授课主题 空间直线、平面的垂直
教学目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直. 3.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 4.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
教学重难点 重点：空间直线、平面垂直的判定及其性质定理
教学内容
爱思课堂——有趣 知识点一 回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点二 异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点三 直线与平面垂直的定义 定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 思考 空间两条直线垂直一定相交吗？ 知识点四 直线与平面垂直的判定定理 文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α图形语言
思考 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？ 知识点五 直线与平面所成的角 有关概念对应图形斜线一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
知识点六 直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言 a∥b图形语言
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 思考 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ 知识点七 二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点八 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l β α⊥β图形语言
知识点九 平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β图形语言
一、异面直线所成的角 例1 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角. 反思感悟 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2. (1)求直线BC和EG所成的角； (2)求直线AE和BG所成的角. 二、直线与直线垂直 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 反思感悟 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直. 跟踪训练2如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 三、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 例3 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 反思感悟 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 跟踪训练3 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC (2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号) 四、直线与平面垂直的判定 例4 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 反思感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 跟踪训练4 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 五、直线与平面垂直的性质 例5 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 反思感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 跟踪训练5 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l. 求直线与平面所成的角 典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. [素养提升] 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 六、二面角的求法 例6 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 反思感悟 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 跟踪训练6 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中： ①二面角D′－AB－D的大小为________. ②二面角A′－AB－D的大小为________. 七、平面与平面垂直的判定 例7 在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 跟踪训练7 如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°， 求证：平面ABC⊥平面ASC. 八、平面与平面垂直的性质定理 例8 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪训练8 如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC. 1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( ) A.l与AD平行 B.l与AB异面 C.l与CD所成的角为30° D.l与BD垂直 3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是( ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 6.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a α，b α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________. 7.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________. 8.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α； ②若m∥α，则m平行于α内的所有直线； ③若m α，n β，且α∥β，则m∥n； ④若n β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点. (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 10.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( ) A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1 12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为( ) A.45° B.60° C.30° D.75° 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 16.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. 17.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. 我需要努力的地方（错题）是： 本章内容我学到了什么？授课主题 空间直线、平面的垂直
教学目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直. 3.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 4.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
教学重难点 重点：空间直线、平面垂直的判定及其性质定理
教学内容
爱思课堂——有趣 知识点一 回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点二 异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点三 直线与平面垂直的定义 定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 思考 空间两条直线垂直一定相交吗？ 答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直. 知识点四 直线与平面垂直的判定定理 文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α图形语言
思考 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？ 答案 当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直. 知识点五 直线与平面所成的角 有关概念对应图形斜线一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
知识点六 直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言 a∥b图形语言
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 思考 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ 答案 共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. 知识点七 二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点八 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l β α⊥β图形语言
知识点九 平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β图形语言
一、异面直线所成的角 例1 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角. 解 (1)∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 反思感悟 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2. (1)求直线BC和EG所成的角； (2)求直线AE和BG所成的角. 解 (1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角. ∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2， ∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°. (2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG＝， ∴∠FBG＝60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°. 二、直线与直线垂直 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 证明 如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴A1D1綉BC， ∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角， 连接AC，AD1，易证AC＝AD1， 又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C， ∴AO⊥A1B. 反思感悟 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直. 跟踪训练2如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 证明 取CC′的中点F，连EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC′的中点， ∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF 即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′. 在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝. 在等边△ABC中，BE＝＝， 在Rt△BCF中，BF＝＝. 在△BEF中BE2＋EF2＝BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC′. 三、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 例3 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 答案 ③④ 解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确. 反思感悟 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 跟踪训练3 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC (2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号) 答案 (1)C (2)①③④ 解析 (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC， ∴OA⊥平面OBC. (2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件. 四、直线与平面垂直的判定 例4 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，所以BD⊥平面SAC. 反思感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 跟踪训练4 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明 (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB 平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ. 五、直线与平面垂直的性质 例5 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明 ∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 反思感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 跟踪训练5 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l. 证明 ∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB， ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 求直线与平面所成的角 典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. [素养提升] 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 六、二面角的求法 例6 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 解 由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC 平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 反思感悟 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 跟踪训练6 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中： ①二面角D′－AB－D的大小为________. ②二面角A′－AB－D的大小为________. 答案 ①45° ②90° 解析 ①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°. ②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°. 七、平面与平面垂直的判定 例7 在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明 ∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 跟踪训练7 如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°， 求证：平面ABC⊥平面ASC. 证明 作SH⊥AC交AC于点H，连接BH， ∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在Rt△ABC中，H是AC的中点， ∴BH＝AC＝AH， 又SH＝SH，SA＝SB， ∴△SAH≌△SBH(SSS)， ∴SH⊥BH， 又AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC， ∴SH⊥平面ABC， 又SH 平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC. 八、平面与平面垂直的性质定理 例8 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 证明 如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD 平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB 平面PAB，∴BC⊥AB. 反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪训练8 如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC. 证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，BC，EC 平面EBC， ∴AM⊥平面EBC. 1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 答案 D 解析 当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行. 2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( ) A.l与AD平行 B.l与AB异面 C.l与CD所成的角为30° D.l与BD垂直 答案 A 解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行. 由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行. 3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 答案 A 解析 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求. 4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是( ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 答案 C 解析 连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 答案 C 解析 ∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l， 又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l， 又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC， ∴l⊥平面ABC， 又AC 平面ABC，∴l⊥AC. 6.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a α，b α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________. 答案 a与b相交 7.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________. 答案 60° 解析 过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知， a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°. 8.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α； ②若m∥α，则m平行于α内的所有直线； ③若m α，n β，且α∥β，则m∥n； ④若n β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 答案 ①④ 解析 ①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确. 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点. (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明 (1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB. 因为A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1. 又因为AB⊥BC，BB1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1. 又因为AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1. 10.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明 (1)在平面ABD内， 因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF. 又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD 平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB 平面ABC， BC 平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC 平面ABC，所以AD⊥AC. 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( ) A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1 答案 D 解析 根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行. ∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确. 12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 答案 5 解析 取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°， PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为( ) A.45° B.60° C.30° D.75° 答案 A 解析 取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝， ∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°. 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 ∠A1C1B1＝90° 解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等) 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析 由题意得BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 16.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. 证明 设AC∩BD＝O， 连接EO，则EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD. ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PC 平面PCD， ∴PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD. 又EO 平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD. 17.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝DC. 又∵DC∥AB且DC＝AB， AM＝AB， ∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE 平面PAD，MN 平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE， ∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 我需要努力的地方（错题）是： 本章内容我学到了什么？
