授课主题 简单几何体的表面积与体积
教学目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 3.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 4.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
教学重难点 重点：简单几何体的表面积与体积
教学内容
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
思考 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答案 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝(S′＋＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
知识点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点四 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝Sh＝πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点五 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. ∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20. ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40. 反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 解 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1). 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设三棱锥B1－ABC的高为h，则＝S△ABCh＝××3＝. (2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积. 解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高. 设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形. ∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)， ∴EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm， ∴O1O＝＝12(cm). 故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3). 反思感悟 求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱). 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题. 跟踪训练2 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________. 答案 解析 由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为A1C1＝， 则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝×1××＝. 几何体体积的求法 典例1 等积变换法 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 解 由， ∵＝EA1·A1D1＝a2， 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， ∴＝×a×a2＝a3， ∴＝a3. 典例2 分割法 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 解 如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V三棱锥F－EBC ＝V三棱锥C－EFB ＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC ＝×V四棱锥E－ABCD＝4. ∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20. [素养提升] (1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法. (2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法. 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积 例3 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2 答案 C 解析 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶. (2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A 解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r. 由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 跟踪训练3 圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.πS 答案 A 解析 设底面半径为r，则πr2＝S， ∴r＝， ∴底面周长为2πr＝2π， 又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积是2＝4πS. 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 例4 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A. cm3 B. cm3 C.288π cm3 D.192π cm3 答案 AB 解析 当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3). (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( ) A. B. C.64π D.128π 答案 A 解析 作圆锥的轴截面，如图所示： 由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝r. 由S侧＝π·r·PB＝16π，得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4. 故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝π. 反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积. 跟踪训练4 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π 解析 设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图. ∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2. ∴下底面半径R＝8，高h＝8， ∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π. 五、球的表面积和体积 例5 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π. (2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练5 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B. C.32π D. 答案 D 解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π. 1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A.22 B.20 C.10 D.11 答案 A 解析 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( ) A.8 B.16 C.8＋12 D.8＋16 答案 D 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案 A 4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A.1∶9 B.1∶8 C.1∶4 D.1∶3 答案 B 解析 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8. 5.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝， ∴V四棱锥C－AA′B′B＝1－＝. 6.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.∶ 答案 B 解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9. 7.将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A. cm2 B.32π cm2 C.32 cm2 D. cm2 答案 A 解析 当以4 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r， 则2πr＝8，∴2r＝， ∴S轴截面＝4×＝(cm2). 当以8 cm为母线长时，设圆柱底面半径为R， 则2πR＝4,2R＝， ∴S轴截面＝8×＝(cm2). 综上，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 8.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. B. C.2π D.4π 答案 B 解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝. 9.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________. 答案 解析 易知V＝1－8×××××＝. 10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a， ∴A1B＝BD＝A1D＝a， ∵， ∴×a2·a＝××a×·a·d. ∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a. 11.一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为________cm3. 答案 解析 如图所示， 由已知得O1A＝3 cm，OO1＝4 cm，从而R＝OA＝5 cm. 所以V球＝ ×53＝(cm3). 12.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 答案 π 解析 圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r， 则2πr＝×2π×2，∴r＝1， ∴圆锥的高h＝＝， 则圆锥的体积V＝πr2h＝π. 13.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 解 (1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. (2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm， ∴大棱锥的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm. 又梯形ABB1A1的高h′＝ ＝4(cm)， ∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm2). 14.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________. 答案 144π 解析 如图所示，设球的半径为R， ∵∠AOB＝90°， ∴S△AOB＝R2. ∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB， 而△AOB的面积为定值， ∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大， ∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大， 此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 解得R＝6， 则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 15.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上. 设外接球半径为R. ∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC的中心， ∴AO1＝×a＝a， SO1＝＝＝a， 在Rt△OO1A中， R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2， 即R2＝2＋2，解得R＝a， ∴所求外接球的体积V球＝πR3＝πa3. 我需要努力的地方（错题）是： 本章内容我学到了什么？授课主题 简单几何体的表面积与体积
教学目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 3.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 4.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
教学重难点 重点：简单几何体的表面积与体积
教学内容
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
思考 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答案 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝(S′＋＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
知识点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点四 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝Sh＝πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点五 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( ) A. B. C. D. (2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积. 反思感悟 求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱). 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题. 跟踪训练2 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________. 几何体体积的求法 典例1 等积变换法 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 典例2 分割法 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. [素养提升] (1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法. (2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法. 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积 例3 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2 (2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 跟踪训练3 圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.πS 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 例4 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A. cm3 B. cm3 C.288π cm3 D.192π cm3 (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( ) A. B. C.64π D.128π 反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积. 跟踪训练4 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 五、球的表面积和体积 例5 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积. 反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练5 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B. C.32π D. 1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A.22 B.20 C.10 D.11 2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( ) A.8 B.16 C.8＋12 D.8＋16 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A.1∶9 B.1∶8 C.1∶4 D.1∶3 5.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( ) A. B. C. D. 6.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.∶ 7.将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A. cm2 B.32π cm2 C.32 cm2 D. cm2 8.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. B. C.2π D.4π 9.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________. 10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 11.一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为________cm3. 12.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 13.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 14.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________. 15.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积. 我需要努力的地方（错题）是： 本章内容我学到了什么？
