压轴题突破三
超越不等式【指数函数、对数函数】
【方法提示】
含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式,一般是构造函数,利用函数的单调性来解决.
1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法:横下对,纵半分(即横坐标是使分母取对数的值,但真数为保证有意义,取的是绝对值而已,而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半).
2.函数的性质如下:
(1)定义域是R; (2)值域是(-1,1);
(3)在(-∞,+∞)单增; (4)是奇函数,其图象关于坐标原点对称.
说明:形如的函数,即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体,通过变形(部分分式),可得到、等.
【典型例题】
例题1.1.(2022·全国乙(文T16) 若是奇函数,则_____,______.
【答案】 ①. ; ②. .
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可求出.
【详解】因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.
故答案为:;.
例题2、(2022·新高考Ⅱ卷T8) 若函数的定义域为R,且,则( )
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.
故选:A.
例题3.(2022·全国乙(理)T16) 已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点,可得时,,时,,再分和两种情况讨论,方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,构造函数,根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
【详解】解:,
因为分别是函数的极小值点和极大值点,
所以函数在和上递减,在上递增,
所以当时,,当时,,
若时,
当时,,
则此时,与前面矛盾,
故不符合题意,
若时,
则方程的两个根为,
即方程的两个根为,
即函数与函数的图象有两个不同的交点,
令,则,
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,
则切线的斜率为,
故切线方程为,
则有,
解得,
则切线的斜率为,
因为函数与函数的图象有两个不同的交点,
所以,解得,
又,所以,
综上所述,的范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值点问题,考查了导数的几何意义,考查了转化思想及分类讨论思想,有一定的难度.
例题4.(2022·浙江卷T14) 已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值,由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知,,
所以,
当时,由可得,所以,
当时,由可得,所以,
等价于,所以,
所以的最大值为.
故答案为:,.
【小试身手】
1. 关于的不等式的解集为___________.
【答案】
【提示】设,则,,单增.
2. 方程的根是___________.
【答案】
【解析】设,则,所以单调递增,
因为,所以.
3.已知、分别是方程、的根,则+的值是 .
【答案】-1
【提示】设,则,单增.
由,得
代入得,即,得+=-1.
4、已知实数x、y满足,则的值是 .
【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设,则易得其为上的单增奇函数
所以,
故.
5、不等式的解集是 .
【答案】
【解法一】显然是方程一个根
令,则
故在单增,且
所以不等式的解集是.
【解法二】变形为
设,
而在单减,在单增,且图象均过(1,0)
所以不等式的解集是.
6.方程的根是 .
【答案】
【分析】利用“同构”构造函数,再利用函数的单调性.
【解析】原方程可化为
设,易得其为上的单增奇函数
所以,即为所求.
例5 (2022·江苏 )已知点为函数的图象上任意一点,点为圆上任意一点,则线段的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考虑从“形”的角度切入,与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求
如下图
设该圆与相切的切点为
则由导数的几何意义、圆的切线性质得
即,此为超越方程,应先猜根,易知为其中一个根
设,则,单调递减
故为其唯一的一个根,此时切点为
所以的长度的最小值为,故选A.
例6、已知函数(aR),其中e为自然对数的底数,若函数的定义域为R,且,求a的取值范围.
【答案】(2,4)
【解析】由函数f(x)的定义域为R,得x2-ax+a≠0恒成立,
所以a2-4a<0,解得0<a<4.
方法1(讨论单调性)
由f(x)=,得f'(x)=.
①当a=2时,f(2)=f(a),不符题意.
②当0<a<2时,
因为当a<x<2时,f ′(x)<0,所以f(x)在(a,2)上单调递减,
所以f(a)>f(2),不符题意.
③当2<a<4时,
因为当2<x<a时,f ′(x)<0,所以f(x)在(2,a)上单调递减,
所以f(a)<f(2),满足题意.
综上,a的取值范围为(2,4).
方法2(转化为解超越不等式,先猜根再使用单调性)
由f(2)>f(a),得>.
因为0<a<4,所以不等式可化为e2>(4-a).
设函数g(x)=(4-x)-e2, 0<x<4.
因为g'(x)=ex·≤0恒成立,所以g(x)在(0,4)上单调递减.
又因为g(2)=0,所以g(x)<0的解集为(2,4).
所以,a的取值范围为(2,4).
例7、 已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(ex)<0的x的取值范围为 .
【答案】
【解析】易得f(1)=f(e)=0
∵
∴当时,,在单减;当时,,在单增
∴的解集是
令,得,故f(ex)<0的x的取值范围为.
【小试身手】
1、 已知函数,则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的对称中心是,其定义域为R且单减
令,则为R上的单调递减的奇函数
由得
即
因为为奇函数,故
所以
又在R上单减,所以,解之得
所以实数的取值范围是.
2、 已知,设函数,的最大值、最小值分别为,则的值为 .
【答案】4039
【分析】研究函数的对称性,利用函数(其中是奇函数)在对称区间上的最大值、最小值的和为.
【解析】
设
则
所以的图象关于点对称
所以的图象关于点对称
故的值为4039.
3、 已知函数()是奇函数,设函数,,
若,其中,试比较的大小.
【答案】.
【分析】研究函数的单调性,逆用单调性脱“g”即可.
【解析】易得,故,,下面考察函数的单调性.
对于在单增,由复合函数单调性得在单减;
对于,设(),在单减,由复合函数单调性得在单减,
再由函数单调性得性质得,在单减,
因为,,所以.压轴题突破三
超越不等式【指数函数、对数函数】
【方法提示】
含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式,一般是构造函数,利用函数的单调性来解决.
1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法:横下对,纵半分(即横坐标是使分母取对数的值,但真数为保证有意义,取的是绝对值而已,而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半).
2.函数的性质如下:
(1)定义域是R; (2)值域是(-1,1);
(3)在(-∞,+∞)单增; (4)是奇函数,其图象关于坐标原点对称.
说明:形如的函数,即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体,通过变形(部分分式),可得到、等.
【典型题示例】
例题1.1.(2022·全国乙(文T16) 若是奇函数,则_____,______.
例题2、(2022·新高考Ⅱ卷T8) 若函数的定义域为R,且,则( )
A. B. C. 0 D. 1
例题3.(2022·全国乙(理)T16) 已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.
例题4.(2022·浙江卷T14) 已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.
【小试身手】
1. 关于的不等式的解集为___________.
2. 方程的根是___________.
3.已知、分别是方程、的根,则+的值是 .
4、已知实数x、y满足,则的值是 .
5、不等式的解集是 .
6.方程的根是 .
例5 (2022·江苏 )已知点为函数的图象上任意一点,点为圆上任意一点,则线段的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
例6、已知函数(aR),其中e为自然对数的底数,若函数的定义域为R,且,求a的取值范围.
例7、 已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(ex)<0的x的取值范围为 .
【小试身手】
1、 已知函数,则满足不等式的实数的取值范围是 .
2、 已知,设函数,的最大值、最小值分别为,则的值为 .
3、 已知函数()是奇函数,设函数,,
若,其中,试比较的大小.