授课主题 复数的三角表示及其几何意义
教学目标 了解复数的代数表示法及其几何意义； 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
教学重难点 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
教学内容
【知识梳理】 知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案 (1)不是. (2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负. 知识点二 复数的模 1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0， 那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). 2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z|＝|z1|n(n∈N*). (3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 思考 复数的模的几何意义是什么？ 答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则： ①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部； ②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部. 知识点三 复数的三角表示 1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 【注】(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的． (3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 【典型例题】 考点一：复数的几何意义 角度一 复数代数形式加减运算的几何意义 【例1-1】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝____________ . (2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求 ①所表示的复数，所表示的复数； ②对角线所表示的复数； ③对角线所表示的复数及的长度． 【总结】1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 【变式训练1】复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 角度二 复数模的最值问题 【例1-2】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( ) A．1 B. C．2 D. (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． 【总结】|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 【变式训练1】若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值． 【变式训练2】若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值． 【变式训练3】已知复数z＝（2﹣mi）（1﹣i）（m∈R）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围． 考点二 复数的三角函数表示 角度一 代数形式化为三角形式 【例2-1】 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i； (2)－i. 【总结】 复数的代数形式化三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 【注】一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值． 角度二 三角形式化为代数形式 【例2-2】 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)(cos 60°＋isin 60°)； (2)2 【总结】 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)． 【变式训练】 下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1) (2) (3)cos ＋isin ； (4) 角度三 复数三角形式的乘、除运算 【例2-3】 计算： (1) (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]； (3) 【总结】 (1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 【变式训练】 计算： (1) (2)(cos 75°＋isin 75°)× (3) 角度四 复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例2-4】 在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数． 【总结】两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 【变式训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示) 1．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( ) A．－1＋i B．1－i C．－5－5i D．5＋5i 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( ) A．1或3 B．1 C．3 D．2 3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 B．2 C. D. 4．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．复数 ，z2＝1－i，则的辐角的主值是( ) A．－ B. C．π D. 7．把与复数z＝1－i对应的向量按逆时针方向旋转，则与所得的向量对应的复数为( ) A．－1＋i B．1＋i C．－1－i D．1－i 8．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为_______________ ． 9．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝______. 10．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝____________ . 11．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？ 12．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设u＝，证明u为纯虚数． 一、复数的几何意义是什么？ 二、本节课我需要努力的地方是：授课主题 复数的三角表示及其几何意义
教学目标 了解复数的代数表示法及其几何意义； 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
教学重难点 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
教学内容
【知识梳理】 知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案 (1)不是. (2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负. 知识点二 复数的模 1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0， 那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). 2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z|＝|z1|n(n∈N*). (3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 思考 复数的模的几何意义是什么？ 答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则： ①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部； ②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部. 知识点三 复数的三角表示 1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 【注】(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的． (3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 【典型例题】 考点一：复数的几何意义 角度一 复数代数形式加减运算的几何意义 【例1-1】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝____________ . (2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求 ①所表示的复数，所表示的复数； ②对角线所表示的复数； ③对角线所表示的复数及的长度． (1) [由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.] (2)[解] ①＝－，∴所表示的复数为－3－2i. ∵＝，∴所表示的复数为－3－2i. ②∵＝－， ∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝. 【总结】1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 【变式训练1】复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． [解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图． 