第十二讲-任意角与弧度制及三角函数的概念
知识点一、任意角
1、角的概念
一条射线由原来的位置，绕着它的端点按一定方向旋转到另一位置，就形成了角,其中射线叫角的始边，射线叫角的终边，叫角的顶点.
2、角的分类
（1）按旋转方向
名称 定义 图形
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
（2）按角的终边位置
①象限角：
i定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
ii象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
②轴线角
i定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
ii轴线角的表示：
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴
终边落在轴 或
终边落在坐标轴
3、终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
【注】①相等的角终边一定相等，终边相同的角不一定相等
②终边相同的角的表示不唯一
知识点二、角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
考点一、任意角的概念
【典型例题】
1、（多选题）下列命题中错误的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．小于的角是锐角
C．钝角是第二象限的角
D．第一象限的角一定不是负角
E．第二象限的角一定大于第一象限的角
2、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，则.
C．若角为锐角，则角为钝角.
D．若角，则角为第二象限角.
3、将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
4、将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
5、终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6、终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
7、若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【变式练习】
1、下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
2、亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
3、集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4、与终边相同的最小正角是 .
5、终边在第一、第三象限平分线上的角的集合可表示为____________.
6、如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
7、如果是第三象限角，那么，，的终边在第几象限？
知识点三、扇形的弧长和面积公式
1、弧长公式：（是圆心角的弧度数）
2、扇形面积公式：.
考点二、弧长公式与扇形面积公式的应用
【典型例题】
1、若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2、一扇形的面积为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？最小周长是多少？
3、若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4、若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
5、如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环的面积__________．
【变式练习】
1、已知扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
2、角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Densepositionsystem），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3、已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．
4、东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
5、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积
知识点四、三角函数的定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
【注】任意角的三角函数值只与有关，而与点的位置无关.
3、三角函数值在各象限的符号
（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦）
知识点五、特殊角的三角函数值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
考点三、三角函数的定义
【典型例题】
1、已知角的终边过点，则的值是（ ）
A． B．
C．或 D．随着的取值不同其值不同
2、点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、（多选题）已知，则函数的值可能为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【变式练习】
1、已知角的终边经过点，则的值等于______．
2、已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3、若角的终边落在直线上，求和的值.
4、点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、若，则角一定位于（ ）
A．第一或第二或第三象限 B．第二或第三或第四象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【模拟训练】
1、与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2、若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3、已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合中有几类终边不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪几个？
(3)求集合中的第二象限角．
4、写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
5、（多选题）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6、如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
7、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
8、圆心角为，弧长为，扇形的面积为 ．
9、《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
11、（多选题）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
12、已知，则角位于第________象限．
13、已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14、已知角的终边上一点的坐标为（其中），求角的正弦、余弦和正切值．
15、已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．第十二讲-任意角与弧度制及三角函数的概念
知识点一、任意角
1、角的概念
一条射线由原来的位置，绕着它的端点按一定方向旋转到另一位置，就形成了角,其中射线叫角的始边，射线叫角的终边，叫角的顶点.
2、角的分类
（1）按旋转方向
名称 定义 图形
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
（2）按角的终边位置
①象限角：
i定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
ii象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
②轴线角
i定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
ii轴线角的表示：
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴
终边落在轴 或
终边落在坐标轴
3、终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
【注】①相等的角终边一定相等，终边相同的角不一定相等
②终边相同的角的表示不唯一
知识点二、角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
考点一、任意角的概念
【典型例题】
1、（多选题）下列命题中错误的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．小于的角是锐角
C．钝角是第二象限的角
D．第一象限的角一定不是负角
E．第二象限的角一定大于第一象限的角
【答案】ABDE
2、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，则.
C．若角为锐角，则角为钝角.
D．若角，则角为第二象限角.
【答案】AD
【解析】与一个逆时针旋转，一个顺时针旋转，旋转角度都为，故如果是第一象限的角，则是第四象限的角，故A正确；取，易知B错误；取，为锐角，故C错误；，故为第二象限角，D正确.
故选：AD
3、将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的，
分针转过的弧度为．
故选：B
4、将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以－1485°可化成．
故选：D．
5、终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于角的终边是一条射线，所以当角的终边落在直线，且在 内的角为， ，则终边落在直线上的角为 ,
即终边落在直线上的角的集合为．
6、终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
【答案】
【解析】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，
所以阴影部分角的集合是.
