三角函数的图象与性质
题型一 五点画图
考向1 利用五点作图法话三角函数图象
例1 用五点法作出函数的简图.
例2 利用正弦或余弦函数图象作出的图象．
【举一反三】
1．(2020·全国高一课时练习)利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
2．(2020·武功县普集高级中学高一月考)用五点法作出函数在内的图像.
3.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数在一个周期内的简图．
考向2 利用三角函数图象解三角函数不等式
例1(2020·全国高一课时练习)利用正弦曲线，求满足的x的集合．
例2 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
【举一反三】
1.求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝.
2.在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
3.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤.
4.sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
5.函数y＝的定义域是________．
6.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
题型二 周期
例1求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin； (2)f(x)＝2cos；(3)y＝|sin x|；(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．
例2 若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______．
【举一反三】
1．(2020·全国高一课时练习)下列函数中,最小正周期为的是( )
A． B． C． D．
2．(2019·云南高二期末)函数 的最小正周期为__________．
3.下列函数中，不是周期函数的是( )
A.y＝|cos x| B．y＝cos|x|C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
4.已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝______.
5.函数的最小正周期是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三 对称性
例1 (2020·辽宁大连·高一期末)函数的图像的一条对称轴方程为()
A． B． C． D．
例2 如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
例3 已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
【举一反三】
1．(2020·永昌县第四中学高一期末)函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝
2．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A． B．
C． D．
3．(2020·河南平顶山·高一期末)如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为( )
A． B． C． D．
4.将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)
5.(2022·郑州模拟)设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－
D．f(x)的图象关于点对称
题型四 单调性
例1 函数的单调递增区间为( )
A．， B．，
C．， D．，
例2 函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
例3 f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
例4 (2020·吉林扶余市第一中学高一期中)已知函数在上单调递减，则实数的一个值是( )．
A． B． C． D．
【举一反三】
1．(2020·湖南益阳·高一期末)函数的单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
2．(2020·全国高三其他(理))已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
3．(2020·全国高三其他(理))函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0 B． C． D．
4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
5.已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
考向2 考向2 利用单调性求参数
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
例2 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2 (2022·定远县育才学校月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．1
3 已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
5.下列关于函数的说法正确的是( )
A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
题型五 奇偶性
例1 下列函数中，周期是的偶函数为( ).
A． B． C． D．
例2 函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
例4(变条件)将本例3中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值．
例5 (变结论)本例3条件不变，求f的值．
【举一反三】
1．(2019·贵州高三月考(文))函数是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
2．(2020·辽宁辽阳·高一期末)下列函数中，周期为的奇函数是( )
A． B．
C． D．
3．(2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试)已知函数，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数
4.已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为( )
A. B．－6－3
C．1 D．－1
5.函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
6.，则“f（x）是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（ ）
A． B．
C． D．
8.关于函数，下列说法正确的是( )
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
题型六 定义域
例1 (2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是________.
例2 (2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是__________.
【举一反三】
1(2020·辽宁沈阳·高一期中)函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
2．(2020·湖南高一月考)函数的定义域为( )
A． B．
C． D．
3．(2020·吉林公主岭·高一期末(理))函数的定义域为( )
A． B． C． D．
题型七 值域
例1 (2019·福建高三学业考试)函数的最小值是 。
例2 (2020·全国高二月考(文))在区间上的最小值为______.
例3 函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
例4 函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
例5 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
1．(2019·伊美区第二中学高一月考)求函数的最值，及取最值时x的集合．
2．(2020·新疆高三三模(理))f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
3．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4.函数，且的值域是________________．
5.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．三角函数的图象与性质
题型一 五点画图
考向1 利用五点作图法话三角函数图象
例1 用五点法作出函数的简图.
【答案】列表:
0
1 0 0 1
0 1 2 1 0
描点，连线，如图.
例2 利用正弦或余弦函数图象作出的图象．
【答案】 由，
所以的图象由的图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成，如图实线部分所表示的是的图象
【举一反三】
1．(2020·全国高一课时练习)利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
【答案】见解析
【解析】列表：
0
0 1 0 0
1 0 1 2 1
作图：
2．(2020·武功县普集高级中学高一月考)用五点法作出函数在内的图像.
【答案】见解析
【解析】列表：
0
1 0 －1 0 1
5 3 1 3 5
描点得在内的图像(如图所示)：
3.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数在一个周期内的简图．
【答案】(1)，；(2)图象见解析
【解析】(1)，.
令，，解得，，
故对称中心为.
(2)令，解得，令，解得，
令，解得，令，解得，
令，解得，
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为：
考向2 利用三角函数图象解三角函数不等式
例1(2020·全国高一课时练习)利用正弦曲线，求满足的x的集合．
【答案】
【解析】正弦函数一个周期内的图象如图，满足，由图可知，
所以满足的x的集合为
例2 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
【答案】1＜k＜3.
