2023年高考突破12题专题二导数及其应用在选填题中突破
【知识要点】
导数及其应用的选择、填空题的压轴题通常围绕三个点进行命题．第一个点是导数的几何意义，涉及求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等问题，这类试题同时也包含了导数的计算、直线的方程等知识；第二个点是利用导数研究函数的单调性、极值(或最值)；第三个点是利用导数研究不等式、方程等，涉及不等式的解法、不等式成立、比较大小、讨论方程的根、函数的零点等问题．特别地，当第二、三点作为选择题或填空题的压轴题时，难度较大．
【典型例题】
1、已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
【变式练习】1、若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．1
【典型例题】
2、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【例题2】如果函数在区间单调递减，那么的最大值为
A．16 B．18 C．25 D．
【变式练习】1、设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f(x)＋f(－x)＝x2，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>x.若f(2－a)－f(a)≥2－2a，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
2．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，f(x)满足2f(x)＋xf′(x)A．1 B．3 C. 5 D．1或3
3、设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
4、设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为( )
A．4 B．8 C．12 D．18
6、若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
7、若，则
A． B．
C． D．
8、已知函数，，则方程
实根的个数为 ．2023年高考突破12题专题二导数及其应用在选填题中突破
【知识要点】
导数及其应用的选择、填空题的压轴题通常围绕三个点进行命题．第一个点是导数的几何意义，涉及求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等问题，这类试题同时也包含了导数的计算、直线的方程等知识；第二个点是利用导数研究函数的单调性、极值(或最值)；第三个点是利用导数研究不等式、方程等，涉及不等式的解法、不等式成立、比较大小、讨论方程的根、函数的零点等问题．特别地，当第二、三点作为选择题或填空题的压轴题时，难度较大．
【典型例题】
1、已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
.解析 当时，恒成立；
当时，恒成立，
令
，
所以，即．
当时，恒成立，
令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以当时，取得最小值.
所以.
综上，的取值范围是．
【变式练习】1、若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．1
【解析】∵，∵，∴，
所以，，
令，解得或，所以当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值为，选A．
【典型例题】
2、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【知识揭秘】 揭秘1：构造函数g(x)＝，利用g′(x)＝判断函数的单调性；
揭秘2：函数f(x)是奇函数，则g(x)＝为偶函数；
揭秘3：偶函数在对称区间上的单调性相反．
【思维揭秘】 构造函数g(x)＝，利用导函数判断函数的单调性，再将不等式转化为两个函数值对应自变量的大小关系．
【解析揭秘】 记函数g(x)＝，则g′(x)＝.当x>0时，
xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，所以g(－x)＝＝＝g(x)，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0，当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1；当x＜0，g(x)＜0时，f(x)＞0，x＜－1，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
【答案】 A
【名师点睛】 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到与不等式、方程及最值有关的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．
【例题2】如果函数在区间单调递减，那么的最大值为
A．16 B．18 C．25 D．
（解法一）时，抛物线的对称轴为．据题意，当时，即．．由且得．当时，抛物线开口向下，据题意得，即．．由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有．所以，所以最大值为18．选B．
（解法二）由已知得，对任意的，，所以，即．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
令，则当时，，当时，，由线性规划的相关知识，只有当直线与曲线相切时，取得最大值，由，解得，，所以，选B．
【变式练习】1、设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f(x)＋f(－x)＝x2，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>x.若f(2－a)－f(a)≥2－2a，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
【解析B】 令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－x2.
由g(x)＋g(－x)＝f(x)＋f(－x)－x2＝0，得g(x)为R上的奇函数．
∵当x>0时，g′(x)＝f′(x)－x>0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
再结合g(0)＝0及g(x)为奇函数，知g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
又g(2－a)－g(a)＝f(2－a)－－＝f(2－a)－f(a)－2＋2a≥(2－2a)－2＋2a＝0，
则g(2－a)≥g(a) 2－a≥a a≤1，即a∈(－∞，1]．故选B.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，f(x)满足2f(x)＋xf′(x)A．1 B．3 C. 5 D．1或3
【解析A】 ∵当x<0时，f(x)满足2f(x)＋xf′(x)x2f(x)．令F(x)＝x2f(x)，∴F′(x)－F(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－x2f(x)>0，所以′＝>0，所以y＝在(－∞，0)上单调递增，所以<＝0，即F(x)＜0，所以f(x)<0；当x>0时，则－x<0，所以
－2xf(－x)＋x2·f′(－x)>x2f(－x)，所以2xf(x)＋x2·f′(x)>－x2f(x)，所以y＝F′(x)＋F(x)>0，所以(exF(x))′>0，所以y＝exF(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以exF(x)>e0F(0)＝0，所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0.又因为f(0)＝0，所以f(x)只有一个零点．
3、设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于
，当时， ，所以在
上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，，
数形结合可知，使得成立的的取值范围是．
4、设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，设
，，由，可知在
上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，
故，即，所以．
5．已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为( )
A．4 B．8 C．12 D．18
【解析B】 实数a，b，c，d满足＝＝1，∴b＝a－2ea，d＝2－c，因此点(a，b)在曲线y＝x－2ex上，点(c，d)在直线y＝2－x上，(a－c)2＋(b－d)2的几何意义就是曲线y＝x－2ex上的点到直线y＝2－x的距离的平方．求曲线y＝x－2ex的平行于直线y＝2－x的切线，y′＝1－2ex，令y′＝1－2ex＝－1，得x＝0，因此切点为(0，－2)，切点到直线y＝2－x的距离d＝＝2就是曲线上的点到直线的最小距离，因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值为d2＝8，故选B.
6、若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，∵在单调递增，
所以当 时，恒成立，即在上恒成立，
∵，∴，所以，故选D．
7、若，则
A． B．
C． D．
【解析】设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，
8、已知函数，，则方程
实根的个数为 ．
【解析】当时，，，此时方程
即为或，故或，此时符合题意，方程有一个实根．
当时，，，方程
即为或，即或，
令，则，函数在上单调递减，且时，所以当时，方程无解；令，则，函数在上单调递减，且时，时，所以当时，方程有一个实根．
当时，，，方程即为或，即或，令，
则，函数在上单调递增，且时
，时，所以当时方程
有1个实根；同理在有1个实根．
故方程实根的个数为4个．
