微专题1 向量数量积的综合应用
向量的数量积、向量的垂直是考查的热点，向量的数量积，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养．
一、向量的数量积
例1 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
二、向量数量积的应用
1．求模
例2 已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
2．求夹角
例3 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
3．垂直问题
例4 已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
反思感悟 (1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解．
(2)求平面向量夹角的方法
①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)两向量垂直的应用
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
【小试身手】
1．化简＋－＋等于( )
A. B. C．0 D.
2．(多选)已知a，b为两个单位向量，则下列说法不正确的是( )
A．a＝b B．若a∥b，则a＝b
C．a＝b或a＝－b D．若a＝b，b＝c，则a＝c
3．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
4．已知＝－2a＋2b，＝3a－3b，＝a－b，则直线AD与BC的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．相交 D．垂直
5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于( )
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
6．已知O是线段AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，如果＝3e1，＝3e2，那么＝________.
7．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝__________.
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝________.
9．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
10.如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋λ，求实数λ的取值范围．
12．已知a，b为单位向量，＝，记e是与a＋b方向相同的单位向量，则a在a＋b方向上的投影向量为( )
A.e B．－e
C.e D.e
13．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则向量a与b的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
14．已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·＝________.
【更上一层楼】
15.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，＝b，则用a，b表示＋＋＋…＋，其结果为( )
A．100(a＋b) B．101(a＋b)
C．201(a＋b) D．202(a＋b)
16．在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值．微专题1 向量数量积的综合应用
向量的数量积、向量的垂直是考查的热点，向量的数量积，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养．
一、向量的数量积
例1 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案 12
解析 因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
答案
解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，
所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．
设M(x，y)，则＝(x，y)，
所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，
所以x＝2y，
又＝λ＋μ，
即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
反思感悟 向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角)．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
二、向量数量积的应用
1．求模
例2 已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
答案 2
解析 因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×＝4，
则||＝2.
2．求夹角
例3 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
答案 －
解析 因为2＝，
所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
3．垂直问题
例4 已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解 假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)．
则＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)，
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝，
∴＝(2,1)或＝，
∴存在M(2,1)或M满足题意．
反思感悟 (1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解．
(2)求平面向量夹角的方法
①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)两向量垂直的应用
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
【小试身手】
1．化简＋－＋等于( )
A. B. C．0 D.
答案 B
解析 ＋－＋，
＝－＋－，
＝.
2．(多选)已知a，b为两个单位向量，则下列说法不正确的是( )
A．a＝b B．若a∥b，则a＝b
C．a＝b或a＝－b D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案 ABC
解析 a与b的方向不一定相同，故A中说法不一定正确；若a∥b，则a与b方向可能相反，故B中说法不一定正确；a与b的模相等，但方向不确定，故C中说法不一定正确；易知D正确，故选ABC.
3．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 ∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝－.
4．已知＝－2a＋2b，＝3a－3b，＝a－b，则直线AD与BC的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．相交 D．垂直
答案 B
解析 因为＝－，所以∥，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线，因为＝3，且与有公共点C，所以B，C，D三点共线，所以A，B，C，D四点共线，所以直线AD与BC重合．
5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于( )
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
答案 C
解析 如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，
所以＝＝×(＋)＝×＝－a＋b.
6．已知O是线段AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，如果＝3e1，＝3e2，那么＝________.
答案 e1＋2e2
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2.
7．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝__________.
答案 120°
解析 由|a|＝|b|＝|c|和a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2 2a·b＝－|a|2 2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2 cos θ＝－ θ＝120°.
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝________.
答案 －
解析 根据条件，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以·＝·(－)
＝·－2＋2
＝×3×3×－×9＋×9＝－.
9．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解 设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；
当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，
故|a＋b|＝.
(3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，cos θ＝＝，
又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
10.如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋λ，求实数λ的取值范围．
解 由题意，得DC＝AB－BCcos 30°＝.
∵＝＋λ，
∴－＝λ，
即＝λ，
∴λ＝.
又0≤||≤，||＝2，∴0≤λ≤，
综上，实数λ的取值范围是.
【更上一层楼】
11．已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得(a－2b)·a＝0，即a2＝2a·b，
(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，
所以a2＝b2，|a|＝|b|.
设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
12．已知a，b为单位向量，＝，记e是与a＋b方向相同的单位向量，则a在a＋b方向上的投影向量为( )
A.e B．－e
C.e D.e
答案 C
解析 对|a＋b|＝|a－b|两边平方得，2＋2a·b＝2－4a·b＋2，即a·b＝，则a·＝1＋＝，
设a与a＋b的夹角为α，则·cos α＝.
又＝＝，
故cos α＝×＝，
因为e是与a＋b方向相同的单位向量，
所以a在a＋b方向上的投影向量为e.
13．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则向量a与b的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设向量a与b的夹角为θ，
由题意得Δ＝|a|2－4|a||b|cos θ≥0，
∵|a|＝2|b|≠0，∴Δ＝4|b|2－8|b|2 cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
14．已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·＝________.
答案
解析 ·＝·(－)＝·－·，
如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F.
根据数量积的定义，得·－·＝3||－2||＝3×－2＝.
15.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，＝b，则用a，b表示＋＋＋…＋，其结果为( )
A．100(a＋b) B．101(a＋b)
C．201(a＋b) D．202(a＋b)
答案 B
解析 设A0A201的中点为A，则A也是A1A200，…，A100A101的中点，可得＋＝2＝a＋b，同理可得，＋＝＋＝…＝＋＝a＋b，故＋＋＋…＋＝101×2＝101(a＋b)．
16．在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值．
解 ·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·＋(－)·－·
＝0＋·－a2
＝||·||cos θ－a2＝a2(cos θ－1)，
故当θ＝0°，即和方向相同时，·有最大值0.
