4.2 指数函数
知识点1 指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点2 两类指数模型
1．，当时为指数增长型函数模型．
2．，当时为指数衰减型函数模型．
知识点3 指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表：
a>1 0
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
考点一 指数函数的概念
解题方略：判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求(底数>0且)．
(2)前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求(指数为自变量)．
【例1-1】若函数是指数函数，则等于( )
A．或 B． C． D．
变式1-1-1：函数是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
变式1-1-2：若函数(，且)是指数函数，则________．
变式1-1-3：下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
考点二 指数函数的定义域与值域
解题方略：函数定义域、值域的求法
(1)定义域：形如形式的函数的定义域是使得有意义的的取值集合．
(2)值域：①换元，令；
②求的定义域；
③求的值域；
④利用的单调性求，的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
(一)指数函数的定义域
【例2-1】函数的定义域为( )
A． B． C． D．
变式2-1-1：函数的定义域为______．
变式2-1-2：函数的定义域为______________．
变式2-1-3：已知函数的定义域为，则_________．
(二)指数函数的值域
【例2-2】函数的值域为 .
变式2-2-1：函数且的值域是，则实数 .
变式2-2-2：高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数的值域为( )
A． B． C． D．
变式2-2-3：函数的值域为______．
考点三 指数函数的图象及应用
解题方略：处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左加右减、上加下减)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
【例3】函数的图象大致为( )
A B C D
变式3-1：函数的图象大致为( )
A B C D
变式3-2：已知函数，则函数的图像经过( )．
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限
变式3-3：函数的大致图像为( )
A B C D
变式3-4：已知函数的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．
变式3-5：函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是( )
A．2 B．3 C． D．
变式3-6：函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
变式3-7：函数(且)恒过一定点________ .
变式3-8：已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.
考点四 指数函数的性质及其应用
解题方略：
1、指数型复合函数的单调性
(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成，通过考察和的单调性，利用同增异减原则，求出的单调性．
(2)关于指数型函数(，且)的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性，它由两个函数复合而成．
2、比较幂值大小的3种类型及处理方法
3、解简单的指数不等式
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式(且)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即
(一)指数(型)函数的单调性
【例4-1】指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式4-1-1：若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
变式4-1-2：(多选)若函数(且)在R上为单调函数，则的值可以是( )
A． B． C． D．2
变式4-1-3：已知，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
变式4-1-4：若，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
变式4-1-5：若，，，则( )
A． B． C． D．
变式4-1-6：不等式的解集为_____________.
变式4-1-7：已知，那么“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式4-1-8：设函数，若，则t的取值范围是___________.
变式4-1-9：已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式
变式4-1-10：若函数(且)在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为( )
A． B． C． D．或
变式4-1-11：已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
(二)指数函数的奇偶性
【例4-2】已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为( )
A． B． C． D．
变式4-2-1：已知函数是定义在上的偶函数，当时，．求的解析式；
变式4-2-2：已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求的值域．
变式4-2-3：已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在时的值域.
(三)指数函数单调性和奇偶性的综合应用
【例4-3】设函数，则 ( )
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
变式4-3-1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A． B． C． D．
变式4-3-2：已知函数，若，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
变式4-3-2：已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式4-3-4：已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
变式4-3-5：已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
变式4-3-6：已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．
(1)求的表达式；
(2)若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．下列函数是指数函数的是( )
A． B． C． D．
2．函数的部分图象大致为( )
A B C D
3．函数与(且)在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
4．函数的值域为( )
A． B． C． D．
5．设，，则是( )
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
6．下列各组不等式正确的是( )
A． B． C． D．
7．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级(噪音级)为，声强(单位：)与声强级(单位：)的函数关系式为(，为常数)．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( )
A． B． C． D．
8．若实数，满足，则( )
A． B． C． D．
9．(多选)在下列哪些区间内单调递减( )
A． B． C． D．
10．(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，下述结论正确的是( )
A． B．
C． D．
11．对于函数和实数m、n．下列结论正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则( )
A．8 B．10 C．13 D．18
13．若函数为指数函数，则a的取值范围是________
14．函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．
15．已知则a，b，c的大小关系是________.
16．已知函数(，)是偶函数，则＝ _________，则的最大值为________.
17．函数，若，则______，______．
18．已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．4.2 指数函数
知识点1 指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点2 两类指数模型
1．，当时为指数增长型函数模型．
2．，当时为指数衰减型函数模型．
知识点3 指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
考点一 指数函数的概念
解题方略：判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求(底数>0且)．
(2)前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求(指数为自变量)．
【例1-1】若函数是指数函数，则等于( )
A．或 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得，解得.
