压轴题突破三
超越不等式【指数函数、对数函数】
【方法提示】
含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决.
1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
2.函数的性质如下：
（1）定义域是R； （2）值域是（－1,1）；
（3）在（－∞，+∞）单增； （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等.
【典型例题】
例题1.1.（2022·全国乙（文T16） 若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
例题2、（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
例题3.（2022·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
【详解】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，
当时，，
则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，
则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，
解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
例题4.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
【小试身手】
1. 关于的不等式的解集为___________.
【答案】
【提示】设，则，，单增.
2. 方程的根是___________.
【答案】
【解析】设，则，所以单调递增，
因为，所以.
3.已知、分别是方程、的根，则＋的值是 .
【答案】－1
【提示】设，则，单增.
由，得
代入得，即，得＋＝－1.
4、已知实数x、y满足，则的值是 .
【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设，则易得其为上的单增奇函数
所以，
故.
5、不等式的解集是 .
【答案】
【解法一】显然是方程一个根
令，则
故在单增，且
所以不等式的解集是.
【解法二】变形为
设，
而在单减，在单增，且图象均过（1,0）
所以不等式的解集是.
6.方程的根是 .
【答案】
【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.
【解析】原方程可化为
设，易得其为上的单增奇函数
所以，即为所求.
例5 （2022·江苏 ）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求
如下图
设该圆与相切的切点为
则由导数的几何意义、圆的切线性质得
即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根
设，则，单调递减
故为其唯一的一个根，此时切点为
所以的长度的最小值为，故选A.
例6、已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围．
【答案】(2，4)
【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，
所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．
方法1（讨论单调性）
由f(x)＝，得f'(x)＝．
①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．
②当0＜a＜2时，
因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，
所以f(a)＞f(2)，不符题意．
③当2＜a＜4时，
因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，
所以f(a)＜f(2)，满足题意．
综上，a的取值范围为(2，4)．
方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）
由f(2)＞f(a)，得＞．
因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．
设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4．
因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．
又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．
所以，a的取值范围为(2，4)．
例7、 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易得f(1)＝f(e)=0
∵
∴当时，，在单减；当时，，在单增
∴的解集是
令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为．
【小试身手】
1、 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减
令，则为R上的单调递减的奇函数
由得
即
因为为奇函数，故
所以
又在R上单减，所以，解之得
所以实数的取值范围是.
2、 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .
【答案】4039
【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.
【解析】
设
则
所以的图象关于点对称
所以的图象关于点对称
故的值为4039.
3、 已知函数（）是奇函数，设函数，,
若，其中，试比较的大小.
【答案】.
【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.
【解析】易得，故，，下面考察函数的单调性.
对于在单增，由复合函数单调性得在单减；
对于，设（），在单减，由复合函数单调性得在单减，
再由函数单调性得性质得，在单减，
因为，，所以.压轴题突破三
超越不等式【指数函数、对数函数】
【方法提示】
含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决.
1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
2.函数的性质如下：
（1）定义域是R； （2）值域是（－1,1）；
（3）在（－∞，+∞）单增； （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等.
【典型题示例】
例题1.1.（2022·全国乙（文T16） 若是奇函数，则_____，______．
例题2、（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
例题3.（2022·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
例题4.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【小试身手】
1. 关于的不等式的解集为___________.
2. 方程的根是___________.
3.已知、分别是方程、的根，则＋的值是 .
4、已知实数x、y满足，则的值是 .
5、不等式的解集是 .
6.方程的根是 .
例5 （2022·江苏 ）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6、已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围．
例7、 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ．
【小试身手】
1、 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
2、 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .
3、 已知函数（）是奇函数，设函数，,
若，其中，试比较的大小.
