第1讲 平面向量的概念与运算 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册(含答案)

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名称 第1讲 平面向量的概念与运算 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-14 15:46:56

文档简介

授课主题 平面向量的概念及线性运算
教学目标 了解向量的实际背景; 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; 理解向量的几何表示; 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
教学重难点 1.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; 2.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教学内容
问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面的任一向量否可以分解为其他两个向量的和? 提示:可以 问题2:以a为平行四边形的一条对角线做平行四边形,四边形确定吗? 提示:不确定 问题3:如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?根据是什么? 提示:可以,根据是数乘向量和平行四边形法则 【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 【典型例题】 考点一:平面向量的概念 【例1】(1)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=0成立的是(  ) A.a=2b B.a∥b C.a=-b D.a⊥b (2)给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(  ) A.②③ B.①② C.③④ D.②④ 解析 (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与向量b共线且方向相反时,能使+=0成立.对照各个选项可知,选项A中a与b的方向相同;选项B中a与b共线,方向相同或相反;选项C中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直. (2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵=,∴||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||, ∥且,方向相同,因此=. ③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A 【总结】 对于向量的有关概念应注意以下几点: (1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混为一谈. (4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量. 【变式训练】(1)如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(  ) A.= B.= C.= D.= (2)给出下列说法: ①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; ②若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上; ③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向; ④设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误说法的序号是________. 解析 (1)根据相等向量的定义,分析可得与不平行,与不平行,所以=,=均错误,与平行,但方向相反也不相等,只有与方向相同,且大小都等于线段EF长度的一半,所以=. (2)根据向量的有关概念可知①②③正确,④错误. 答案 (1)D (2)④ 考点二:平面向量的线性运算 多维探究 角度1 向量的线性运算 【例2-1】在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  ) A.- B.- C.+ D.+ 解析 ∵E是AD的中点,∴=-, ∴=+=-+, 又知D是BC的中点, ∴=(+), 因此=-(+)+=-. 答案 A 角度2 利用向量线性运算求参数 【例2-2-1】如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(  ) A.1 B. C. D. 【例2-2-2】在锐角△ABC中,=3,=x+y(x,y∈R),则=________. 解析 (1)∵E为线段AO的中点, ∴=+=+×=+=λ+μ, ∴λ+μ=+=. (2)由题设可得=-=+=(-A)+=+, 则x=,y=.故=3. 答案 (1)B (2)3 【总结】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. 【变式训练】(1)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=(  ) A.a-b    B.a-b C.a+b    D.a+b (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 解析 (1)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点, 得CD∥AB且==a, 所以=+=b+a. (2)=+=+=+(-)=-+, ∵=λ1+λ2, ∴λ1=-,λ2=, 因此λ1+λ2=. 答案 (1)D (2) 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. (1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b). ∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线,又它们有公共点B, ∴A,B,D三点共线. (2)解 ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ, 使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1. 【总结】1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立. 【变式训练】(1)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为(  ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 (2)已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为(  ) A.{0} B. C.{-1} D.{0,-1} 解析 (1)因为A,B,C三点共线,所以∥,设=m(m≠0),则λa+b=m(a+μb),所以所以λμ=1. (2)法一 若要x2+x+=0成立,必须与x2+x共线,由于-=与共线,所以和的系数必须互为相反数,则x2=-x,解得x=0或x=-1,而当x=0时,=0,此时B,C两点重合,不合题意,舍去.故x=-1. 法二 ∵=-,∴x2+x+-=0,即=-x2-(x-1),∵A,B,C三点共线, ∴-x2-(x-1)=1,即x2+x=0,解得x=0或x=-1.当x=0时,x2+x+=0,此时B,C两点重合,不合题意,舍去.故x=-1. 答案 (1)D (2)C 一、选择题 1.已知下列各式:①++;②+++;③+++;④-+-,其中结果为零向量的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④,故选B. 答案 B 2.如图,在正六边形ABCDEF中,++=(  ) A.0 B. C. D. 解析 由题图知++=++=+=. 答案 D 3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(  ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 解析 对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小. 答案 B 4.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列一定共线的三点是(  ) A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 解析 因为=++=3a+6b=3(a+2b)=3,又,有公共点A,所以A,B,D三点共线. 答案 B 5.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  ) A. B. C. D. 解析 如图,+=+++=+=(+)=·2=. 答案 C 6.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=(  ) A.-2 B.- C.- D. 解析 =+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-,因此=-2. 答案 A 7.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵O为BC的中点, ∴=(+)=(m+n)=+, ∵M,O,N三点共线,∴+=1, ∴m+n=2. 答案 B 8.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(  ) A. B. C. D. 解析 设=y, 因为=+=+y=+y(-)=-y+(1+y). 因为=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合), 所以y∈, 因为=x+(1-x), 所以x=-y,所以x∈. 答案 D 二、填空题 9.