变式1-1-1：函数是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
【答案】C
【详解】由已知得，即，解得．
变式1-1-2：若函数(，且)是指数函数，则________．
【答案】8
【详解】因为函数是指数函数，所以，所以．
变式1-1-3：下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】③
【详解】① 的系数不是； ② 的指数不是自变量；
③ 是指数函数；④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数； ⑥ 是幂函数．
考点二 指数函数的定义域与值域
解题方略：函数定义域、值域的求法
(1)定义域：形如形式的函数的定义域是使得有意义的的取值集合．
(2)值域：①换元，令；
②求的定义域；
③求的值域；
④利用的单调性求，的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
(一)指数函数的定义域
【例2-1】函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，即，解得．
变式2-1-1：函数的定义域为______．
【答案】
【解析】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
变式2-1-2：函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】换元，得出，解得(舍)或，即，即定义域为
变式2-1-3：已知函数的定义域为，则_________．
【答案】4
【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
(二)指数函数的值域
【例2-2】函数的值域为 .
【答案】
【详解】令，
函数化为
，即函数的值域为．
变式2-2-1：函数且的值域是，则实数 .
【答案】或
【详解】当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， . 综上所述，可得实数或.
变式2-2-2：高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，所以函数的值域为，
故的值域为 -1或0.
变式2-2-3：函数的值域为______．
【答案】
【解析】，在上单调递减，所以，即函数值域为.
考点三 指数函数的图象及应用
解题方略：处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左加右减、上加下减)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
【例3】函数的图象大致为( )
A B C D
【答案】C
【详解】定义域，排除AD，由解析式知，当时，单调递减，且
变式3-1：函数的图象大致为( )
A B C D
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为
，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
变式3-2：已知函数，则函数的图像经过( )．
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
【详解】因为，
所以函数的图象经过一、二象限，
又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，
所以函数的图象经过二、三、四象限，如图
变式3-3：函数的大致图像为( )
A B C D
【答案】D
【解析】对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；
，，所以，函数为偶函数，排除B选项，
因为，排除A选项.
变式3-4：已知函数的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】当时，令，可得，矛盾，此时不等式的解集为空集(舍去)；
当时，令，可得，即，即实数的取值范围，
变式3-5：函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．
由函数的图象可知，排除A，B．
由②知，函数在时有意义，排除C，故选：D．
变式3-6：函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
变式3-7：函数(且)恒过一定点________ .
【答案】
【详解】令可得，则，因此，函数的图象恒过定点.
变式3-8：已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.
【答案】9
【解析】因为函数的图象恒经过定点，
所以，又、为正数，所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.
考点四 指数函数的性质及其应用
解题方略：
1、指数型复合函数的单调性
(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成，通过考察和的单调性，利用同增异减原则，求出的单调性．
(2)关于指数型函数(，且)的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性，它由两个函数复合而成．
2、比较幂值大小的3种类型及处理方法
3、解简单的指数不等式
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式(且)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即
(一)指数(型)函数的单调性
【例4-1】指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得
变式4-1-1：若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为，所以，即
变式4-1-2：(多选)若函数(且)在R上为单调函数，则的值可以是( )
A． B． C． D．2
【答案】ABD
【解析】因为函数(且)在R上为单调函数，
所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；
变式4-1-3：已知，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，，，所以．
变式4-1-4：若，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，
因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即
变式4-1-5：若，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为在上为减函数，且，所以，所以，
变式4-1-6：不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】不等式化为，又 ，故，解得，
变式4-1-7：已知，那么“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】.
因为“”是“”的充分非必要条件，所以“”是“”的充分非必要条件.
变式4-1-8：设函数，若，则t的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数在上单调递增，且，当时取“=”
在上单调递增，，
因此，函数在上R单调递增，而，则有，解得，
变式4-1-9：已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式
【答案】(1)； (2)
【解】(1)由题可知，解得
(2)由(1)得，设(，二次根式)
∵在上单调递增，∴，解得，故原不等式的解集为
变式4-1-10：若函数(且)在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得：，
当时，函数在上为增函数，
则，解得：．综上，或．
变式4-1-11：已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
【解析】(1)的定义域是，，
因为的定义域是，所以，解得，于是的定义域为.
(2)设.
因为，即，所以当时，即时，取得最小值，值为；
当时，即时，取得最大值，值为.
(二)指数函数的奇偶性
【例4-2】已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数为R上的奇函数，所以，
又当时，，
当时，，则，所以时，
故，则由可得，或或，
解得或或，综上可得，不等式的解集为．
变式4-2-1：已知函数是定义在上的偶函数，当时，．求的解析式；
【答案】
【解析】因为数是定义在R上的偶函数，当，，
则当时，，. 因此，对任意的，.
变式4-2-2：已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求的值域．
【解析】(1)因为，，
由，可得，，
，
整理得，于是，．
当时，定义域为，是奇函数．
当时，定义域为，是奇函数．
因此．
(2)当时，，定义域为，所以，于是，
，因此，故的值域为．
当时，，定义域为，所以，且，
于是，且，所以，或．
因此或，故的值域为．
变式4-2-3：已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在时的值域.
【解析】(1)是奇函数，则，即，
化简可得
所以，解得或.
又，所以，即，所以.
(2)，且
，可得的值域为.
(三)指数函数单调性和奇偶性的综合应用
【例4-3】设函数，则 ( )
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】函数的定义域为R
，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上的减函数，
因此，函数为奇函数，且是R上的减函数.
