突破（选择、填空题）压轴题题型六
六、向量
【知识要点】
1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：
(1)·＝[PQ2－NM2](平行四边形模式)；(2)·＝PO2－NM2(三角形模式).
【典型例题】
【例1】锐角中,的外接圆O的半径为1若则的最小值是A.1 B.2 C.-1 D.-2 （ ）【答案】D
【解析】由可得,两边平方得,
所以,所以
当时等号成立,此时为正三角形,符合题意.
【变式练习】(高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图
则，，，，连结，过点作于点
在中，有
即
所以圆的方程为
可设
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值为，故选A．
法二：通过点作于点，由，，可求得
又由，可求得
由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值
又点到的距离与点到直线的距离相等，均为
而此时点到直线的距离为
所以，所以的最大值为，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．
法四：由题意，画出右图．
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为．∵，．∴．切于点．
∴⊥．∴是中斜边上的高．
即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理
【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【例题2】(高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生
转化与化归思想和运算求解能力
【解析】解法一：建系法
连接，，，． ，∴ ∴ ∴，∴ ∴最小值为
解法二：均值法
∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴
∴ ，∴最小值为
解法三：配凑法
∵
∴
∴最小值为
【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通
法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．
【例题3】(1)(浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
(2)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则·的取值范围是________；若向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝＋
＝＋，
则y2＝10＋2∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
【变式练习】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）【答案】C
A．2 B． C． D．
【解析】由题意得：,
又,
所以，
因此，当且仅当时取等号．
【例4】如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）【答案】
A． B．
C． D．
分析：设OP与AB交于Q，则，
即，
线性规划可求得
【例4】如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，是圆O的内接正三角形，当绕着圆心O旋转时，的取值范围是_________________.【答案】
解:根据题意可得,
又,.
又,
,
【变式练习】如图，△是边长为的等边三角形，是以为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则的取值范围是 ．【答案】
【解析】法一：极化恒等式
法二：设的中点为，
。
【变式练习】如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且，则的取值范围是 ．【答案】
方法：极化恒等式
【变式练习】如图，半径为2的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是 ．【答案】
【解析】法一：极化恒等式
法二： 坐标法
以O为原点，OQ为x轴建立直角坐标系，则，，
，，
，
因为，所以，．突破（选择、填空题）压轴题题型六
六、向量
【知识要点】
1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：
(1)·＝[PQ2－NM2](平行四边形模式)；(2)·＝PO2－NM2(三角形模式).
【典型例题】
【例1】锐角中,的外接圆O的半径为1若则的最小值是A.1 B.2 C.-1 D.-2 （ ）
【变式练习】(高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【例题2】(高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【例题3】(1)(浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
(2)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则·的取值范围是________；若向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.
【变式练习】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【例4】如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，是圆O的内接正三角形，当绕着圆心O旋转时，的取值范围是_________________.
【变式练习】如图，△是边长为的等边三角形，是以为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则的取值范围是 ．
【变式练习】如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且，则的取值范围是 ．
【变式练习】如图，半径为2的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是 ．
