4.2-4.3等差、等比数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
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| 名称 | 4.2-4.3等差、等比数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 590.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-14 15:50:16 | ||
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文档简介
数学学生讲义
学生姓名： 年级：高二年级 科目：数学 学科教师：
课题 等差数列、等比数列
授课类型 专题复习
教学目标 掌握等差数列、等比数列基本性质，会推导出来； 掌握数列通项公式和求和公式的求法。
教学重难点 通项公式和求和公式的求法
授课日期及时段
教学内容
一、等差数列 1. 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：（常数）是等差数列； ②中项公式法：是等差数列； ③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列； ④前项和公式法：（为常数）是等差数列. 2. 等差数列的通项公式及前项和 通项公式： 通项公式的推广： 前n项和公式： 3. 等差数列有关性质 （1）若，则； 特别地，若，则； （2）若成等差数列，则； （3）公差为的等差数列中，连续项和，… 组成新的等差数列； （4）等差数列，前项和为： ①当为奇数时，；；； ②当为偶数时，；；. （5）等差数列，前项和为，则（）； （6）等差数列中，若，则； （7）等差数列中，公差，依次每项和：，，成等差数列，新公差. 4. 等差数列前项和的最值问题： 等差数列中 若＞0，＜0，有最大值，可由不等式组来确定； 若＜0，＞0，有最小值，可由不等式组来确定，也可由前项和公式来确定. 二 ：等比数列 1. 判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：（是不为0的常数，∈N*）是等比数列； （2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数∈N*）是等比数列； （3）中项公式法：（，）是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前项和 通项公式： 推广：. 前项和公式： 3. 等比数列的主要性质： （1）若，则； 特别，若，则； （2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列； （3）公比为的等比数列中，连续项和，… 组成新的等比数列； （4）等比数列，前项和为，当为偶数时，； （5）等比数列中，公比为，依次每项和：，，…成公比为qk的等比数列； （6）若为正项等比数列，则（＞0且≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（＞0且≠1）为等比数列； （7）等比数列前项积为，则. 三：常见的数列通项公式求法 1. 已知数列的前几项： 已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式. 2. 已知等差数列或等比数列： 通过公式法求通项公式. 类型通项公式等差数列等比数列
3. 已知数列的递推关系式： ①形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式； ②形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式. ③形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解； ④形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项； ⑤形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项. ⑥形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项. 4. 已知，求： 利用与的关系，即，可求得数列的通项公式. 5. 已知，求： 利用作商法，即求数列的通项公式. 四：常见的数列求和方法 1. 公式法： 如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。 2. 分组求和法： 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：. 3. 裂项法： 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, 则，如an= 4. 错位相减法： 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差≠0等差数列，是公比≠1等比数列，如. 一般步骤： ，则 所以有 要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 五、通项与前项和的关系： 任意数列的前项和； 等差、等比数列性质 1. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。 2、在等差数列中，，则= 3、在等差数列中，，则= 4、在等差数列中，若,, 则= , = 5、已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= . 6、已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？ 7、设等差数列的前项和为, 已知,,. （1）求公差的取值范围； （2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由. 8、 已知数列的首项为……， 证明：数列是等比数列. 9、已知数列中 判断数列是等比数列，并说明理由 10、已知等比数列的前项和为Sn， 且，求的值. 11、等比数列中，若， 求的值. 定义求通项公式 典例1、已知数列中，，且，则__________.（用数字作答） 典例2、已知数列满足，，则________. 前n项和求通项公式 典例1、已知等比数列的前项和，则数列的通项公式是_______________. 典例2、记为数列的前项和．若点，在直线上，则（ ） A． B． C． D． 题型三：构造法求通项公式 典例1、已知数列满足，，则的值是（ ） A. B. C. D. 典例2、数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N），则数列{an}的前n项和Sn＝_____． 典例3、已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________. 作商法：已知求，用作商法：。 例、数列中，对所有的都有，则______ ； 累加法： 若求：。 例. 已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 如已知数列满足，，则=________ ； 累乘法：已知求，用累乘法：。 例、 已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 如已知数列中，，前项和，若，求 已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 （1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 ①解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例1. 已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且 所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. ②解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。 例2. 已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,应用例7解法得： 所以 练一练①已知，求； ②已知，求； （2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 例3： 解：取倒数： 是等差数列， 练一练：已知数列满足=1，，求； 跟踪训练 1、记为数列的前项和，若，则______. 2、已知数列{an}中，，，若是等差数列，则______． 3、设数列中，，，则_________． 4、已知数列的前n项和为，且满足：，，则数列的各项和为______． 5、若数列满足，，则______. 6、设数列的前项和，，则的通项公式为__________． 7、已知数列满足：（），设的前项和为，则 ______； 8、已知数列是等比数列，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 题型一：分组求和 典例1、已知等差数列和等比数列中， (1)求数列和的通项公式; (2)如果，写出的关系式，并求 题型二：裂项求和 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4）（5） 典例1、已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 典例2、记数列的前项和为．若. （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 题型三：错位相减求和 典例1、已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 典例2、在数列中，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若数列的前项和是，求证：. 跟踪训练 1、已知数列满足. （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和公式. 2、已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 3、已知等差数列满足：，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）令，求数列的前项和. 4、设数列满足：. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5、已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 6、已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 7、已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.
