4.2指数函数的图像与性质
【知识梳理】
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
[知识点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称
指数函数的底数对图像的影响
函数的图像如图所示：
观察图像，我们有如下结论：
1.底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图像是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图像越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图像是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图像越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图像越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图像相对位置的高低；
在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；
在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”；
3．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
题型一：指数函数的概念
例1：(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝________.
[答案] (1)2 (2)
[解析] (1)依题意应有
解得a＝2(a＝－1舍去)．
(2)设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则有a－1＝4，
所以a＝，即f(x)＝()x.
于是f(2)＝.
例2：已知函数为指数函数，则 .
【答案】1
【解析】
函数为指数函数，
解得
题型二：指数函数的图象
例3：如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a
C．1[思路分析] 作直线x＝1，其与函数的交点纵坐标即为底数的值．
[规范解答] 解法1：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图像向下越靠近x轴，故有b解法2：作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以若四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b[答案] B
[规律总结] 直线x＝1与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像交点的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
例4：：在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
题型三：利用指数函数单调性比较大小
例5：比较下列各题中两值的大小
（1） （2） （3）
答案 （1）< （2）> （3）<
[规律总结] 两个幂值大小比较的一般方法：
(1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性．
(2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系．如第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．
例6：比较下列各组数的大小：
(1)和－；(2)0.8－2和－；(3)a和a，(a>0，且a≠1)．
[思路分析] 当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．
[规范解答](1)＝ -，由y＝的单调性可得，
－>－即>－.
(2)解法1：因为0.8－2＝()－2，
而－＝，
由y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
可知0.8－2>－.
解法2：因为0.8－2＝()－2>1，()－＝()<1，所以0.8－2>()－.
(3)当a>1时，y＝ax在R上为增函数，又<，所以aa.
题型四：解指数不等式
例7：求满足下列条件的的取值范围：
（1）； （2）； （3）
答案：（1）； （2）； （3）
[规律总结] 指数不等式的三种求解方法
性质法:解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1
与0隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以 a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解。
(3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解.
例8：已知函数且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）∵且的图象经过点
∴,由且
可得
（2）由（1）得
若,代入
可得
由指数函数的单调性可知满足
解得,即
题型五：指数型函数图象过定点问题
例9：函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______．
【答案】(1,4)
【解析】
由向右平移个单位，向上平移个单位得到，过定点，则过定点.
[规律总结]指数型函数过定点的求法：
求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图象所过的定点．
例10：函数（且）的图象恒过定点_______________.
【答案】
【解析】
根据题意，数中，
令，解可得，
此时，
即函数的图象恒过定点，
故答案为：.
题型六：指数型函数的定义域与值域
例11： 求下列函数的值域和单调区间．
(1)y＝()－x2＋2x；
(2)y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]．
[思路分析] 这两个小题均以指数函数形式出现但都是由两个函数复合而成．
(1)中y＝()u，u＝－x2＋2x；
(2)中y＝t2－2t＋3，t＝2x.
先考虑其定义域，再求其值域．求单调区间可由复合函数的单调性来确定．
[规范解答] (1)设u＝－x2＋2x.
∵y＝()u，u＝－x2＋2x的定义域都是R，
∴y＝()－x2＋2x的定义域为R，
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
∴()u≥()1，
∴函数的值域为[，＋∞)．
u＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，
在[1，＋∞)上单调递减．
又∵y＝()u是减函数，
∴y＝()－x2＋2x的单调递减区间为(－∞，1]，
单调递增区间为[1，＋∞)．
(2)y＝22x－2·2x＋3，
令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，
∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
当t＝1时，ymin＝2；
当t＝2时，ymax＝22－2×2＋3＝3.
