突破（选择、填空题）压轴题题型一
一、函数与导数
1、抽象函数与性质
主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）
对策与方法：赋值法、特例法、数形结合
【例1】已知定义在上的函数，当时，
当时，，为常数.下列有关函数的描述：
时，； ②当函数的值域为；
③当时，不等式在区间上恒成立；
④当时，函数的图像与直线在内的交点个数为.
其中描述正确的个数有（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【变式练习】（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
【例2】定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________．
【例3】定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）【答案】C
A. B. C. D.
【变式练习】（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【例4】设函数在上存在导数，，有，在 上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【例5】函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
【变式练习】（2022·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【例6】已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是
B. C. D.
【例7】定义在上的函数满足：对，都有；当时，，给出如下结论：
①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得；
④函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得，
其中所有正确结论的序号是： ．（请将所有正确命题的序号填上）
【变式练习】已知函数= ，=，若至少存在一个∈[1，e]，使得成立，则实数a的范围为 （ ）
A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（1，+∞）
【变式练习】.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．突破（选择、填空题）压轴题题型一
一、函数与导数
1、抽象函数与性质
主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）
对策与方法：赋值法、特例法、数形结合
【例1】已知定义在上的函数，当时，
当时，，为常数.下列有关函数的描述：
时，； ②当函数的值域为；
③当时，不等式在区间上恒成立；
④当时，函数的图像与直线在内的交点个数为.
其中描述正确的个数有（ ）【答案】C
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
故④正确，
【变式练习】（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC
【例2】定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________．【答案】
【解析】令，则，，
所以，故不等式的解集为．
【例3】定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）【答案】C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，对任意的 ，都有 ，
由f（x）是定义在上的单调函数，则为定值，
设 ，则 ，
又由f（t）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2； 则 ， 。
因为 ，所以，即 ，
令 ，
因为 ， ，
所以 的零点在区间 ，即方程 的解所在的区间是
【变式练习】（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
【例4】设函数在上存在导数，，有，在 上，若，则实数的取值范围为（ ）【答案】B
A． B． C． D．
【解析】设 ，因为对任意 ，
所以，=
所以，函数为奇函数；
又因为，在上，所以，当时 ，
即函数在上为减函数，
因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以，
所以，
即实数的取值范围为.
【变式练习】.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
【例5】函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）【答案】A
A. B. C. D.
【解析】设函数，所以，
根据已知，所以，所以为单调递增函数，
且，所以不等式等价于，等价于，
根据为增函数，所以
【变式练习】（2022·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
【详解】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，
当时，，
则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，
则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，
解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
【例6】已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是
A. B. C. D. （ ）【答案】B
【解答】设g（x）=f（x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3（1﹣2x），
则g′（x）=f′（x﹣1）+4xlnx﹣4x+6，
设h（x）=4xlnx﹣4x+6，则h′（x）=4lnx，
由h′（x）＞0得x＞1， 由h′（x）＜0得0＜x＜1，
即当x=1时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（1）=2，
∵f′（x﹣1）＞﹣2，h（x）≥2， ∴f′（x﹣1）+h（x）＞﹣2+2=0，
即g′（x）=f′（x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3（1﹣2x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上为增函数，而f(0)=0
则当x=1时，g（1）=f（1﹣1）﹣12（3﹣2ln1）﹣3（1﹣2）=0，
则不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）等价于g（x）<0，即g（x）则0【例7】定义在上的函数满足：对，都有；当时，，给出如下结论：
①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得；
④函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得，
其中所有正确结论的序号是： ．（请将所有正确命题的序号填上）【答案】①②④
【分析】作出的图像即可逐一判断
【解析】当时，，易得时有极大值；
当时，恒成立，是减函数，且．
设，由得，即对恒成立，，
当时，，而，不合题意；
当时，，∴，得．
【变式练习】已知函数= ，=，若至少存在一个∈[1，e]，使得成立，则实数a的范围为 （ ）【答案】B
A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（1，+∞）
【解析】由题意得在上有解,即，
令，则，故，因此．
【变式练习】.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