学生姓名： 年级：高二年级 科目：数学 学科教师：
课题 等差数列、等比数列
授课类型 专题复习
教学目标 掌握等差数列、等比数列基本性质，会推导出来； 掌握数列通项公式和求和公式的求法。
教学重难点 通项公式和求和公式的求法
授课日期及时段
教学内容
一、等差数列 1. 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：（常数）是等差数列； ②中项公式法：是等差数列； ③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列； ④前项和公式法：（为常数）是等差数列. 2. 等差数列的通项公式及前项和 通项公式： 通项公式的推广： 前n项和公式： 3. 等差数列有关性质 （1）若，则； 特别地，若，则； （2）若成等差数列，则； （3）公差为的等差数列中，连续项和，… 组成新的等差数列； （4）等差数列，前项和为： ①当为奇数时，；；； ②当为偶数时，；；. （5）等差数列，前项和为，则（）； （6）等差数列中，若，则； （7）等差数列中，公差，依次每项和：，，成等差数列，新公差. 4. 等差数列前项和的最值问题： 等差数列中 若＞0，＜0，有最大值，可由不等式组来确定； 若＜0，＞0，有最小值，可由不等式组来确定，也可由前项和公式来确定. 二 ：等比数列 1. 判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：（是不为0的常数，∈N*）是等比数列； （2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数∈N*）是等比数列； （3）中项公式法：（，）是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前项和 通项公式： 推广：. 前项和公式： 3. 等比数列的主要性质： （1）若，则； 特别，若，则； （2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列； （3）公比为的等比数列中，连续项和，… 组成新的等比数列； （4）等比数列，前项和为，当为偶数时，； （5）等比数列中，公比为，依次每项和：，，…成公比为qk的等比数列； （6）若为正项等比数列，则（＞0且≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（＞0且≠1）为等比数列； （7）等比数列前项积为，则. 三：常见的数列通项公式求法 1. 已知数列的前几项： 已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式. 2. 已知等差数列或等比数列： 通过公式法求通项公式. 类型通项公式等差数列等比数列
3. 已知数列的递推关系式： ①形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式； ②形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式. ③形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解； ④形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项； ⑤形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项. ⑥形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项. 4. 已知，求： 利用与的关系，即，可求得数列的通项公式. 5. 已知，求： 利用作商法，即求数列的通项公式. 四：常见的数列求和方法 1. 公式法： 如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。 2. 分组求和法： 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：. 3. 裂项法： 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, 则，如an= 4. 错位相减法： 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差≠0等差数列，是公比≠1等比数列，如. 一般步骤： ，则 所以有 要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 五、通项与前项和的关系： 任意数列的前项和； 等差、等比数列性质 1. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。 2、在等差数列中，，则= 3、在等差数列中，，则= 4、在等差数列中，若,, 则= , = 5、已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= . 6、已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？ 7、设等差数列的前项和为, 已知,,. （1）求公差的取值范围； （2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由. 8、 已知数列的首项为……， 证明：数列是等比数列. 9、已知数列中 判断数列是等比数列，并说明理由 10、已知等比数列的前项和为Sn， 且，求的值. 11、等比数列中，若， 求的值. 定义求通项公式 典例1、已知数列中，，且，则__________.（用数字作答） 典例2、已知数列满足，，则________. 前n项和求通项公式 典例1、已知等比数列的前项和，则数列的通项公式是_______________. 典例2、记为数列的前项和．若点，在直线上，则（ ） A． B． C． D． 题型三：构造法求通项公式 典例1、已知数列满足，，则的值是（ ） A. B. C. D. 典例2、数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N），则数列{an}的前n项和Sn＝_____． 典例3、已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________. 作商法：已知求，用作商法：。 例、数列中，对所有的都有，则______ ； 累加法： 若求：。 例. 已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 如已知数列满足，，则=________ ； 累乘法：已知求，用累乘法：。 例、 已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 如已知数列中，，前项和，若，求 已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 （1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 ①解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例1. 已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且 所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. ②解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。 例2. 已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,应用例7解法得： 所以 练一练①已知，求； ②已知，求； （2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 例3： 解：取倒数： 是等差数列， 练一练：已知数列满足=1，，求； 跟踪训练 1、记为数列的前项和，若，则______. 2、已知数列{an}中，，，若是等差数列，则______． 3、设数列中，，，则_________． 4、已知数列的前n项和为，且满足：，，则数列的各项和为______． 5、若数列满足，，则______. 6、设数列的前项和，，则的通项公式为__________． 7、已知数列满足：（），设的前项和为，则 ______； 8、已知数列是等比数列，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 题型一：分组求和 典例1、已知等差数列和等比数列中， (1)求数列和的通项公式; (2)如果，写出的关系式，并求 题型二：裂项求和 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4）（5） 典例1、已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 典例2、记数列的前项和为．若. （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 题型三：错位相减求和 典例1、已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 典例2、在数列中，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若数列的前项和是，求证：. 跟踪训练 1、已知数列满足. （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和公式. 2、已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 3、已知等差数列满足：，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）令，求数列的前项和. 4、设数列满足：. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5、已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 6、已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 7、已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.