故答案为：
7、若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】B
【变式练习】
1、下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.
2、亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
【答案】
【解析】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为.
故答案为：.
3、集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4、与终边相同的最小正角是 .
【答案】°
【解析】，
与终边相同，又终边相同的两个角相差的整数倍，
在上，只有与终边相同，
与终边相同的最小正角是，
故答案为：.
5、终边在第一、第三象限平分线上的角的集合可表示为____________.
【答案】
【解析】当角为锐角时，易得，又第一、第三象限平分线上的角终边以为周期，故角的集合可表示为.
故答案为：
6、如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
7、如果是第三象限角，那么，，的终边在第几象限？
【答案】
（1）第二象限角；
（2）第一或第三或第四象限；
（3）第一或第二象限角或终边在的正半轴上.
知识点三、扇形的弧长和面积公式
1、弧长公式：（是圆心角的弧度数）
2、扇形面积公式：.
考点二、弧长公式与扇形面积公式的应用
【典型例题】
1、若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2、一扇形的面积为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？最小周长是多少？
【答案】时周长最小，最小周长为
3、若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4、若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
【答案】A
【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 ．
故选：A.
5、如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环的面积__________．
【答案】3
【解析】设,
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
【变式练习】
1、已知扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2、角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Densepositionsystem），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为1密位等于圆周角的
所以密位的圆心角为
又圆的半径为
所以弧长，故选：A
3、已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．
【答案】
【解析】因为一个扇形的弧所对的圆心角为40°，所以圆心角的弧度数为，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
4、东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
【答案】
【解析】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，大扇形半径为，
则，即，
，即.
故答案为：.
5、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积
【答案】
(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
(2)当时，扇形面积有最大值100.
知识点四、三角函数的定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
【注】任意角的三角函数值只与有关，而与点的位置无关.
3、三角函数值在各象限的符号
（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦）
知识点五、特殊角的三角函数值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
考点三、三角函数的定义
【典型例题】
1、已知角的终边过点，则的值是（ ）
A． B．
C．或 D．随着的取值不同其值不同
【答案】B
2、点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
3、（多选题）已知，则函数的值可能为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】BC
，
当在第一象限时：；
当在第二象限时：
当在第三象限时：
当在第四象限时：
故选：
【变式练习】
1、已知角的终边经过点，则的值等于______．
【答案】
【解析】因为角的终边经过点，
所以
，
故答案为：
2、已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3、若角的终边落在直线上，求和的值.
【答案】若，则；若，则
【解析】解：角的终边落在直线上，设终边上任一点.
若，则；
若，则.
4、点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
5、若，则角一定位于（ ）
A．第一或第二或第三象限 B．第二或第三或第四象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【答案】B
【模拟训练】
1、与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
2、若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
3、已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合中有几类终边不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪几个？
(3)求集合中的第二象限角．
【答案】(1)四类
(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
(3)，
（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以，.
4、写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
【答案】(1);
(2);
(3).
【解析】（1）终边在边界上的角为，，
终边在阴影部分的角满足：，
所求角的集合为
（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，
终边落在阴影区域内的角为，
故所求角的集合为，
（3）终边落在边界上的角为，，，
终边在阴影部分的角满足：，
故所求角的集合为
5、（多选题）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【解析】因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
6、如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为.
故选：B.
7、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
【答案】BC
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故角为第二象限角，C对；
对于D选项，，故扇形的面积为，D错.
故选：BC.
8、圆心角为，弧长为，扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】圆心角为，即，弧长，所以半径，
所以扇形的面积；
故答案为：
9、《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】A
【解析】因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
11、（多选题）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；
故选：BCD．
12、已知，则角位于第________象限．
【答案】二或三
【解析】当为第一象限角时，，，；
当为第二象限角时，，，
当为第三象限角时，，，
当为第四象限角时，，，
综上，若，则位于第二或第三象限
故答案为：二或三
13、已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.
故选：D.
14、已知角的终边上一点的坐标为（其中），求角的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，
【解析】角的终边上一点，则
则，，
15、已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】角的终边经过点，由，
可得，所以，
所以，，
所以.
故选：A．
