椭圆中6类距离和差商最值问题小全参考答案：
1．A
【分析】由，当三点共线时，取得最值．
【详解】设是椭圆的右焦点，则
又因为，，
所以，则
故选：A
2．C
【分析】判断点N在椭圆内部，利用椭圆定义将转化为，求出的最大值，即可求得答案.
【详解】依题意，为曲线的左焦点，
由于满足，故点N在椭圆内部，
设C的右焦点为 ，连接 ，
由于M为曲线C上的动点，则 ，
从而，
因为,
当 共线，且N在线段上时取等号(如图)，
故的最小值为，
故选：C.
3．D
【分析】设椭圆的左焦点为，由已知条件推导出，当点在的延长线上时，得的最大值．
【详解】解：点为椭圆的右焦点，
，
点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，
设椭圆的左焦点为，
，
，
，当点在的延长线上时取等号，
，
则的最大值为．
故选：．
4．A
【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．
【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，
设椭圆C的右焦点为，
，
，
，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．
5．C
【分析】由已知圆的圆心为椭圆的右焦点，由点与圆的位置关系可得，结合椭圆的定义求的最大值.
【详解】因为椭圆的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可得．
所以，
故选：C.
6．C
【分析】根据椭圆的定义可得，当是直线与椭圆在第一象限交点时有，当是直线与椭圆在第三象限交点时有
，显然当是直线与椭圆在第一象限交点时，取得最小值.
【详解】已知为椭圆的右焦点，左焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
，
而，
当是直线与椭圆在第一象限交点时，，
当是直线与椭圆在第三象限交点时，，
所以的最小值是.
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及最值的求法，还考查了转化回归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
7．C
【分析】根据椭圆的定义可知，然后计算并结合基本不等式，可得结果.
【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以，
所以，
即，当且仅当，即，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义的应用以及基本不等式的应用，审清题意，细心计算，属于中档题.
8．B
【分析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义可得，然后结合图形可得答案.
【详解】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，
所以.
又，
如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查的是椭圆的定义的应用，属于常考题型.
9．C
【分析】设椭圆左焦点为，则.
，后利用点到直线垂线段最短得答案.
【详解】由题可知，，.设椭圆左焦点为，则.
由椭圆定义有，则
又将椭圆方程与直线方程联立有，
其，故直线与椭圆相离.
如图，要使最小，只需保证与直线垂直即可.
此时三点共线，则，
故.
由上可知A，B，D错误，C正确.
故选：C.
10．C
【分析】结合椭圆的定义以及圆的几何性质求得的最小值.
【详解】依题意可知，对于椭圆，，
对于圆，圆心为，半径，
设椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义有，
根据圆的几何性质有，
当且仅当是线段与圆交点时等号成立，
所以，
其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立，
所以，
此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点.
故选：C
11．
【分析】根据椭圆方程可知，设是椭圆上的左焦点，则.根据椭圆的定义可知，则，
即的最小值即求的最小值即可，利用图象可知，的最小值，即当垂直于直线时的值，利用点到直线的距离公式求出的值，进而可得出结论.
【详解】解：是椭圆上的右焦点， ，，
，即，
设是椭圆上的左焦点，则.
根据椭圆的定义可知.
，.
则的最小值即求的最小值，
根据图象可知，的最小值，即当垂直于直线时的值，
则.
则此时.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，考查点到直线的距离公式，考查数形结合能力，属于中档题.
12．B
【解析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.
【详解】如下图所示：
在椭圆中，，，，
圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得，
，由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到，进而可将用表示；
（2）利用圆的几何性质得出，可求得的取值范围；
（3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：.
13．A
【分析】作过点与，且与直线相切的圆，设切点为当与切点重合时，满足最大，此时圆心在轴上，设，则圆的半径，又，从而得，从而得＝＝，再计算即可得解.
【详解】解：由题意可得，且直线与轴的交点为，
作过点与，且与直线相切的圆，设切点为，如图，
由图可知，，当且仅当与切点重合等号成立，
所以，当与切点重合时，满足最大，
此时圆心在轴上，设，则圆的半径，
又（弦切角定理），
所以，，
所以，＝＝
＝＝＝.
故选：A.
14．B
【解析】当l：时，，设与椭圆联立可得：， 然后求得的中垂线方程，令 ，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令 ，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
15．B
【分析】根据数量积公式可得，再根据双曲线和椭圆的定义可得
，，最后再中由余弦定理计算可得
．
【详解】设点为曲线与在第一象限内的交点，
由曲线的方程可得、，再由椭圆的定义可得：
，
又因曲线的焦点和曲线 的焦点相同，再由双曲线的定义可得：
，
∴，，
中，由余弦定理可得：
，
所以.
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量和圆锥曲线的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
16．C
【详解】试题分析：依题意有．
考点：直线与圆锥曲线位置关系，基本不等式．
【思路点晴】本题考查椭圆的基本概念与性质．椭圆的中心在原点故，椭圆的右焦点为，椭圆的右顶点为，椭圆的右准线与轴的交点为．以上几个属于椭圆的基本量．根据题意求出，化简成离心率的表达式，然后利用基本不等式就可以求出最大值．利用基本不等式时要注意等号是否成立．椭圆中6类距离和差商最值问题小全
一.焦点和椭圆内一点的距离和
例题1．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习2．已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二.焦点和椭圆外一点的距离和
例题3．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
练习4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为
A． B． C． D．
三.圆上点和焦点的距离和
例题5．已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
四.椭圆内两点的距离和
例题6．已知，为椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
练习7．已知定点，，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
过关8．已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
五.动点和焦点的距离差
例题9．设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．4
练习10．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
过关题11．设是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线的动点，则的最小值为______.
六.距离商最值
例题12．已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
练习13．椭圆的焦点为，点在上，当最大时，则＝（ ）
A． B． C． D．
过关题14．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为
A． B． C． D．
16．椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为，则的最大值为
A． B． C． D．
