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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
不等式的微专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)
文档属性
名称
不等式的微专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)
格式
zip
文件大小
62.9KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-12-14 15:51:02
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文档简介
不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用.
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x+≥7在x>a上恒成立,则实数a的最小值为________.
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0,y>0,且2x2+=8,则x的最大值为________.
三、展开后求最值
例3 若a,b是正数,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
四、常数代换法求最值
例4 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
五、代换减元求最值
例5 若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值等于________.
例7 已知a>0,b>0,且a+b++=5,则a+b的取值范围是( )
A.1≤a+b≤4 B.a+b≥2
C.1
4
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围.
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3,若y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
五、利用图象解决能成立问题
例5 当1
0有解,则实数m的取值范围为________.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用.
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x+≥7在x>a上恒成立,则实数a的最小值为________.
答案 5
解析 ∵x>a,
∴x-a>0,
∴x+=(x-a)++a≥2+a,
当且仅当x=a+1时,等号成立,
∴2+a≥7,即a≥5.
思维反思 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值,然后利用基本不等式求解.
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0,y>0,且2x2+=8,则x的最大值为________.
答案
解析 (x)2=x2(6+2y2)=3·2x2
≤3·2=3×2.
当且仅当2x2=1+,即x=,y=时,等号成立.
故x的最大值为.
三、展开后求最值
例3 若a,b是正数,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 C
解析 ∵a,b是正数,
∴=1+++4=5++
≥5+2=5+4=9,
当且仅当b=2a时取“=”.
四、常数代换法求最值
例4 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 由x+y=1得(x+2)+(y+1)=4,
即[(x+2)+(y+1)]=1,
∴+=·[(x+2)+(y+1)]
=
≥(5+4)=,
当且仅当x=,y=时“=”成立,故选B.
思维反思 通过常数“1”的代换,把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子,达到解题的目的.
五、代换减元求最值
例5 若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
答案 8
解析 ∵实数x,y满足xy+3x=3,
∴x=,∴0<<,解得y>3.
则+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y=4,x=时取等号.
思维反思 在解含有两个以上变元的最值问题时,通过代换的方法减少变元,把问题化为两个或一个变元的问题,再使用基本不等式求解.
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值等于________.
答案 6-1
解析 a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,
即有(a+b)(a+2b+1)=9,
即(2a+2b)(a+2b+1)=18,
可得3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)
≥2=6,
当且仅当2a+2b=a+2b+1时,上式取得等号,
即有3a+4b的最小值为6-1.
例7 已知a>0,b>0,且a+b++=5,则a+b的取值范围是( )
A.1≤a+b≤4 B.a+b≥2
C.1
4
答案 A
解析 ∵a+b++=5,
∴a+b+=5.
∵a>0,b>0,ab≤2,
∴≥,
∴a+b+≥a+b+,
∴a+b+≤5,
即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,
∴(a+b-4)(a+b-1)≤0,
即1≤a+b≤4,
当a=b=时,左边等号成立,
当a=b=2时,右边等号成立,故选A.
思维反思 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式,求出不等式的解集即得求解目标的最值.
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,
∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
∴解得-1
综上,实数k的取值范围是{k|-1
(2)原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0,
∵该不等式对任意实数x恒成立,∴Δ≤0,
即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0,
解得a≤-1或a≥4,
∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.
思维反思 (1)如图①一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方 ymin>0
(2)如图②一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方 ymax<0
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围.
解 令y=x2+mx+4.
∵y<0在[1,2]上恒成立.
∴x2+mx+4=0的根一个小于1上,另一个大于2.
如图,得
∴
∴m的取值范围是{m|m<-5}.
思维反思 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3,若y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解 y<-m+5恒成立,
即m(x2-x+1)-6<0恒成立,
∵x2-x+1=2+>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<.
∵y==在1≤x≤3上的最小值为,
∴只需m<即可.
思维反思 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
解 y<0 mx2-mx-6+m<0 (x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3,
∴x2-x+1<恒成立,
∴x2-x+1< x2-x-1<0
∴x的取值范围为.
思维反思 转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围求解.
五、利用图象解决能成立问题
例5 当1
0有解,则实数m的取值范围为________.
答案 {m|m>-5}
解析 记y=x2+mx+4,则由二次函数的图象知,不等式x2+mx+4>0(1
0或2m+8>0,解得m>-5.
思维反思 结合二次函数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.
解 ∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,
∴m≥2x2-8x+6能成立,
令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,∴m的取值范围为{m|m≥-2}.
思维反思 能成立问题可以转化为m>ymin或m
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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