双曲线小题10类(二级结论应用)小全
1．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A．5 B．1 C．1或17 D．17
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.
【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
则，故，故或.
由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，
所以舍去.
故选：D.
2．(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．7
C．17 D．22
【答案】AD
【分析】根据方程求得a，再利用双曲线的定义求解.
【详解】因为a2＝25，所以a＝5．
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．
由题意知|PF1|＝12，
所以|PF1|－|PF2|＝±10，
所以|PF2|＝22或2．
故选：AD
3．已知动圆M与圆外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图形，得到，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，进而求出轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，
圆与圆：的半径相等，均为，
即，
所以
，
故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，其中，，
故，，则，
所以轨迹方程为,
故选：A
4．已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义直接判断即可.
【详解】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线，
所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5．若双曲线的左、右焦点分别为，，点P为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】确定线段是圆的直径，得，然后利用双曲线的定义、勾股定理得出的关系式，变形求得后可得三角形面积．
【详解】由题意，，，所以线段是圆的直径，因此，
所以，所以，
．
故选：D．
6．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.
【详解】设，，由双曲线的定义可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.
故选：C
7．已知点，分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出双曲线方程，求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式及条件，可得结果.
【详解】不妨设双曲线的一个焦点设为，，
一条渐近线的方程设为，，
由题意可得，
又，
∴，即，
∴，
∴.
故选：D
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，焦距为，直线与其渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为双曲线，故渐近线方程为：，因为直线与其渐近线交于，两点，求得，两点坐标，可得是以为顶点的等腰直角三角形，画出图形，即可求得答案.
【详解】双曲线
渐近线方程为：
直线与其渐近线交于，两点，
可得可得，
根据题意画出图象,如图：
,,
是以为顶点的等腰直角三角形
故
，解题：
由
双曲线的离心率为
故选：A.
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，解题掌握双曲线基础知识和离心率的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点Р在双曲线C的渐近线上，，且与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点在第二象限，由题意写出点，，的坐标，表示出，代入数量积的坐标运算公式求解.
【详解】由题意，，因为点Р在双曲线C的渐近线上，且与轴垂直，假设点在第二象限，所以，则，所以，可得，所以离心率.
故选：C
10．设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为
A．或 B．或 C．1或 D．或
【答案】D
【分析】根据，可得，即可得，求解即可.
【详解】如图所示，，，
即，
即，
所以渐近线的斜率为或.
故选：D.
11．若双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，求得交点坐标，由向量的数乘得出的关系，从而求得离心率．
【详解】过双曲线的右焦点，且斜率为的直线方程为．
由，得，由得．因为，所以，所以，所以，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的齐次等式．已知条件是向量的关系，因此解题方法是利用求得直线的交点坐标，然后由向量的数乘和向量相等得出关系式．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的点，且，若，且，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，四边形为平行四边形，根据双曲线定义和已知条件可知，而，故，而，故；在中，由勾股定理可知，可得，由此即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】依题意，四边形为平行四边形，因为，且，故，而，故，而，故；在中，，，，则，则，则双曲线的渐近线方程为.
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，熟练掌握双曲线的定义是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
13．已知双曲线:的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过作与平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】不妨设，则，联立直线与，得到点的坐标，由，得到，再根据两点间的距离公式可得，从而可得离心率.
【详解】不妨设，则，
因为，，，
联立，解得，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以离心率.
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率，考查了平面向量的加、减法运算，属于中档题.
14．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的运算律得到，再由直线的斜率可得的正切值，进而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得，的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解：因为，而，
所以，可得，
即，
因为在第二象限，由双曲线的定义可得，
所以，
过点且斜率为的直线，可得，
又，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得：，
整理可得，又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线为；
故选：A．
15．已知，分别为双曲线：的左 右焦点，，是上右支上的两点，且直线经过点.若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由以为直径的圆经过点，可得，再结合双曲线的性质和勾股定理，即可推得，再结合离心率公式，即可求解.
【详解】设，
∵，
∵为直径的圆经过点，
∴，
由双曲线的定义知：，，
∴，，
在，中，
运用勾股定理可得，，解得：，
故离心率.
故选：C.
16．如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的中点为P，连接OP，，求出，，即得解.
【详解】设的中点为P，连接OP，，得，，
所以，，
在中，
由余弦定理得
，
所以，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
17．如图，已知双曲线的左，右焦点分別为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而可得．
【详解】由已知，，，
则，
在中，，
在中，，设，则，
由得
，解得，
，所以．
故选：A．
18．如图所示，图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．
【答案】
【详解】①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为，且过点，
因为点到两个焦点，的距离之差的绝对值为，
所以，又，所以．
②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为和，且过点，
因为点到两个焦点，的距离之差的绝对值为
，
所以，又，所以．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，关键是根据双曲线的定义求出．
19．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
，，（） ，
则，解之得
又
则
则，则
则，则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为
故选：B
20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，
则，
由椭圆和双曲线的定义可得，
两式相加得，两边同时除以得，
所以，
故选：B
21．如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由切线长定理可得几个线段长等式，再由对称性可得，由此得到，结合双曲线的定义可求得，从而得到双曲线的离心率.
【详解】不妨设内切圆在上的切点为，在上的切点为，如图，
则由切线长定理可得，，
又由双曲线与圆的对称性可知，
所以，故，
所以，
故，即，得，
又因为，所以，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
22．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点M与C的焦点不重合，点M关于的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若，则C的实轴长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】由题意可得，代入，即可得出答案.
【详解】∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，
∴，
又，所以，
∴|.
故选：B．双曲线小题(二级结论应用)小全
一.定义
1．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A．5 B．1 C．1或17 D．17
2．(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．7
C．17 D．22
二.单双支(注意细节)
3．已知动圆M与圆外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三.焦点三角形(也可以直接应用面积二级结论)
5．若双曲线的左、右焦点分别为，，点P为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
四.焦点和渐近线距离(也可以直接应用二级结论)
7．已知点，分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，焦距为，直线与其渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
五.通径(也可以直接应用二级结论)
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点Р在双曲线C的渐近线上，，且与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为
A．或 B．或 C．1或 D．或
六.向量数量关系应用(也可以特殊值法)
11．若双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．3 D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的点，且，若，且，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
七.垂直关系应用(也可以特殊值法,可以用圆)
13．已知双曲线:的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过作与平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
14．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
15．已知，分别为双曲线：的左 右焦点，，是上右支上的两点，且直线经过点.若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
八.图形类求离心率(也可以特殊值法)
16．如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，已知双曲线的左，右焦点分別为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
18．如图所示，图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．
九.两类圆锥曲线共点问题(也可以焦点三角形二级结论)
19．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
十.综合类问题(对称应用)
21．如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．2 C． D．
22．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点M与C的焦点不重合，点M关于的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若，则C的实轴长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
