不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．
三、展开后求最值
例3 若a，b是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
四、常数代换法求最值
例4 已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A. B. C．2 D．3
五、代换减元求最值
例5 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．
例7 已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．1
4
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
五、利用图象解决能成立问题
例5 当10有解，则实数m的取值范围为________．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．不等式的微专题
微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案 5
解析 ∵x>a，
∴x－a>0，
∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，
当且仅当x＝a＋1时，等号成立，
∴2＋a≥7，即a≥5.
思维反思 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．
答案
解析 (x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2
≤3·2＝3×2.
当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
三、展开后求最值
例3 若a，b是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 ∵a，b是正数，
∴＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当b＝2a时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例4 已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]
＝
≥(5＋4)＝，
当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，故选B.
思维反思 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
五、代换减元求最值
例5 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号．
思维反思 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．
答案 6－1
解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，
即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)
≥2＝6，
当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，
即有3a＋4b的最小值为6－1.
例7 已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．14
答案 A
解析 ∵a＋b＋＋＝5，
∴a＋b＋＝5.
∵a>0，b>0，ab≤2，
∴≥，
∴a＋b＋≥a＋b＋，
∴a＋b＋≤5，
即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，
当a＝b＝时，左边等号成立，
当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.
思维反思 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．
微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1综上，实数k的取值范围是{k|－1(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．
思维反思 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方 ymin>0
(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方 ymax<0
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1,2]上恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.
如图，得
∴
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
思维反思 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解 y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．
思维反思 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解 y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1< x2－x－1<0 ∴x的取值范围为.
思维反思 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
例5 当10有解，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m>－5}
解析 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
思维反思 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}．
思维反思 能成立问题可以转化为m>ymin或m