则＝－＝(x，y)－(1,2) ＝(x－1，y－2)． ＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i. 角度二 复数模的最值问题 【例1-2】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( ) A．1 B. C．2 D. (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． (1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.] (2)[解] 如图所示， ||＝＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. 【总结】|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 【变式训练1】若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值． [解] 因为|z－3－4i|＝1， 所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上， 由几何性质得|z|的最大值是 ＋1＝6. 【变式训练2】若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值． [解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图： 所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1. 【变式训练3】已知复数z＝（2﹣mi）（1﹣i）（m∈R）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【解答】解：（1）z＝（2﹣mi）（1﹣i）＝（2﹣m）﹣（2+m）i， ∵z是纯虚数，∴， 得m＝2； （2）由（1）知，， ∵复数在复平面上对应的点在第四象限， ∴，解得m＜﹣2， ∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）． 考点二 复数的三角函数表示 角度一 代数形式化为三角形式 【例2-1】 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i； (2)－i. 【解】 (1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝，即θ＝， 所以＋i＝2 (2)r＝＝2，cos θ＝， 又因为－i对应的点位于第四象限， 所以θ＝.所以 －i＝2 【总结】 复数的代数形式化三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 【注】一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值． 角度二 三角形式化为代数形式 【例2-2】 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)(cos 60°＋isin 60°)； (2)2 【解】 (1)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°. (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i ＝＋i. (2) 所以复数的模r＝2，辐角的主值为π. ＝2×＋2×i ＝1－i. 【总结】 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)． 【变式训练】 下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1) (2) (3)cos ＋isin ； (4) 解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、 (4)不是，(3)是复数的三角形式． (1)原式＝； (2)原式＝ ＝； (4)原式＝. 角度三 复数三角形式的乘、除运算 【例2-3】 计算： (1) (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]； (3) 【解】 (1)8 ＝32 ＝32 ＝32 ＝32 ＝16＋16i. (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)] ＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝(cos 75°＋isin 75°) ＝ ＝＋i ＝＋i. (3)4÷ ＝4(cos 0＋isin 0)÷ ＝4 ＝2－2i. 【总结】 (1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 【变式训练】 计算： (1) (2)(cos 75°＋isin 75°)× (3) 解：(1) ＝()2 ＝2 ＝－1＋i. (2)－i＝ ＝， 所以(cos 75°＋isin 75°)× ＝ ＝× ＝cos π＋isin π ＝cos ＋isin ＝＋i. (3)因为－＋i＝cos π＋isin π， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝＋i. 角度四 复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例2-4】 在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数． 【解】 因为3－i＝2 ＝2 所以2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝3＋i， 2 ＝2 ＝2 ＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 【总结】两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 【变式训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示) 解：＋i＝，由题意得 ＝×2 ＝3 ＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 1．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( ) A．－1＋i B．1－i C．－5－5i D．5＋5i D [由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)， ∴＝－＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i，故选D.] 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( ) A．1或3 B．1 C．3 D．2 A [依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.] 3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 B．2 C. D. C [因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝.] 4．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图 所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.] 5．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. ] 6．复数 ，z2＝1－i，则的辐角的主值是( ) A．－ B. C．π D. 解析：选B.z2＝1－i＝， 所以arg＝－π＋2π＝. 7．把与复数z＝1－i对应的向量按逆时针方向旋转，则与所得的向量对应的复数为( ) A．－1＋i B．1＋i C．－1－i D．1－i 解析：选B.因为z＝1－i＝，所以z按逆时针方向旋转得 ＝ ＝ ＝ ＝1＋i. 8．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为_______________ ． 或 [∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或] 9．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝______. [∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.] 10．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝____________ . 12 [由条件，知 所以m＝3， 因此z＝12i，故|z|＝12.] 11．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z1|＝＝2，|z2|＝＝1， ∴|z1|＞|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示． 12．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设u＝，证明u为纯虚数． [解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0. 所以ω＝z＋＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋＝x＋＋. 因为ω是实数且y≠0， 所以y－＝0，所以x2＋y2＝1， 即|z|＝1. 此时ω＝2x. 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x＜2， 从而有－＜x＜1， 即z的实部的取值范围是. (2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， 由(1)知，x2＋y2＝1， ∴u＝＝ ＝ ＝＝－i. 因为x∈，y≠0， 所以≠0， 所以u为纯虚数. 一、复数的几何意义是什么？ 二、本节课我需要努力的地方是：
