实验、专项班12月10日限时训练——函数的零点与方程的解
一、单选题
1．函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
2．若函数在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
3．下列图象表示的函数中没有零点的是
A．B．C． D．
4．已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
x -1 0 1 2 3
-0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A． B． C． D．
5．函数在区间和内各有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
10．下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．函数有两个零点，且，下列说法错误的有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．
三、填空题
13．函数的零点是__________．
14．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是__ _．
15．函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
16．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.实验、专项班12月10日限时训练——函数的零点与方程的解
一、单选题
1．函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
2．若函数在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【答案】D
【分析】由题意，分类讨论不同情况下的正负，从而得出不同的结论.
【详解】因为在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，若（或），此时；若（或），此时；若（或），此时，所以的值不能确定.
故选：D
3．下列图象表示的函数中没有零点的是
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据图象观察图象与x轴有无交点，从而判断函数有无零点,据此得出选项.
【详解】根据图象可知：
B选项的图象与x轴有一个交点，B选项的图象表示的函数有一个零点；
C选项的图象与x轴有两个交点，C选项的图象表示的函数有两个零点；
D选项的图象与x轴有两个交点，D选项的图象表示的函数有两个零点；
而A选项的图象与x轴没有交点，所以A选项的图象表示的函数没有零点.
故选A.
【点睛】本题考查函数的图象与x轴的交点情况与函数的零点情况之间的关系，属于基础题.
4．已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
x -1 0 1 2 3
-0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先构造函数，然后根据图表利用函数的零点判定定理即可
【详解】令
可得：，
由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知：在上有零点
故在上有解
故选：B
5．函数在区间和内各有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的存在性定理列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】已知函数在区间和内各有一个零点，如图，
则，即，
解得
故选：A
6．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理即可求解．
【详解】
，的零点所在区间是
故选：C
7．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，由与直线有两个交点，可得的取值范围．
【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则
故选：D
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以是“不动点”函数；
D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.
故选：C.
二、多选题
9．若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
【答案】CD
【分析】由已知，函数的图像在R上连续且满足，，，即可判断函数在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.
【详解】因为函数的图像在R上连续，且，，
所以，所以函数在区间上至少有1个零点，
故选项A错误，选项D正确；
函数在区间上可能有零点，也可能无零点，
故选项B错误，选项C正确．
故选：CD.
10．下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据零点的定义，令解方程即可.
【详解】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点；
C选项中，令，解得，故-1和1是函数的零点；
D选项中，令，方程无解，故函数无零点．
故选：BD．
11．函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
12．函数有两个零点，且，下列说法错误的有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．
【答案】AC
【分析】函数的零点就是函数的图象与直线交点的横坐标，利用数形结合的方法求解即可．
【详解】令，则，
∴函数的零点就是函数的图象与直线交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，
如图所示，数形结合可得且.
所以A，C错误；B正确；
又的对称轴为，所以，故D正确．
故选：AC．
三、填空题
13．函数的零点是__________．
【答案】1.
【详解】解：令，
则或，且，
得，
即函数的零点是．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：解分式方程或含对数式的方程，要注意分式的分母不为零，对数的真数部分大于零．
14．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【分析】作出分段函数和直线的图像，数形结合即可求解.
【详解】作出函数的图像和直线，如图所示:
由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．
故答案为：或.
15．函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
【答案】
【分析】由函数零点解出的值后再计算另一个零点，或利用韦达定理计算即可.
【详解】解法一：因为函数的一个零点为1，
将代入得，解得．
所以．
令，解得，，
所以函数的另一个零点为．
解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．
故答案为：.
16．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
【答案】##
【分析】函数在区间上有零点，即在有方程根，按和两种情况讨论，可解出的取值范围．
【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，
当时，，
若，，在区间上没有零点，
若，，在区间上有零点，故满足题意；
当，即或时，在区间上有零点，
即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有，即，解得，
故答案为：.