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中,与向量相等的向量有________个. 解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义,易知与向量相等的向量有,,,共3个. 答案 3 10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________. 解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得解得λ=μ=. 答案  11.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x+y=________. 解析 由题中条件得,=+=+=+(-)=-=x+y, 所以x=,y=-,因此x+y=-=. 答案  12.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________. 解析 ∵D为AB的中点,则=(+), 又++2=0,∴=-,∴O为CD的中点. 又∵D为AB的中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4. 答案 4 13.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则(  ) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 解析 因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B. 答案 B 14.设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=(  ) A. B. C. D. 解析 因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点, 所以+2+3=(+)+2×(+)+3××(+) =+++++=++=+=. 答案 D 15.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=________. 解析 由已知条件得+=-,如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点. 同理E,F分别是AC,AB的中点, 因此点M是△ABC的重心, ∴==(+),则m=3. 答案 3 16.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________. 解析 由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ. 又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2, 所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2) =(3-k)e1-(2k+1)e2, 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2, 又e1与e2不共线, 所以解得k=-. 答案 - 一、本节课我们学习的知识点有哪些: 二、本节课我印象最深刻的是: 三、挑选一个题目给老师讲解一遍?授课主题 平面向量的概念及线性运算
教学目标 了解向量的实际背景; 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; 理解向量的几何表示; 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
教学重难点 1.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; 2.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教学内容
问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面的任一向量否可以分解为其他两个向量的和? 问题2:以a为平行四边形的一条对角线做平行四边形,四边形确定吗? 问题3:如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?根据是什么? 【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 【典型例题】 考点一:平面向量的概念 【例1】(1)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=0成立的是(  ) A.a=2b B.a∥b C.a=-b D.a⊥b (2)给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(  ) A.②③ B.①② C.③④ D.②④ 【总结】 对于向量的有关概念应注意以下几点: (1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混为一谈. (4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量. 【变式训练】(1)如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(  ) A.= B.= C.= D.= (2)给出下列说法: ①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; ②若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上; ③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向; ④设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误说法的序号是________. 考点二:平面向量的线性运算 多维探究 角度1 向量的线性运算 【例2-1】在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  ) A.- B.- C.+ D.+ 角度2 利用向量线性运算求参数 【例2-2-1】如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(  ) A.1 B. C. D. 【例2-2-2】在锐角△ABC中,=3,=x+y(x,y∈R),则=________. 【总结】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. 【变式训练】(1)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=(  ) A.a-b    B.a-b C.a+b    D.a+b (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 【总结】1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立. 【变式训练】(1)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为(  ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 (2)已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为(  ) A.{0} B. C.{-1} D.{0,-1} 一、选择题 1.已知下列各式:①++;②+++;③+++;④-+-,其中结果为零向量的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,在正六边形ABCDEF中,++=(  ) A.0 B. C. D. 3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(  ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 4.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列一定共线的三点是(  ) A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 5.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  ) A. B. C. D. 6.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=(  ) A.-2 B.- C.- D. 7.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(  ) A. B. C. D. 二、填空题 9.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中,与向量相等的向量有________个. 10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________. 11.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x+y=________. 12.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________. 13.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则(  ) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 14.设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=(  ) A. B. C. D. 15.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=________. 16.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________. 一、本节课我们学习的知识点有哪些: 二、本节课我印象最深刻的是: 三、挑选一个题目给老师讲解一遍?