变式4-3-1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，设，定义域为，，故函数为偶函数，A错误；
对于B，函数为非奇非偶函数，B错误；
对于C，设，该函数的定义域为，，即为奇函数，
因为函数、均为上的减函数，故函数为减函数，C选项满足条件；
对于D，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D错误.
变式4-3-2：已知函数，若，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，所以为奇函数，
在上递增，由得，
∴，，，解得.
变式4-3-2：已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【解析】(1)函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．
此时，则，符合题意；
(2)因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
又函数是奇函数，故有恒成立
即恒成立，即恒成立，
所以，解得，即；
变式4-3-4：已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【解析】(1)∵的定义域为且是奇函数， ∴，即，解得，
此时，则，符合题意．
(2)∵在上恒成立，∴．
令，因为，所以，
所以，，
因为 在单调递增，所以 ，
即 ，故，解得，所以的取值范围是．
变式4-3-5：已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)； (2)； (3)
【解析】(1)因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时，是奇函数，故；
(2)由(1)可得，
因为，可得，所以，
所以，所以，所以函数的值域为；
(3)由可得，
即，可得对于恒成立，
令，则，
函数在区间单调递增，所以，所以，
所以实数m的取值范围为．
变式4-3-6：已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．
(1)求的表达式；
(2)若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)； (2)； (3)
【解析】(1)由指数函数的图象过点，得，所以，
又为上的奇函数，所以，得，
经检验，当时，符合，所以；
(2)，
在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，在定义域内单调递增减
由于为R上的奇函数，
所以由，可得，
则在恰有个互异的实数根，
即在恰与轴有两个交点，
则，所以实数的取值集合为.
(3)由(2)知函数为上的减函数且为奇函数，
由，得，
所以，
即对任意的恒成立，
令，
由题意，得，所以实数的取值范围为：.
1．下列函数是指数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A,是幂函数，
对于B，系数不为1，不是指数函数，
对于C，是底数为的指数函数，
对于D，底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，
2．函数的部分图象大致为( )
A B C D
【答案】A
【解析】，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；
当时恒成立；
，故当时，当时；
所以，时，时，排除B；
3．函数与(且)在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
【答案】B
【解析】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.
对于BC选项，指数函数单调递减，则，可得，
一次函数单调递增且直线与轴的交点应位于点的上方，排除C
4．函数的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数定义域为R，
又函数在R上单调递减，则，所以函数的值域为.
5．设，，则是( )
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
【答案】D
【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
6．下列各组不等式正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A,由于 ，，故,故正确，
对于B,由于为单调递减函数，所以 ，故错误，
对于C，由于为单调递增函数，所以，故错误，
对于D，由于为单调递增函数，所以，故错误,
7．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级(噪音级)为，声强(单位：)与声强级(单位：)的函数关系式为(，为常数)．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，解得，
所以，易得当越大时，越大，
所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．
8．若实数，满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，由于，均为上的增函数
所以是R上的增函数．
因为，所以
即，所以，所以．
9．(多选)在下列哪些区间内单调递减( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用复合函数的单调性可知函数在上单调递减，由此可得到正确选项.
【详解】由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项ACD符合题意.
10．(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，下述结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，，，，正确；
对于B，，，错误；
对于C，∵在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，
则，错误；
11．对于函数和实数m、n．下列结论正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【详解】函数，
所以，故函数为偶函数
又因为为增函数，且时，
当，为增函数，且
所以在上为增函数(同为正数，同向可乘性得是增函数)
又为偶函数，故在上为减函数
若，则
对A，由分析知，，则，所以，故A正确；
对B，若，则，当，时，，故B错误；
对C，若，令，，则由分析知，，故C错误；
对D，若，则，所以，故D错误.
【点睛】当函数是偶函数，且在单调递增时，若，则；
当函数是偶函数，且在单调递减时，若，则.
12．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则( )
A．8 B．10 C．13 D．18
【答案】D
【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，
，，故函数的图象关于点对称
依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，
所以.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得
或者，则函数图象关于点对称.
13．若函数为指数函数，则a的取值范围是________
【答案】 或，
【详解】 为指数函数，则 或，解得： 或，
14．函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．
【答案】
【详解】令，即，则，所以定点为
15．已知则a，b，c的大小关系是________.
【答案】或
【详解】因为是R上的减函数，且，所以，所以，
因为是R上的增函数，且，所以，所以，所以
16．已知函数(，)是偶函数，则＝ _________，则的最大值为________.
【答案】 ；
【详解】是偶函数，
有，化简得：，即，则，则，
则，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为
17．函数，若，则______，______．
【答案】 /0.5 ；
【详解】由题设，，又，则，可得，
而，
所以，
故
18．已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
【答案】(1)； (2)
【解】(1)由，得恒成立，所以对于任意的恒成立
因为，当且仅当，即时取等号
所以，即实数k的取值范围为
(2)，
令，当且仅当，即时取等号，
则，
当时，为减函数，则无最小值，舍去，
当时，最小值不是，舍去，
当时，为增函数，则，最小值为，解得，
综上，