指对函数基本问题（1）
计算求解
典例1．若，，且，则_________.
【答案】
【解析】
，则，故，
，，，故，故.
故答案为：.
练1．（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断
【详解】
易知x>0
，A正确；
，B正确；
，C错误；
,D错误
故选：AB
典例2．计算：___________.
【答案】##
【分析】
根据对数的运算法则，化简，即可求解.
【详解】
由，
所以.
故答案为：.
练1.（1）已知，把写成含a的代数式；
（2）已知，把写成含a的代数式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据同底数对数的加法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解；
（2）根据同底数对数的减法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解.
【详解】
（1）因为，所以=
（2）因为，所以=
练2．求值：.
【答案】
【分析】
根据换底公式以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
由换底公式，，
所以
典例3．已知，求x的值.
【答案】
【分析】
根据换底公式，对数的运算性质以及指对数式的互化即可解出．
【详解】
由换底公式得，又，所以，因此变形为，得到，所以，即．
例4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.
【答案】
【分析】
利用换底公式得出，先计算出，然后利用函数为奇函数，得出的值.
【详解】
，
由题意得，
由于函数是定义在上的奇函数，
因此，.
故答案为：.
练1．若为奇函数，当时，，则______．
【答案】-2
【分析】
求出的值，利用奇函数的定义可求得的值.
【详解】
当时，，，
又为奇函数，
所以.
故答案为：.
图像
典例1.已知a>0，且a≠1，则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用指对函数的图像特征分a>1和0
【详解】
当a>1，单调递减，恒过（0,1），单调递减，定义域为 恒过（-1,0），C选项符合题意
当0故选：C
典例2.直线与函数 的图像依次交于A B C D四点，则这四点从上到下的排列次序是___________.
【答案】D，C，B，A
【分析】
在同一坐标系中作出函数 的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
在同一坐标系中作出函数 的图象，如图所示：
由图象知：这四点从上到下的排列次序是D，C，B，A，
故答案为：D，C，B，A
练1.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，如下图所示，
将的图象向左平移个单位得到图象.
故选：B
练2.若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】令，得，由题意可知函数与的图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知，.
比较大小
典例1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，分别计算，，的范围即可比较大小.
【详解】
因为单调递增，所以，
因为在上单调递增，所以，
因为在上单调递减，所以，
所以，
故选：B.
典例2．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，即可比较.
【详解】
依题意，，函数在上单调递增，而，
，即，
函数在上单调递增，且，则有，即，
．
故选：C.
典例3．设 ，，，则（ ）
A．b 【答案】C
【分析】
根据对数的运算化简，并利用换底公式，结合对数函数的单调性比较大小即可求解.
【详解】
因为，，都是正数，
所以，，，
因为，，，且，
所以，即，
所以，
故选：C
提升1.已知，，，则的大小
关系是为（ ）
A． B． C． D．
A
练1．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数的单调性以及指数函数的性质即可求解.
【详解】
，
，
即，
，
所以.
故选：A
练2．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数的运算性质和对数函数的单调性，单调，再结合指数函数和对数函数的性质，求得且，即可求解.
【详解】
由对数的运算性质，可得，
又由函数在定义域为单调递增函数，所以，
又因为，且，
所以，即.
故选：C.
练3．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由指数函数与幂函数的单调性求解即可
【详解】
因为，
在都是增函数，
所以，
所以，即；
故选：A
复合函数单调性
典例1．函数的单调增区间是___________.
【答案】##
【分析】
根据复合函数的单调性法则，指数函数，二次函数的性质即可求出．
【详解】
设，函数的单调减区间是，增区间是，而函数在上递减，根据复合函数的单调性法则可知，函数的单调增区间是．
故答案为：．
练1．已知函数，且，则此函数的单调递减区间为_______
【答案】##
【分析】
利用复合函数的单调性：同增异减即可求解.
【详解】
解析：，，
，同增异减，
令，在区间上单调递减，
所以此函数的单调递减区间为.
故答案为：
提升．函数的单调递增区间为______．
【答案】
【分析】
结合已知条件，利用指数函数单调性和复合函数单调性求解即可.
【详解】
不妨令，则在上单调递增，
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又由时，解得，
故由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
故答案为：.
