点差法在圆锥曲线中应用
一.小题中二级结论直接用
1．平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ）
参考知识：椭圆内接平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求得直线的斜率.
【详解】，
设，
设是的中点，由于是的中点，所以，
所以直线的斜率为.
，
两式相减并化简得，
即.
故选：A
2．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为，直线OM的斜率为，则的值为（ ）
A． B．－2 C． D．2
【答案】A
【分析】假设出A，B两点坐标，代入椭圆方程，两式相减求出，已知M坐标求出，最后相乘即可得出答案.
【详解】设，，联立方程
两式相减得，所以，，.
故选:A
二、填空题
3．椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
【答案】
【分析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，利用点差法可得答案.
【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
4．已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆上的任一点，则______；若轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，的余弦值为______．
【答案】 ## 0
【分析】设出，，，表达出，结合点M，A在椭圆上，满足椭圆方程，化简后求出；表达出，结合，化简得到，求出，得到余弦值.
【详解】设，，则，
，因为点M，A在椭圆上，
，，两式相减得，，故．
由题意得，，因为，，
而，
因为为椭圆上一点，所以，
则，得，故，则，
，故余弦值为0．
故答案为：，0
二.大题应用
5．已知椭圆E：的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，点C在E上，且面积的最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求，由此可得椭圆方程；
(2) 设MN的中点P（x0，y0），,先验证当时，直线OD平分线段MN，当时，再利用点差法求出直线的斜率，并证明三点共线即可.
【详解】（1）由椭圆的性质知当点C位于短轴顶点时面积最大．
∴，解得，
∴椭圆的方程为；
（2）如图所示，
设，，，线段的中点；
则，，
由（1）可得，则直线DF的斜率为；
当时，直线的斜率不存在，由椭圆性质易知平分线段，
当时，直线的斜率；
∵点M，N在椭圆E上，∴，整理得：，
又，，
∴，直线OP的斜率为，
∵直线OD的斜率为，
∴所以三点共线，即直线OD平分线段MN．
6．已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点满足，求直线的方程；
(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
【答案】(1)
(2)，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
【分析】（1）根据得到是线段中点，利用点差法得到，得到直线的方程；
（2）设出，根据，得到，结合，，得到，即动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
（1）
由已知可得，是线段中点，
，，
由已知，，
两式相减化简整理得：，
所以，
直线的方程是；
（2）
设，，
由，可得
由②
结合①②可得，
又，是椭圆上的点，故，，
所以，即，
所以动点的轨迹方程为，
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
7．已知椭圆，以及椭圆内一点.
(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；
(2)若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设弦的两个端点为，再根据点差法求解即可；
（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理与三角形的面积公式求解即可.
（1）
设弦的两个端点为，由题知斜率存在
所以，
由①-②得，，
即，
因为为线段的中点，
所以，所以，
所以：，
即；
（2）
由题意，，且，故，又由余弦定理，故，解得，故的面积
8．已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【答案】(1)（在椭圆内部分）
(2)（在椭圆内部分）
(3)
【分析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，进而分和，结合点差法求解即可；
（2）结合（1）中(*)式，代入，，整理即可；
（3）结合（1）中(*)式，代入，，即可得，进而得答案.
（1）
解：设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）
解：设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）
解：在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
9．已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出点M，N，Q的坐标，结合已知利用点差法计算作答.
（2）当直线斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立，借助向量表示点P坐标，再利用弦长公式建立函数关系并求出值域，直线斜率不存在时，计算作答.
（1）
设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）
当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．点差法在圆锥曲线中应用
一.小题中二级结论直接用
1．平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ）
参考知识：椭圆内接平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.
A． B．
C． D．
2．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为，直线OM的斜率为，则的值为（ ）
A． B．－2 C． D．2
3．椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
4．已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆上的任一点，则______；若轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，的余弦值为______．
二.大题应用
5．已知椭圆E：的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，点C在E上，且面积的最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．
6．已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点满足，求直线的方程；
(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
7．已知椭圆，以及椭圆内一点.
(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；
(2)若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.
8．已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
9．已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
