椭圆中求定点的5类问题
一.已知定点位置求定点
1．已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点．
(1)求曲线T的方程；
(2)在x轴上求定点，使得；
(3)记的面积为，求的取值范围．
2．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．
二.直径相关定点
3．已知，是椭圆上的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于两点（不与点B重合），且以为直径的圆经过点B，试证明：直线过定点，并求出这个定点坐标.
4．已知椭圆经过点，椭圆的左、右焦点分别是，，经过的动直线交椭圆于P，Q两点，且当时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，直线AP，AQ分别与直线交于不同的两点D，E，证明：以线段DE为直径的圆经过轴上的定点，并求出所有的定点坐标．
三.两直线的相交定点
5．在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.
6．已知圆上三点，，.
(1)求圆的方程；
(2)过点任意作两条互相垂直的直线，，分别与圆交于两点和两点，设线段的中点分别为.求证：直线恒过定点.
四.与角度有关的定点
7．已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线 的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
8．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切.
(1)求的值；
(2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
9．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过且与轴垂直的直线与椭圆交于点，，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于不同于右顶点的，两点，且，判断直线是否过定点，并说明理由．
五.与斜率有关定点问题
10．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN =－1．证明：直线l过定点．
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．椭圆中求定点的5类问题
一.已知定点位置求定点
1．已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点．
(1)求曲线T的方程；
(2)在x轴上求定点，使得；
(3)记的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用垂直得到，可求得曲线T的方程，注意；
（2）联立方程，由韦达定理得与的值，再由题意可知，从而整理化简得到，由此求得；
（3）先求得，利用换元法整理得，构造函数，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.
【详解】（1）设C点的坐标为，由题意知，存在，且，
因为，所以，整理可得，
故曲线T的方程为
（2）不妨设直线l的方程为，点M、N的坐标分别为、，
联立，整理得，
由韦达定理得①，②．
要使，则，
则，即，
又因为，，
所以，即，
代入①②两式，化简得，
由m的任意性可知，即满足要求．
（3）由于点P、Q的坐标分别为、，所以，
故，
因为，，所以，
所以，
令，则，由于，可得，所以，
令，则，
因为，，在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
故S的取值范围是.
2．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，过定点为
【分析】（1）根据椭圆定义与离心率求解；
（2）将直线与椭圆联立，写出直线BP，BQ的方程，求出，由得到的关系，从而证明直线过一定点.
【详解】（1）∵，，∴，，．
故椭圆方程为；
（2）联立直线和椭圆可得，解得，
于是有：，
，．
由题意BP：，BQ：，
分别和联立得，，，
由，得，即
整理得，
整理得，解得或者．
当时，直线过点B,与题意矛盾，应舍去.
故直线的方程为：，过定点为．
二.直径相关定点
3．已知，是椭圆上的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于两点（不与点B重合），且以为直径的圆经过点B，试证明：直线过定点，并求出这个定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）由点为椭圆的上顶点，得，将代入椭圆C的方程，解出得椭圆方程；
（2）由圆过点B可得直线的斜率一定存在，直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，得，，以为直径的圆经过点B，所以，解得m为定值，得直线l过定点.
【详解】（1）由得，
将代入椭圆C的方程，得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可得直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，
由，消去y可得，
所以，
所以，
，
因为，
以为直径的圆经过点B，所以，
即
整理得，解得或，
因为不在直线上，所以舍去，
所以直线的方程为，过定点.
4．已知椭圆经过点，椭圆的左、右焦点分别是，，经过的动直线交椭圆于P，Q两点，且当时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，直线AP，AQ分别与直线交于不同的两点D，E，证明：以线段DE为直径的圆经过轴上的定点，并求出所有的定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析；定点坐标为，
【分析】（1）根据条件用a，b，c表示P点的坐标，再根据椭圆的定义即可求出a，b，c；
（2）设直线PQ的方程为，以及P，Q点的坐标，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出P，Q点坐标之间的关系，再设定以DE为直径的圆与x轴的交点为M，则有，据此即可求出M点的坐标.
【详解】（1）设，，则当时，点的横坐标为，
将代入椭圆方程，得，整理得．故此时，
∵椭圆经过点，∴，
由椭圆的定义，得，∴，∴，∴，
∴椭圆的方程为；
（2）
由（1）可知，故．
由于直线AP，AQ分别与直线交于不同的两点D，E，故直线PQ的斜率不为零．
设直线PQ的方程为，，，
联立得，∴，
∴，∴，
而直线AP的方程为，令，得D点纵坐标，故；
直线AQ的方程为，同理，得，
设以线段DE为直径的圆与轴的交点为，
则，即，
则
，
∴，即或，
因此以线段DE为直径的圆经过轴上的两个定点，并且定点坐标为，；
综上，椭圆方程C为，定点坐标为，.
【点睛】本题计算量比较大，这是圆锥曲线习题的特点，其中运用DE是直径，则有 ，并运用向量的数量积表达是巧妙的地方，值得学习.
三.两直线的相交定点
5．在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）设，进而根据距离公式整理化简即可；
（2）由题知直线斜率存在，设其方程为，设，进而结合直线和直线方程联立得，再结合韦达定理整理化简得，进而得答案.