∴函数值域为[2,3]．
当1≤t≤2时，1≤2x≤2,0≤x≤1，
当0∵y＝(t－1)2＋2在[1,2]上递增，t＝2x在[0,1]上递增，
∴y＝22x－2·2x＋3的单调递增区间为[0,1]；
∵y＝(t－1)2＋2在(0,1)上递减，t＝2x在(－∞，0)上递增，
∴y＝22x－2·2x＋3的单调递减区间为(－∞，0)
[规律总结] 对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)的定义域、奇偶性与f(x)的定义域、奇偶性相同；
(2)先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，求函数y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上的单调性相同；当0u＝f(x) y＝au y＝af(x)
增 增(a>1) 增
增 减(0减 增(a>1) 减
减 减(0一般规律：“同增异减”，即u＝f(x)与y＝au单调性相同时，复合函数y＝af(x)为增函数，单调性不同时，复合函数y＝af(x)为减函数．
例12：已知函数y＝()x2－6x＋17，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
[规范解答] (1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝()u及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝()x2－6x＋17的定义域为R.因为u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以()u≤()8，
又()u>0，故函数的值域为(0，]．
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)且x1()u2，即y1>y2，所以函数y＝()x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝()x2－6x＋17在(－∞，3)上是增函数．
题型七：指数型函数的奇偶性
例13：设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
[规范解答] 解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；
（2），令，
则在上有最小值，
所以，得；
（3），所以，所以，
因为，，所以．
①，即，解集为R；
②，即，解集为．
例13：已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.
[规范解答] 解：（1）为上的奇函数，，可得
又（1）
，解之得
经检验当且时，，满足是奇函数．
（2）由（1）得，
任取实数、，且
则
，可得，且
，即，函数在上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．
不等式恒成立，即
也就是：对任意的都成立．
变量分离，得对任意的都成立，
，当时有最小值为
，即的范围是．
题型八：指数函数的综合应用
例14：已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值.
【答案】或
[规范解答]时，是增函数，则，解得（舍去）；
时，是减函数，则，解得（舍去）．
综上，或．
例15：解方程
答案：
例16：已知定义在R上恒不为0的函数满足
（1）证明
（2）证明当时，则在R上单调递增
课后作业
基础巩固
课后作业
基础巩固
一、选择题
1．若指数函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[答案] B
[解析] ∵函数y＝(1－a)x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴0<1－a<1，∴02．如果函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与函数y＝()x的图像关于y轴对称，则a的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] 由题意知a·＝1，即a＝.
3．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
[答案] A
[解析] 令x－1＝0，x＝1，f(x)＝3，
∴点P的坐标是(1,3)．
4．函数y＝ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
[答案] B
[解析] 当01，当x＝0时，ymin＝a0＝1，
当x＝1时，ymax＝a1＝a，
又∵1＋a＝3，∴a＝2.故正确答案为B.
5．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
[答案] D
[解析] 此题考查函数奇偶性的判断．
A、B非奇非偶，C为奇函数，D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．
6．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
[答案] D
[解析] 由指数函数性质可知，当020＝1，()x<()0＝1，而y＝0.2x与y＝()x在0二、填空题
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
[答案] m[解析] ∵a＝，∴0函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的且f(m)>f(n)，∴m8．函数y＝的定义域是__________，值域为__________．
[答案] [－1,2] [，1]
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
三、解答题
9．设函数是定义在R上的奇函数.
求的值；
若，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集.
10．设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
能力提升
一、选择题
1．定义运算a*b＝，如1*2=1，则函数f(x)=2x*2-x的值域是( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
[答案] D
[解析] 由题意知函数f(x)的图像如图，
∴函数的值域为(0,1]，故选D.
2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( )
[答案] D
[解析] 当a>1时，函数y＝ax单调递增，0<<1，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故A不正确；因为y＝ax－恒不过点(1,1)，所以B不正确；当01，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故C不正确，故选D.
二、填空题
3．指数函数f(x)＝(2a－1)x满足f(π)[答案] (，1)
[解析] ∵π>3，又f(π)∴0<2a－1<1，∴4．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
[答案] 1
[解析] 因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图像关于直线x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图像关于直线x＝1对称，故a＝1.且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞) [1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.
三、解答题
5．已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
[解析] y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，
∵x∈[1,2]，∴t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]．
∵f(t)＝(t－1)2＋1，f(t)在[3,9]上递增，
∴f(3)≤f(t)≤f(9)．
∴5≤f(t)≤65，即值域为[5,65]．
6．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝()x－1－4·()x＋2的最大值和最小值．
[解析] 由已知得(3x)2－10·3x＋9≤0，
得(3x－9)(3x－1)≤0.
∴1≤3x≤9，故0≤x≤2.
