022·)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________.
例5 设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______.
例6 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
例7 已知函数, 其中e是自然对数的底数. ,则实数的取值范围是 .
例8 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 ．
例9 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【牛刀小试】
1、（2022·江苏12联考）已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为( )
A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) D.(0, ln 2)
2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.若对 x1，x2∈(m，＋∞)，且x1注：(e为自然对数的底数，即e＝2.718 28…)
A. B．e C．1 D.
4.（2022·江苏扬州中学8）已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5. （2022·）已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2022·江苏·12）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是 ．
8．若函数为偶函数，则实数=
9.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
10.已知函数，则满足的实数x的取值范围是 ．
11. 已知函数，若，则实数的取值范围__________.
11.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.
12.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13、 已知函数，，则t的取值范围是 ．
【典型题示例】
例5
【巩固训练】
8.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
9.已知函数.若存在m∈(1,4)使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案与提示】
6. 【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，
当时，，
任取，，则，，
所以，，
，，即，
所以，函数在上单调递增，，
，则，
即.故选：A.
7. 【答案】ACD
8. 【答案】C
【解析】构造函数，
由于，所以，所以的定义域为.
，
所以为奇函数， .
当时，都为增函数，
所以当时，递增，所以在上为增函数.
由，得，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.故选：C
9. 【答案】C
【解析】
设，则为定义在的奇函数
所以关于点对称
又
所以当时，，在上单增
故在上也单增
因为可化为
所以
因为为的奇函数，
所以
又因为存在m∈(1,4)使得不等式成立，分参得
易得，所以，故选C.函数压轴题突破一
利用函数的性质【单调性；奇偶性；对称性】
【方法提示】
函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；
对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数
3. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．
4. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.
5.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.
6.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.
【典型例题】
例题1.（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
例题2.（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
例3 1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故选B.
例4 (2022·江苏南通如皋一抽测·22改编)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.
【解析】不等式可变形为，
即，当，且恒成立，
所以函数在上单调递减.
令
则在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
因为当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围为.
例5 设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______.
.【答案】
【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.
综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.
且.故即.
根据函数性质解得，故答案为：.
例6 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
【答案】A
【分析】发现函数f(x)为偶函数，直接利用f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函数f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”．
【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．
所以f(x)>f(2x－1) f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得例7 已知函数, 其中e是自然对数的底数. ,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．
【解析】因为， 所以是奇函数
又因为，所以数在上单调递增
由、是奇函数得，
由在上单调递增，得，即，解得，
故实数的取值范围为.
例8 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.
【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增
由得
即
由是奇函数得，故
由在上单调递增，得，即，解得，
故实数的取值范围为.
例9 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下：
，且恒成立，
，即，
当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；
综上，时，实数的取值范围是，，．
故选：．
【牛刀小试】
1、（2022·江苏镇江八校·12联考）已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为( )
A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) D.(0, ln 2)
【答案】D
【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为
令，
故在R上单增，且
可化为
即，所以，，解之得
所以不等式)的解集为(0, ln 2).
点评：
f(x)在单增（减）对任意，当时，都有 ；
结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即F(x)=f(x)－ax在单增.
2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.
【解析】由且得：
令，可知在上单调递增
在上恒成立，即：
令，则
时，，单调递减；时，，单调递增
，解得：
本题正确选项：
点评：
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.
3.若对 x1，x2∈(m，＋∞)，且x1注：(e为自然对数的底数，即e＝2.718 28…)
A. B．e C．1 D.
【答案】 C
【解析】 由题意，当0≤m由<1，等价于x1ln x2－x2ln x1故x1(ln x2＋1)令f(x)＝，则f(x2)又∵x2>x1>m≥0，
故f(x)在(m，＋∞)上单调递减，
又由f′(x)＝，令f′(x)<0，解得x>1，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故m≥1.
4.（2022·江苏扬州中学高三数学开学考试·8）已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，不妨设，则可化为，即
设
则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立
所以在R上单增
故在R上恒成立
所以，故
所以实数的取值范围是， 选B．
5. （2022·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·8）已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，成立，
则为单调增函数，
若对任意的恒成立，则，
即，即都有，
令，则，
∴，∴，故选B
6.（2022·江苏·12）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数
又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数.
综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.
又，，，且
所以，即,故答案为：D.
7.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是 ．
7.【答案】，
【解析】设，则，，
令，，
在上单调递减，，
，时，，．
的取值范围是，．故答案为：，．
8．若函数为偶函数，则实数=
【答案】1
【解析】奇函数，，.
9.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】偶函数，且在单增，转化为，解得或.
10.已知函数，则满足的实数x的取值范围是 ．
【答案】（2,3）
【解析】奇函数，且单减，转化为，解得.
11. 已知函数，若，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】设，则奇函数，且单增，而，由得即，故，解之得.
11.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，
因此由得，故答案为：
12.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，
当时，，
任取，，则，，
所以，，
，，即，
所以，函数在上单调递增，，
，则，
即.故选：A.
13、 已知函数，，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得.
【典型题示例】
例5
【巩固训练】
8.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
9.已知函数.若存在m∈(1,4)使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案与提示】
6. 【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，
当时，，
任取，，则，，
所以，，
，，即，
所以，函数在上单调递增，，
，则，
即.故选：A.
7. 【答案】ACD
8. 【答案】C
【解析】构造函数，
由于，所以，所以的定义域为.
，
所以为奇函数， .
当时，都为增函数，
所以当时，递增，所以在上为增函数.
由，得，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.故选：C
9. 【答案】C
【解析】
设，则为定义在的奇函数
所以关于点对称
又
所以当时，，在上单增
故在上也单增
因为可化为
所以
因为为的奇函数，
所以
又因为存在m∈(1,4)使得不等式成立，分参得
易得，所以，故选C.