典例2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数解析式求得函数定义域，根据复合函数单调性判断参数取值范围.
【详解】
的定义域为.
令，由于为增函数，
故由复合函数单调性判断法则可知，
在上单调递减.
故.
故选：A
练1.求下列函数的单调区间：
（1）．
（2）．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】（1）令，则在上单调递减．
由得或，
而在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）令，则它在上单调递减．
在上单调递增，在上单调递减．
由得，由得，
故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
求值域
例1.函数的值域是___________.
【答案】
【解析】设，则，
因为在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
例2.函数的值域为______________．
【答案】
【解析】由题意，函数，则，解得或，
设，可得且，
由对数函数的性质，则函数且满足且
即函数的值域为.
故答案为：.
例3．求函数在上的值域．
【答案】
【分析】
运用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】
令，因为，所以，
，
即，
因为二次函数的对称轴为：，所以该二次函数当时单调递增，
因此由可得：，即，
所以函数在上的值域为.
例4.设，求函数的最小值.
【答案】
【解析】令，则，又，
得，，函数开口向上，对称轴，
当时，函数在递增，故当时，；
当时，函数在递减，递增，故当时，；
当时，函数在递减，故当时，.
综上得，
提升1．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果.
【详解】
由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
提升2．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得， 当时再验证函数的奇偶性即可；（2）在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 设，原不等式等价于在区间上恒成立，即进而可得结果.
【详解】
（1）因为的定义域为R，且为奇函数，所以，
所以，
当时，，，所以函数为奇函数.
故实数a的值为.
（2）在区间上恒成立，
所以，即在区间上恒成立，
设，易知在上单调递减，则，
则在区间上恒成立，所以
令，所以在上单调递增，
则，
所以.
故实数k的取值范围为.
【点睛】
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
提升3．已知是奇函数，其中为常数.
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的值域；
【答案】（1）1；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，代入可求；（2）令，然后转化为二次函数的值域求解；（3）结合为奇函数，及单调性可求不等式的解集．
【详解】
（1）由题意可得，，
整理可得，，
∴；
（2）令，
∵，∴，
∴，
∴，，对称轴，
①时，在上单调递增，∴，值域为；
②时，在上先减后增，当时函数有最小值，值域为；
练习
一、单选题
1．若，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用指对幂计算，用中间值0或1即可比较出大小﹒
【详解】
解：，，，
∴．
故选：A
2．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据题干条件和函数的单调性得到，A选项可以利用函数的单调性进行判断，BC选项可以举出反例，D选项用不等式的基本性质进行判断.
【详解】
因为在R上单调递减，若，则，
对于选项A：若，因为单调递增，所以，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
3.若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】
根据复合函数的单调性得到答案.
【详解】
单调递增，在上单调递增，在上单调递减.
根据复合函数单调性，函数在上单调递减.
故选：C.
5.函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.
6．已知，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断．
【详解】
，，，所以．
故选：C．
7．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
法一：分，，利用指数函数和对数函数的单调性判断；
法二：分别取和，在同一直角坐标系内画出相应函数的图象判断.
【详解】
法一：若，则函数是增函数，是减函数，且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；
若，则是减函数，而是增函数，且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．
故选：D．
法二：分别取和，在同一直角坐标系内画出相应函数的图象
由图象知：选项D正确．
故选：D
二、多选题
1．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
AD选项应用对数运算法则进行计算，B选项利用根式化简法则进行求解；C选项，利用指数运算法则进行计算
【详解】
错误，正确的应该是，故A错误；，B选项正确；，C选项正确；，故D选项错误.
故选：BC
2．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
结合奇偶函数定义可排除A，确定BD正确，画出图象可判断C.
【详解】
对A，，函数为偶函数；
对B，，，，函数为奇函数；
对D，，函数为奇函数；
对C，画出函数图象，如图，可判断函数为奇函数.
故选：BCD
三、填空题
1．已知的定义域是．则的定义域是_______．
【答案】
【分析】
直接利用抽象函数的定义域即可求解.
【详解】
因为的定义域是，所以的定义域是.
要求的定义域，只需，
解得：.
故答案为：.