而y＝()x－1－4·()x＋2＝4·()2x－4·()x＋2，
令t＝()x(≤t≤1)．
则y＝f(t)＝4t2－4t＋2
＝4(t－)2＋1.
当t＝即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
7．已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
[分析] 本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等知识解决．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)证法1：f(x)＝＝＝1－.
令x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝(1－)－(1－)＝2·.
∵g(x)＝10x为增函数，
∴当x2>x1时，102x2－102x1>0，
又∵102x1＋1>0,102x2＋1>0，
故当Δx>0时，Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，∴f(x)是增函数．
证法2：考虑复合函数的增减性．
由f(x)＝＝1－，
∵y＝10x为增函数，∴y＝102x＋1为增函数，
y＝为减函数，y＝－为增函数，
∴f(x)＝1－在定义域内是增函数．
(3)令y＝f(x)，由y＝，解得102x＝.
∵102x>0，∴－18.求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
[解析]（1）由得，所以定义域为，又，
所以，，所以值域中，
在上是减函数，所以的减区间是；
（2）由得，所以定义域是，
又，所以值域是，
在和上都是增函数，
所以的减区间是和；
（3）定义域是，又，所以值域中，
在上递增，在上递减，
所以的增区间，减区间是；
（4）定义域是，令，由，所以，
，所以，值域，
又在上递减，在上递增，而是减函数，
所以的减区间是，增区间．4.2指数函数的图像与性质
【知识梳理】
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
[知识点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称
指数函数的底数对图像的影响
函数的图像如图所示：
观察图像，我们有如下结论：
1.底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图像是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图像越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图像是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图像越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图像越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图像相对位置的高低；
在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；
在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”；
3．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
题型一：指数函数的概念
例1：(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝________.
例2：已知函数为指数函数，则 .
题型二：指数函数的图象
例3：如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1[规律总结] 直线x＝1与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像交点的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
例4：：在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
题型三：利用指数函数单调性比较大小
例5：比较下列各题中两值的大小
（1） （2） （3）
[规律总结] 两个幂值大小比较的一般方法：
(1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性．
(2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系．如第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．
例6：比较下列各组数的大小：
(1)和－；(2)0.8－2和－；(3)a和a，(a>0，且a≠1)．
题型四：解指数不等式
例7：求满足下列条件的的取值范围：
（1）； （2）； （3）
[规律总结] 指数不等式的三种求解方法
性质法:解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1
与0隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以 a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解。
(3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解.
例8：已知函数且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
题型五：指数型函数图象过定点问题
例9：函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______．
[规律总结]指数型函数过定点的求法：
求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图象所过的定点．
例10：函数（且）的图象恒过定点_______________.
题型六：指数型函数的定义域与值域
例11： 求下列函数的值域和单调区间．
(1)y＝()－x2＋2x；
(2)y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]．
[规律总结] 对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)的定义域、奇偶性与f(x)的定义域、奇偶性相同；
(2)先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，求函数y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上的单调性相同；当0u＝f(x) y＝au y＝af(x)
增 增(a>1) 增
增 减(0减 增(a>1) 减
减 减(0一般规律：“同增异减”，即u＝f(x)与y＝au单调性相同时，复合函数y＝af(x)为增函数，单调性不同时，复合函数y＝af(x)为减函数．
例12：已知函数y＝()x2－6x＋17，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
题型七：指数型函数的奇偶性
例13：设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
例13：已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
题型八：指数函数的综合应用
例14：已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值.
例15：解方程
例16：已知定义在R上恒不为0的函数满足
（1）证明
（2）证明当时，则在R上单调递增.
课后作业
基础巩固
一、选择题
1．若指数函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
2．如果函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与函数y＝()x的图像关于y轴对称，则a的值为( )
A. B．－
C. D．－
3．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
4．函数y＝ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
5．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
6．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
二、填空题
7．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝________.
8．不等式2 x2－x＜4的解集为________．
9．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
三、解答题
10．设函数是定义在R上的奇函数.
求的值；
若，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集.
11．设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
能力提升
一、选择题
1．定义运算a*b＝，如1*2=1，则函数f(x)=2x*2-x的值域是( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( )
二、填空题
3．指数函数f(x)＝(2a－1)x满足f(π)4．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
三、解答题
5．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝()x－1－4·()x＋2的最大值和最小值．
6．已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
7.求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.