【解析】 f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
【举一反三】
1.求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝.
【解析】 (1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－.
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝的定义域为
.
(2)要使函数有意义，必须满足sin x－cos x≥0.
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为
2.在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
【解析】 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
3.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤.
【解析】：①⑤ 由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．
4.sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
【答案】(0，π)
【解析】如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．
5.函数y＝的定义域是________．
【答案】{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}
【解析】由题意可得，即∴0＜sin x≤1，由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]
6.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
【答案】
【解析】 [由|cos x－sin x|＝sin x－cos x得sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x.又x∈[0,2π]，结合图象可知，≤x≤，
所以x∈.]
题型二 周期
例1求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin； (2)f(x)＝2cos；(3)y＝|sin x|；(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．
【解析】 (1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π.(2)T＝＝π，∴最小正周期为.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π.（4）T＝＝，∴最小正周期为.
例2 若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______．
【答案】
【解析】 因为相邻两条对称轴的距离为，所以，，
所以，因为函数的图象经过点，所以，
，，所以，所以.
故答案为.
【举一反三】
1．(2020·全国高一课时练习)下列函数中,最小正周期为的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于，周期，错误.
对于，周期，错误.
对于，周期，正确.
对于，，周期，错误，故选C.
2．(2019·云南高二期末)函数 的最小正周期为__________．
【答案】
【解析】由题得函数的最小正周期.故答案为：
3.下列函数中，不是周期函数的是( )
A.y＝|cos x| B．y＝cos|x|C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为：故选：D画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数
4.已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝______.
【答案】 ±10
【解析】 [由题意可知＝，ω＝±10.]
5.函数的最小正周期是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数的最小正周期是，故选：B．
题型三 对称性
例1 (2020·辽宁大连·高一期末)函数的图像的一条对称轴方程为()
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数令，则，当时，，
故选B.
例2 如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，
得|φ|的最小值为.
例3 已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
【答案】
【解析】由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
【举一反三】
1．(2020·永昌县第四中学高一期末)函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝
【答案】C
【解析】令，则，
当 时， ，所以C成立，经检验，其他选项都不正确.故选：C
2．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.
3．(2020·河南平顶山·高一期末)如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数的图象关于直线对称，
可得，，即，，
取最小值时，即或，即.故取最小值时的值为.
故选：D.
4.将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)
【答案】
【解析】 将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cos(2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，
可得g(0)＝cos 2φ＝0，
所以2φ＝＋kπ，k∈Z，
φ＝＋，k∈Z，
当k＝0时，φ＝.
5.(2022·郑州模拟)设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－
D．f(x)的图象关于点对称
【答案】 C
【解析】 对于A，f(x)的最小正周期为＝π，
故A错误；
对于B，∵sin＝－≠±1，
故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
∴2sin＋∈，
∴f(x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f＝2sin＋＝，
∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．
题型四 单调性
例1 函数的单调递增区间为( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】(1)A
【解析】：当，时，函数单调递增，
即当，时，函数单调递增.故选：A
例2 函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【答案】 (k∈Z)
【解析】 f(x)＝sin
＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为
(k∈Z)．
例3 f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
【答案】 和
【解析】 令A＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A∩B＝∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
例4 (2020·吉林扶余市第一中学高一期中)已知函数在上单调递减，则实数的一个值是( )．
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 因为，则，
又函数在上单调递减，
所以，，
因此，，解得：，故选：C．
【举一反三】
1．(2020·湖南益阳·高一期末)函数的单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，，得，，
即函数的单调递增区间为，故选：．
2．(2020·全国高三其他(理))已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【解析】由题意，是函数的最大值，，即．
，．
当时，，在上单调递增，不符合题意；
当时，，符合题意.
的最小值为7.故选：D．
3．(2020·全国高三其他(理))函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】对A, ,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；
对B，，在上先减后增，舍去
对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；
对D, ,在上先增后减，舍去故选：C．
4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
【解析】由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，
所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得sin 2xcos φ＝0，
由已知上式对 x∈R都成立，
所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)因为f＝，
所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又因为0＜φ＜，所以φ＝，
即f(x)＝sin，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的递增区间为(k∈Z)．
5.已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
考向2 考向2 利用单调性求参数
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【答案】
【解析】 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，
即0≤x≤时，y＝sin ωx单调递增；
当≤ωx≤，
即≤x≤时，y＝sin ωx单调递减．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减，知＝，
∴ω＝.
例2 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【答案】
【解析】 由0，
得＋<ωx＋<ωπ＋，
因为y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z，
且2k＋>0，k∈Z，
解得k＝0，
所以ω∈.
