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正弦定理
一、学习目标
1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2、会利用正弦定理求三角形的面积，判定三角形的形状．
二、重点难点
重点：利用正弦定理解三角形
难点：正弦定理是一个连比等式，解题问题根据其比值或等量关系，要学会灵活运用．
三、知识梳理
1．在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2. 2．在 Rt△ABC 中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sina A＝sinb B＝sinc C，这个比值 是三角形外接圆的直径 2R.
5．正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2) a ＝ b ＝ c ＝ a＋b＋c ＝2R；
sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
6．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
四、典例分析
题型一 利用正弦定理解三角形
例 1（1）（衡阳校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5，c=10，
A=30°，则 B 等于（ ）
A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15°
（2）（长沙校级模拟）在△ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．已知 A=，a=，
b=2．则 B=（ ）
A． B． C． D．
1
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课堂小结 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是
解题的难点，应引起注意．
课堂练习 1 （1）（白银模拟）已知△ABC 中，a=4，b=4，A=30°，则 B 等于（ ） A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120°
（2）（岳阳校级模拟）在△ABC 中，A：B：C=1：2：3，则 a：b：c 等于（ ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
题型二 正弦定理的应用
例 2.（1）（大连一模）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且满足 acosA=bcosB，那
么△ABC 的形状一定是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
（2）△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ a，则b等于()
2
a
A．2 3 B．2 2 C. 3 D. 2
2
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课堂练习 2：（1）在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状．
（2）（朝阳区一模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，
则 B=（ ）
A． B． C． D．
1
（3）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，C．asin B·cos C＋csin Bcos A＝2b，则 sin B
＝()
A．1 B．－1 C． 3 D． 2
2 2 2 2
例 3.（1）（河南模拟）在△ABC 中，若 sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3
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（2）（上海模拟）已知 A 为△ABC 的一个内角，且 ，则△ABC 的形状是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
(3)在 ABC 中，若 a 6 ， A 60 ， b 6 ，则角 B 的度数为（
3 ）
A、 30 或150 B、 30 C、150 D、 45
课堂练习 3：（1）在△ABC 中，sin2A2＝c－2cb(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为_____________
（2）在△ABC 中，若 b＝asin C，c＝acos B，则△ABC 的形状为__________________．
（3）（日照二模）△ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=120°，则
的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
（4）（山西模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosA=bsinA，且 B＞，
则 sinA+sinC 的最大值是
4
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五、家庭作业
1（衡阳校级模拟）在△ABC 中，若 A=30°，b=16，此三角形的面积 S=64，则△ABC 中角 B 为（ ） A．75° B．30° C．60° D．90°
2.（安庆三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c=2b=4，B=，则∠A 的
平分线 AD 的长等于（ ）
A． B．3 C． D．
3.（平度市一模）已知△ABC 中，a=3，b=1，C=30°，则 =（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
4.（茂名二模）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2，，且 b
＜c，则 B=（ ）
A． B． C． D．
5.（春 随州期末）在△ABC 中，若 c=2acosB，则△ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
6.（上海二模）△ABC 中，，BC=3，，则∠C= ．勤奋 博学 笃志 感恩
正弦定理
一、学习目标
1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2、会利用正弦定理求三角形的面积，判定三角形的形状．
二、重点难点
重点：利用正弦定理解三角形
难点：正弦定理是一个连比等式，解题问题根据其比值或等量关系，要学会灵活运用．
三、知识梳理
1．在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2. 2．在 Rt△ABC 中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sina A＝sinb B＝sinc C，这个比值 是三角形外接圆的直径 2R.
5．正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2) a ＝ b ＝ c ＝ a＋b＋c ＝2R；
sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
6．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
四、典例分析
题型一 利用正弦定理解三角形
例 1（1）（衡阳校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5，c=10， A=30°，则 B 等于（ ）
A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15°
= ，∴sinC= sinA= × = ，∵0＜C＜π，
解：∵
∴∠C=45°或 135°，∴B=105°或 15°，答案：D．
（2）（长沙校级模拟）在△ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．已知 A=，a=，
b=2．则 B=（ ）
A． B． C． D．
解：在△ABC 中，由正弦定理可得：=，∴sinB== =1，
1
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又 B∈（0，π），∴B=．答案：D．
课堂小结 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是
解题的难点，应引起注意．
课堂练习 1 （1）（白银模拟）已知△ABC 中，a=4，b=4，A=30°，则 B 等于（ ）
