不等式的微专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)

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名称 不等式的微专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)
格式 zip
文件大小 62.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-14 15:51:02

文档简介

不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用.
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x+≥7在x>a上恒成立,则实数a的最小值为________.
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0,y>0,且2x2+=8,则x的最大值为________.
三、展开后求最值
例3 若a,b是正数,则的最小值为(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
四、常数代换法求最值
例4 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为(  )
A. B. C.2 D.3
五、代换减元求最值
例5 若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值等于________.
例7 已知a>0,b>0,且a+b++=5,则a+b的取值范围是(  )
A.1≤a+b≤4 B.a+b≥2
C.14
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围.
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3,若y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
五、利用图象解决能成立问题
例5 当10有解,则实数m的取值范围为________.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用.
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x+≥7在x>a上恒成立,则实数a的最小值为________.
答案 5
解析 ∵x>a,
∴x-a>0,
∴x+=(x-a)++a≥2+a,
当且仅当x=a+1时,等号成立,
∴2+a≥7,即a≥5.
思维反思 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值,然后利用基本不等式求解.
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0,y>0,且2x2+=8,则x的最大值为________.
答案 
解析 (x)2=x2(6+2y2)=3·2x2
≤3·2=3×2.
当且仅当2x2=1+,即x=,y=时,等号成立.
故x的最大值为.
三、展开后求最值
例3 若a,b是正数,则的最小值为(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 C
解析 ∵a,b是正数,
∴=1+++4=5++
≥5+2=5+4=9,
当且仅当b=2a时取“=”.
四、常数代换法求最值
例4 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为(  )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 由x+y=1得(x+2)+(y+1)=4,
即[(x+2)+(y+1)]=1,
∴+=·[(x+2)+(y+1)]

≥(5+4)=,
当且仅当x=,y=时“=”成立,故选B.
思维反思 通过常数“1”的代换,把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子,达到解题的目的.
五、代换减元求最值
例5 若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
答案 8
解析 ∵实数x,y满足xy+3x=3,
∴x=,∴0<<,解得y>3.
则+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y=4,x=时取等号.
思维反思 在解含有两个以上变元的最值问题时,通过代换的方法减少变元,把问题化为两个或一个变元的问题,再使用基本不等式求解.
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,则3a+4b的最小值等于________.
答案 6-1
解析 a,b是正数,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,
即有(a+b)(a+2b+1)=9,
即(2a+2b)(a+2b+1)=18,
可得3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)
≥2=6,
当且仅当2a+2b=a+2b+1时,上式取得等号,
即有3a+4b的最小值为6-1.
例7 已知a>0,b>0,且a+b++=5,则a+b的取值范围是(  )
A.1≤a+b≤4 B.a+b≥2
C.14
答案 A
解析 ∵a+b++=5,
∴a+b+=5.
∵a>0,b>0,ab≤2,
∴≥,
∴a+b+≥a+b+,
∴a+b+≤5,
即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,
∴(a+b-4)(a+b-1)≤0,
即1≤a+b≤4,
当a=b=时,左边等号成立,
当a=b=2时,右边等号成立,故选A.
思维反思 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式,求出不等式的解集即得求解目标的最值.
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,
∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
∴解得-1综上,实数k的取值范围是{k|-1(2)原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0,
∵该不等式对任意实数x恒成立,∴Δ≤0,
即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0,
解得a≤-1或a≥4,
∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.
思维反思 (1)如图①一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方 ymin>0
(2)如图②一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方 ymax<0
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围.
解 令y=x2+mx+4.
∵y<0在[1,2]上恒成立.
∴x2+mx+4=0的根一个小于1上,另一个大于2.
如图,得

∴m的取值范围是{m|m<-5}.
思维反思 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3,若y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解 y<-m+5恒成立,
即m(x2-x+1)-6<0恒成立,
∵x2-x+1=2+>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<.
∵y==在1≤x≤3上的最小值为,
∴只需m<即可.
思维反思 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y=mx2-mx-6+m,若对于1≤m≤3,y<0恒成立,求实数x的取值范围.
解 y<0 mx2-mx-6+m<0 (x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3,
∴x2-x+1<恒成立,
∴x2-x+1< x2-x-1<0 ∴x的取值范围为.
思维反思 转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围求解.
五、利用图象解决能成立问题
例5 当10有解,则实数m的取值范围为________.
答案 {m|m>-5}
解析 记y=x2+mx+4,则由二次函数的图象知,不等式x2+mx+4>0(10或2m+8>0,解得m>-5.
思维反思 结合二次函数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围.
解 ∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,
∴m≥2x2-8x+6能成立,
令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,∴m的取值范围为{m|m≥-2}.
思维反思 能成立问题可以转化为m>ymin或m