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 方法一 由题意得
则
又ω>0，
所以k∈Z，
所以k＝0，则0<ω≤.
方法二 取ω＝1，则f(x)＝sin，
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
2 (2022·定远县育才学校月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．1
【答案】 B
【解析】 因为x＝－为f(x)的零点，
x＝为y＝f(x)图象的对称轴，
所以·T＝(n∈N)，
即·＝(n∈N)，
所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数．
因为f(x)在上单调，
则－＝≤，
即T＝≥，
解得ω≤12.
当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，
所以φ＝－，此时f(x)＝sin.
当x∈时，
11x－∈，
所以f(x)在上不单调，不满足题意；
当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，
所以φ＝，
此时f(x)＝sin.
当x∈时，
9x＋∈，
此时f(x)在上单调递减，符合题意．
故ω的最大值为9.
3 已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 当－－＋<ωx＋<＋，
当x＝0时，ωx＋＝.
因为函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
所以
解得ω≤，
因为ω>0，所以ω的取值范围是.
4.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．
5.下列关于函数的说法正确的是( )
A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
【答案】B
【解析】，A错；由得，B正确；
时，，函数在此区间上不单调，C错；
或时，函数值不存在，D错．故选：B．
题型五 奇偶性
例1 下列函数中，周期是的偶函数为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为；
B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为；
C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；
D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C
例2 函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
【答案】 ，k∈Z
【解析】 若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
思路点拨：
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
例4(变条件)将本例2中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin ＝－，∴f＝－.
例5 (变结论)本例2条件不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
【举一反三】
1．(2019·贵州高三月考(文))函数是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】由题意，函数，则，
所以函数为奇函数，且最小正周期，故选B.
2．(2020·辽宁辽阳·高一期末)下列函数中，周期为的奇函数是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，，是奇函数，周期T＝，不符合题意；
对于B，y＝sin(2x+3π)＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝，符合题意；
对于C，＝-cos2x，是偶函数，不符合题意；
对于D，|sinx|，是偶函数，不符合题意；故选：B．
3．(2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试)已知函数，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数
【答案】B
【解析】对于函数，它的周期等于，故正确．
令，则，则是的对称轴，故正确．
由于，故函数是偶函数，故D正确．
利用排除法可得B错误；故选：B．
4.已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为( )
A. B．－6－3
C．1 D．－1
【答案】 B
【解析】 ∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝，
则f(x)＝－Asin ωx.
当x＝3时，f(x)取得最小值－3，
故A＝3，sin 3ω＝1，
∴3ω＝＋2kπ，k∈Z.
∴ω的最小正数为，
∴f(x)＝－3sin x，
∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)
＝－6－3.
5.函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
【答案】
【解析】 若f(x)＝3sin为奇函数，
则－＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
6.，则“f（x）是奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
解：依题意，若是奇函数，则，得，
反之，若，则，
由，得函数为奇函数，
故“是奇函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7.已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由f(x)是偶函数，可得θ＋＝＋kπ，k∈Z，
即θ＝＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝.
故选：B．
8.关于函数，下列说法正确的是( )
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
【答案】C
【解析】，所以是函数图象的一个对称中心，故选C．
题型六 定义域
例1 (2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：
例2 (2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】 因为所以，解得，解得，所以或，故函数的定义域为
故答案为：
【举一反三】
1(2020·辽宁沈阳·高一期中)函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，故选：B.
2．(2020·湖南高一月考)函数的定义域为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.
3．(2020·吉林公主岭·高一期末(理))函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得所以.故选：C.
题型七 值域
例1 (2019·福建高三学业考试)函数的最小值是 。
【答案】
【解析】 当时，函数的最小值是，
例2 (2020·全国高二月考(文))在区间上的最小值为______.
【答案】 0
【解析】 因为，所以，
则，，
故在区间的最小值为，故答案为：.
例3 函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
【答案】D
【解析】y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
例4 函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
【答案】
【解析】 设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
例5 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）：
可知，所以解得，
故选：D.
【举一反三】
1．(2019·伊美区第二中学高一月考)求函数的最值，及取最值时x的集合．
【答案】时，；时，．
【解析】由已知，
∵，
∴当，即时，，
当，即时，．
2．(2020·新疆高三三模(理))f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
【答案】
【解析】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，
∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，
∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.
3．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，函数在区间上的最小值为，
所以时，，所以，，
时，，所以，，
所以的范围是．故选：D．
4.函数，且的值域是________________．
【答案】
【解析】
函数在，值域为，在也单调递增，值域为，
综上函数，且的值域是.
故答案为：
5.函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
【答案】 1
【解析】 由题意可得
f(x)＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋1.
∵x∈，
∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