A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120°
解：△ABC 中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得 ，即 =，
解得 sinB=．再由 b＞a，大边对大角可得 B＞A，∴B=60°或 120°，答案：D．
（2）（岳阳校级模拟）在△ABC 中，A：B：C=1：2：3，则 a：b：c 等于（ ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
解：在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由
正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．答案：C．
题型二 正弦定理的应用
例 2.（1）（大连一模）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且满足 acosA=bcosB，那
么△ABC 的形状一定是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B
∴A=B，或 2A+2B=180°即 A+B=90°，即有△ABC 为等腰或直角三角形．答案：C． a，则b等于()
（2）△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝
2
a
A．2 3 B．2 2 C. 3 D. 2
解：∵asin Asin B＋bcos2A＝ 2 a，∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A，
∴sin B＝ 2sin A，∴b＝ sin B ＝
2.答案：D
a sin A
课堂练习 2：（1）在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状．
解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan B＝b2tan A
a2sin B b2sin A 4R2sin2 Asin B 4R2sin2 Bsin A
cos B ＝ cos A cos B ＝ cos A
sin Acos A＝sin Bcos B sin 2A＝sin 2B 2A＝2B 或 2A＋2B＝π
A＝B 或 A＋B＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
（2）（朝阳区一模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，
2
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则 B=（ ）
A． B． C． D．
解：在△ABC 中，∵，∴，又∵， ∴sinB=﹣cosB，∴tanB=﹣．∴B=．答案：C
（3）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，C．asin B·cos C＋csin Bcos A＝12b，则 sin B
＝()
A．1 B．－1 C． 3 D． 2
2 2
2 2
解：由正弦定理得 sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12sin B，因为 B 为△ABC 的内角，所以 sin B≠0，约去
sin B，得 sin(A＋C)＝12，所以 sin B＝12.答案：A．
例 3.（1）（河南模拟）在△ABC 中，若 sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解：在△ABC 中，∵sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，
∴sinCcosA+sinCcosB=sin（B+C）+sin（A+C）=sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC，
∴sinBcosC+sinAcosC=0，sinB+sinA≠0，∴cosC=0，C∈（0，π）．．答案：B
（2）（上海模拟）已知 A 为△ABC 的一个内角，且 ，则△ABC 的形状是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
解：∵△ABC 中 ，∴平方可得 ， ，由三角形
内角范围可得 sinA＞0，∴cosA＜0，A 为钝角．答案：B
(3)在 ABC 中，若 a 6 ， A 60 ， b 6 ，则角 B 的度数为（
3 ）
A、 30 或150 B、 30 C、150 D、 45
试题分析：在 ABC 中,由正弦定理 a b 有 sin B b sin A = 6 sin 60 1 ,由于 a b, 所以
sin A sin B 2
a 6 3
A B ,所以 B 30 ,故选 B.
3
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课堂练习 3：（1）在△ABC 中，sin2A2＝c－2cb(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为_____________；
【解析】(1)∵sin2A＝c－b，∴1－cos A＝c－b，∴cos A＝b.
2 2c 2 2c c
b b2＋c2－a2 ，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形．
由余弦定理c＝ 2bc
（2）在△ABC 中，若 b＝asin C，c＝acos B，则△ABC 的形状为__________________．
2 2 2
解：由 b＝asin C 可知b＝sin C＝sin B，由 c＝acos B 可知 c＝a·a ＋c －b ，整理得 b2＋c2＝a2，即三角形
a sin A 2ac
一定是直角三角形，A＝90°，∴sin C＝sin B，∴B＝C，即 b＝c，
故△ABC 为等腰直角三角形．
（3）（日照二模）△ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=120°，则
的值为（ ）
A．B．﹣ C． D．﹣
解：∵A=120°，∴B=180°﹣A﹣C=60°﹣C，
由正弦定理得， = =
= = = ，答案：A．
（4）（山西模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosA=bsinA，且 B＞，
则 sinA+sinC 的最大值是（）
解：∵acosA=bsinA，∴ ，又由正弦定理得 ，
∴sinB=cosA=sin（ ），∵B ，∴π﹣B= ．∴B=A+ ．
∴C=π﹣A﹣B=．∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+． ∵0，，∴0，∴0＜sinA．
∴当 sinA=时，sinA+sinC 取得最大值．答案：B．
4
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五、家庭作业
1（.衡阳校级模拟）在△ABC 中，若 A=30°，b=16，此三角形的面积 S=64，则△ABC 中角 B 为（ ） A．75° B．30° C．60° D．90°
解：因为 A=30°，b=16，此三角形的面积 S=64，由 S=64=bcsinA，可得 c=16，
所以△ABC 是等腰三角形，因此 B=75°．答案：A．
2.（安庆三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c=2b=4，B=，则∠A 的
平分线 AD 的长等于（ ）
A． B．3 C． D．
解：由正弦定理：，且 c=2b，B=，所以 sinC=1，又 C∈（0，π），
所以 ，故 A= ，所以角 A 的平分线为 AD= = ．答案：D．
3.（平度市一模）已知△ABC 中，a=3，b=1，C=30°，则 =（）
A． B．﹣ C．﹣ D．
解：∵C=30°，∴＜ ， ＞=150°，∵a=3，b=1，∴ =3 1 cos150°=﹣答案：B．
4.（茂名二模）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2，，且 b
＜c，则 B=（ ）
A． B． C． D．
解：在△ABC 中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得 A=，cosA=，
∴sinC= = = ，可得 cocC= ，即 C 为 或 ，∵b＜c，B 为锐角，∴当 C= ，
B=，矛盾，舍去，故 C= ，∴B=π﹣A﹣C= ．答案：A．
5.（ 春 随州期末）在△ABC 中，若 c=2acosB，则△ABC 的形状为（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
解：利用余弦定理：则：c=2acosB=
解得：a=b 所以：△ABC 的形状为等腰三角形．答案：B
