4.1.1 n次方根与分数指数幂
【知识梳理】
1．n次方根的定义及概念
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
[归纳总结] (1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
(2)＝0(n＞1，且n∈N*)．
2．根式的定义及性质
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①()n＝a.
②＝
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂不存在
4.有理数指数幂的运算性质
（1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
（2）ar÷as＝ar-s(a>0，r，s∈Q)；
（3）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
（4）()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
（5）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
注意：指数幂的几个常见结论．
①当a>0时，ab>0；
②当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；
③若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：
(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a>0，b>0)．
题型一：分数指数幂概念的理解
例1： (x－1)－中x的取值范围是________．
例2：(2x－1)－中x的取值范围是________．
题型二：分数指数幂与根式的互化
例3： (1)将各式化为根式：①x－；②a；③xy－.
(2)将各式化为分数指数幂：①；②；③.
[规律总结] 根式与分数指数幂互化的关键与技巧：
(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a＝(a>0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
例4：下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：
(1)5－；(2)(a≥0)．
题型三：利用指数的运算性质化简、求值
例5： 计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(3)÷(a>0)．
[规律总结] 在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：
(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．
(5)尽可能用幂形式表示．
例6：计算：0.0081＋(4－)2＋()－－16－0.75.
题型四：配方法与平方法的应用
例7：化简：（1）__________.（2）________.
例8：化简：－＝________.
[规律总结]对形如的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．
将复合根式先化为(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为
＝＝±，
也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式可化简．
题型五：利用分数指数幂进行条件求值
例9： 已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
[规律总结] 1.在该类求值化简中，要注意式子的整体变形，整体代换是数学重要的思想方法．同时对平方差，完全平方，立方和，立方差，和立方等公式要熟练使用，起到化繁为简、化难为易的效果．
2．本题也可将a作变元，设a＝t，首先用t表示因式然后再化简关于t的因式．
例10：若，求下列各式的值:
（1）；（2）；（3）；（4）
课后作业
基础巩固
一、选择题
1．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x≠
C．x> D．x<
2．如果x>y>0，则等于( )
A．(x－y) B．(x－y)
C．()y－x D．()x－y
3．将化为分数指数幂的形式为( )
A．2－ B．－2
C．2－ D．－2－
4．化简·的结果是( )
A. B．－
C. D．－
5．以下化简结果错误的是( )
A．a·a－·a－＝1
B．(a6·b－9)－＝a－4·b6
C．(－2x·y－)(3x－·y)(－4x·y)＝24y
D.＝－ac
二、填空题
6.＝________.
7．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2021)))＝________.
8．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x－y＝________.
三、解答题
9．求下列各式的值
(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
(3)··(xy)－1.
10．(1)已知＋b＝1，求的值．
(2)化简()－·(a>0，b>0)．
能力提高
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①＝a
②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝0
③＝x＋y
④＝
A．0 B．1
C．2 D．3
2．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2 B.b2
C．－b D.b
二、填空题
3．若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
4．若5x2·5x＝25y，则y的最小值是________．
5．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
.
三、解答题
6．已知x＋x－＝3，求的值．
7．化简下列各式：
(1)1.5－＋80.25×＋(×)6－；
(2)(a＞b，b＞0)．
8．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．4.1.1 n次方根与分数指数幂
【知识梳理】
1．n次方根的定义及概念
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
[归纳总结] (1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
(2)＝0(n＞1，且n∈N*)．
2．根式的定义及性质
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①()n＝a.
②＝
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂不存在
4.有理数指数幂的运算性质
（1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
（2）ar÷as＝ar-s(a>0，r，s∈Q)；
（3）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
（4）()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
（5）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
注意：指数幂的几个常见结论．
①当a>0时，ab>0；
②当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；
③若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：
(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a>0，b>0)．
题型一：分数指数幂概念的理解
例1： (x－1)－中x的取值范围是________．
[思路分析] 根据分数指数幂的定义列关系式．
[规范解答] 由分数指数幂的意义可知
x－1>0，解得x>1，故x的取值范围是{x|x>1}．
[答案] {x|x>1}
例2：(2x－1)－中x的取值范围是________．
[答案] {x|x≠}
[解析] (2x－1)－＝＝，则2x－1≠0，即x≠，所以{x|x≠}.
题型二：分数指数幂与根式的互化
例3： (1)将各式化为根式：①x－；②a；③xy－.
(2)将各式化为分数指数幂：①；②；③.
[思路分析] 利用公式a＝以及a－＝进行互化．
[规范解答] (1)①x－＝＝；
②a＝；③xy－＝＝.
(2)①＝＝a－；②＝x＝x2；
③＝＝ab－.
[规律总结] 根式与分数指数幂互化的关键与技巧：
(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a＝(a>0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
例4：下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：
(1)5－；(2)(a≥0)．
[解析] (1)5－＝＝＝. (2)＝(aa)＝(a)＝a.
题型三：利用指数的运算性质化简、求值
例5： 计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(3)÷(a>0)．
[思路分析] 先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．
[规范解答] (1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1.
(2)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(3)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×(－)·a×]
＝a－＋－＝a0＝1.
[规律总结] 在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：
(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．
(5)尽可能用幂形式表示．
例6：计算：0.0081＋(4－)2＋()－－16－0.75.