【详解】（1）解：设，因为两个定点，曲线上动点满足.
所以，整理得：，
所以，曲线的方程为
（2）解：因为过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），
所以，直线斜率存在，设其方程为，
设，因为，
所以直线方程为，直线的方程为，
所以，联立方程得得
因为，
所以，
联立方程得，
所以，，
所以，即
所以，将代入整理得：，
所以，点恒在定直线上.
6．已知圆上三点，，.
(1)求圆的方程；
(2)过点任意作两条互相垂直的直线，，分别与圆交于两点和两点，设线段的中点分别为.求证：直线恒过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】(1)设出圆M的标准方程，根据圆上三个点列出方程组，求解方程组即可；
(2)当斜率存在且不为零时，设，，，联立的方程和圆M的方程，根据韦达定理和中点坐标公式表示出R的坐标，同理表示出S的坐标，求出直线RS的方程即可判断其经过的定点．
【详解】（1）设圆M的方程为，
则，解得，
∴圆M的方程为．
（2）若斜率不存在，则此时AB中点为R(0，0)，CD中点为S(1，0)，
则直线RS为y=0；
同理斜率为零时，直线RS为y=0；
当斜率存在且不为零时，设，，，
则，
，，
∴，
，同理为，即，
∴，
∴RS：，化简为，
∴RS过定点．
当k=1时，R为，S为，直线RS为，也过定点；
同理时直线RS也过定点，
斜率不存在或斜率为0时，直线RS也过定点．
综上可得，直线RS过定点．
【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，以及直线过定点的问题.第二问的关键在于根据题意求出直线RS的方程，从而判断直线RS经过的定点.解题时从设直线的方程入手，通过联立和圆M的方程，结合中点坐标公式和韦达定理求出R坐标，根据两直线垂直，斜率相乘为－1可求S坐标，从而可求出RS的方程.求解过程中需要对特殊情况进行单独讨论．
四.与角度有关的定点
7．已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线 的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)定点为，理由见解析
【分析】（1）设动圆圆心，由题意可得点的轨迹满足抛物线定义，即可求解；
（2）讨论直线 中其中一条的斜率不存在和直线 的斜率都存在，当直线 的斜率都存在时，设，结合可得，设方程为，与抛物线进行联立可得，，代入上式即可求解
【详解】（1）设动圆圆心，
∵动圆经过点，且与直线相切，
∴点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线，
故其方程为，
∴动圆圆心的轨迹方程是；
（2）由（1）可得，
当直线 中其中一条的斜率不存在，不妨设，，
易得，直线的直线为，与联立可得，
故直线的方程为；
当直线 的斜率都存在时，故设直线 的斜率，
设
所以，同理可得，
因为，所以，所以，即，所以，
所以，即，
由题意可设方程为，联立，消整理得，
所以，，，
所以即，所以，
令得，，此时有定点，
综上所述，直线经过定点
【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题
8．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切.
(1)求的值；
(2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，定点为，理由见解析.
【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据即可求解.
【详解】（1）根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得.
（2）根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则，
设直线l方程为：，由可得，
设，则，
故，即，又，
故，故，所以，
综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立.
9．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过且与轴垂直的直线与椭圆交于点，，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于不同于右顶点的，两点，且，判断直线是否过定点，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线l恒过点，理由见解析
【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；
（2）根据题意设直线的方程为，设，，进而直线方程与椭圆方程联立得，，再根据解方程得，再根据直线方程判断即可.
【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以 ①．
将代入，得，
所以，则，即 ②．
又因为，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为．
联立得消去得，
，化简整理，得．
设，，则，．
因为，所以．
因为，
所以，，
所以，，
将，代入上式整理得，
所以，，解得或（舍去），
所以直线的方程为，则直线恒过点.
五.与斜率有关定点问题
10．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN =－1．证明：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先分别求出点P到点F的距离和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为y = kx + m，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出kAM·kAN =－1，将韦达定理代入，得出的关系，得到答案，再验证直线l的斜率不存在的情况.
【详解】（1）因为点P（x，y）到点F（－1，0）的距离为，
点P（x，y）到直线x=－4的距离，
所以 4（x2+2x+1+y2）=x2+8x+163x2+4y2=12，
因此，可得椭圆C的标准方程为．
（2）① 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立
消去y，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0，
则 =48（4k2+3－m2）＞0，，，
于是 ，
即（kx1+m）（kx2+m）+（x1－2）（x2－2）= 0，
即（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+（m2+4）=0，
化简，得4k2+16km+7m2=（2k+m）（2k+7m）=0．
（i）当2k+m=0时，直线为y=kx－2k，过点（2，0），舍去；
（ii）当2k+7m=0时，直线为，过点（，0）．
② 当直线l的斜率不存在时，x =，经检验，符合题意．
综上，则直线l过定点R（，0）．
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
【分析】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；
（2）记点N关于x轴的对称点为，将问题转化为三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入共线的坐标表示可解.
【详解】（1）由椭圆定义可知的周长为4a，
所以由题可知，解得，所以
所以椭圆C的方程为
（2）如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，
易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：
，则
直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，
等价于
即，等价于
因为
所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.
所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为