2．若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据指数函数的单调性即可解出．
【详解】
因为可化为，而函数在上递增，所以，解得．
故答案为：．
3.下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【答案】①④
【解析】函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.
故答案为：①④.
4.不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】 ，则 ， ，不等式的解集为.
5．不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】
根据指数函数的单调性得到，解得答案.
【详解】
，则，解得.
故答案为：.
6．已知不等式成立，则x的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
直接利用指数函数的单调性得到答案.
【详解】
，即，故.
故答案为：.
7．已知是偶函数，当时，，则当时，_______．
【答案】
【分析】
根据偶函数性质计算即可.
【详解】
解：当时，,又是偶函数，所以，
故答案为：.
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155
【答案】5
【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.
【详解】
因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,
x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，
由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，
所以，两边取对数得， ，
，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
故答案为：5
9．音量大小的单位是分贝，强度为的声波，其分贝的定义是：，其中是人能听到声音的最低声波强度．设分贝的声波强度是分贝声波强度的倍，则的值为__________．
【答案】
【分析】
根据题意表示出即可求出.
【详解】
由题可得，，则，，
所以.
故答案为：10.
10．已知函数，则该函数奇偶性是_________，值域是_________．
【答案】奇函数
【分析】
计算得到结合得到函数为奇函数，分别考虑，，时的值域，得到答案.
【详解】
当时，，，，故，
当时，，，，故，
，故函数为奇函数.
当时，，当时，，，
故函数值域为.
故答案为：奇函数；.
11.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．
四、简答题
1.（1）已知：，求的值.
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用，可求得和，代入即可得到结果；
（2）根据指数幂运算的运算法则计算即可得到结果.
【详解】
（1），，，
；
（2）.
2．计算：
（1）
（2）
【答案】
（1）-16
（2）
【分析】
（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可；
（2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果.
（1）
原式=
（2）
原式
3．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）8
（2）
（3）2
（4）
【分析】
根据换底公式以及对数的运算性质即可解出．
（1）
．
（2）
．
（3）
（4）
．
4．求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，函数的值域为，得到的值域.
（2）令，，再计算函数在时的值域得到答案.
（1）
令，且，函数的值域为，
故函数的值域为.
（2）
令，由，则，
函数的值域即为函数在时的值域，
函数，当，值域为，故的值域为.指对函数基本问题（1）
计算求解
典例1．若，，且，则_________.
练1．（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．计算：___________.
练1.（1）已知，把写成含a的代数式；
已知，把写成含a的代数式.
练2．求值：.
典例3．已知，求x的值.
例4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.
练1．若为奇函数，当时，，则______．
图像
典例1.已知a>0，且a≠1，则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
典例2.直线与函数 的图像依次交于A B C D四点，则这四点从上到下的排列次序是___________.
练1.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
练2.若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是_______.
比较大小
典例1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
典例3．设 ，，，则（ ）
A．b 提升1.已知，，，则的大小
关系是为（ ）
A． B． C． D．
练1．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
练2．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
练3．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
复合函数单调性
典例1．函数的单调增区间是___________.
练1．已知函数，且，则此函数的单调递减区间为_______
提升．函数的单调递增区间为______．
典例2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练1.求下列函数的单调区间：
（1）．
（2）．
求值域
例1.函数的值域是___________.
例2.函数的值域为______________．
例3．求函数在上的值域．
设，求函数的最小值.
提升1．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
提升2．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围.
提升3．已知是奇函数，其中为常数.
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的值域；
练习
一、单选题
1．若，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
2．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．不存在
5.函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
7．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
1．已知的定义域是．则的定义域是_______．
2．若，则实数的取值范围是___________.
3.下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
4.不等式的解集为_______．
5．不等式的解集是___________.
6．已知不等式成立，则x的取值范围是___________.
7．已知是偶函数，当时，，则当时，_______．
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155
9．音量大小的单位是分贝，强度为的声波，其分贝的定义是：，其中是人能听到声音的最低声波强度．设分贝的声波强度是分贝声波强度的倍，则的值为__________．
10．已知函数，则该函数奇偶性是_________，值域是_________．
11.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
四、简答题
1.（1）已知：，求的值.
（2）
2．计算：
（1）
（2）
3．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4．求下列函数的值域：
（1）；
（2）.