[解析] 原式＝(0.3)4×＋(2－)2＋(2)－－24×(－)
＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.3＋0.25
＝0.55.
题型四：配方法与平方法的应用
例7：化简：（1）__________.（2）________.
（1）【答案】
【解析】
原式.
故答案为：.
（2）【答案】
【解析】
.
故答案为：.:
例8：化简：－＝________.
【答案】
【解析】
原式＝.
故答案为：
[规律总结]对形如的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．
将复合根式先化为(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为
＝＝±，
也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式可化简．
题型五：利用分数指数幂进行条件求值
例9： 已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
[思路分析] 从已知条件中解出a值代入后进行求值，显然很繁琐，我们设法利用整体之间联系去求解．
[规范解答] (1) a＋a－＝3将两边平方得
a1＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3所以有
＝
＝a＋a－1＋1＝8.
[规律总结] 1.在该类求值化简中，要注意式子的整体变形，整体代换是数学重要的思想方法．同时对平方差，完全平方，立方和，立方差，和立方等公式要熟练使用，起到化繁为简、化难为易的效果．
2．本题也可将a作变元，设a＝t，首先用t表示因式然后再化简关于t的因式．
例10：若，求下列各式的值:
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）3；（2）4；（3）；（4）．
【解析】
，，．
（2）．
（3），．
（4），
即，由（2）得：，．
课后作业
基础巩固
一、选择题
1．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x≠
C．x> D．x<
[答案] D
[解析] (1－2x)－＝，要使(1－2x)－有意义，则需1－2x>0，即x<.
2．如果x>y>0，则等于( )
A．(x－y) B．(x－y)
C．()y－x D．()x－y
[答案] C
[解析] 原式＝xy－x·yx－y＝()y－x.
3．将化为分数指数幂的形式为( )
A．2－ B．－2
C．2－ D．－2－
[答案] B
[解析] 原式＝＝
＝(－2)＝－2.
4．化简·的结果是( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] 由题意可知a≤0，
则·＝(－a)·a＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)＝－＝－.
5．以下化简结果错误的是( )
A．a·a－·a－＝1
B．(a6·b－9)－＝a－4·b6
C．(－2x·y－)(3x－·y)(－4x·y)＝24y
D.＝－ac
[答案] D
[解析] ＝－ac－2，
故选项D错误．
二、填空题
6.＝________.
[答案]
[解析] ＝|m－n|＝.
7．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2021)))＝________.
[答案]
[解析] f1(f2(f3(2021)))＝f1(f2(20212))＝f1((20212)－1)＝((20212)－1)＝2021－1
8．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x－y＝________.
[答案] 15
[解析] 由已知可得2x＝(23)y＋1，(32)y＝3x－9，
∴解得
于是x－y＝15.
三、解答题
9．求下列各式的值
(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
(3)··(xy)－1.
[解析] (1)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝(－1)－－＋－－＋1
＝－＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(3)原式＝(xy2·x·y－)·(xy)·(xy)－1
＝(xy)(xy)－
＝(xy)·(xy) －
＝(xy)－
＝(xy)0
＝1.
10．(1)已知＋b＝1，求的值．
(2)化简()－·(a>0，b>0)．
[解析] (1)＝＝32a＋b÷3＝32a＋b×3－＝32a＋b－＝3a＋b.
∵a＋b＝1，∴＝3.
(2)原式＝·a·a－·b－·b2＝a0·b
＝b.
能力提高
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①＝a
②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝0
③＝x＋y
④＝
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①中当a＜0，n为偶数时，≠a，故①错；③中＝(x4＋y3)≠x＋y，故③错；
④中＜0，＞0，故④错；
②中a∈R，a2－a＋1＞0，
∴(a2－a＋1)0＝1，故②错，故选A.
2．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2 B.b2
C．－b D.b
[答案] A
[解析] (2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)
＝＝·＝－b2.
二、填空题
3．若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
[答案] －1
[解析] ∵有意义，∴2－x≥0.∴x≤2.
∴－|3－x|
＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
4．若5x2·5x＝25y，则y的最小值是________．
[答案] －
[解析] 由5x2·5x＝25y得5x2＋x＝52y，
∴2y＝x2＋x，即y＝x2＋x＝(x＋)2－，
∴当x＝－时，y取最小值－.
5．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[答案] 2
[解析] ∵α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，
∴α＋β＝－2，α·β＝，
∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝.(2α)β＝2αβ＝2.
三、解答题
6．已知x＋x－＝3，求的值．
[解析] ∵x＋x－＝3，
∴两边平方，得(x＋x－)2＝9，
∴x＋x－1＝7.对x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＝47.
将x＋x－＝3两边立方，得
x＋x－＋3＝27.
即x＋x－＝18.
∴原式＝＝＝3.
7．化简下列各式：
(1)1.5－＋80.25×＋(×)6－；
(2)(a＞b，b＞0)．
[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．
[解析] (1)原式＝()＋2×2＋(22×33)－()
＝2＋＋4×27
＝2＋108
＝110
(2)原式＝＝
＝＝a＋＋－1b1＋－2－＝ab－1.
[点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．
8．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解析] ∵a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴.
()2＝＝＝，
∵a>b>0，∴>，
∴＝＝.
